9773562922

Warunek ten implikuje, że każdy element (*i,... ,x_n) € Rⁿ \ {0} jest, względem tak określonego mnożenia, odwracalny.

Dla n = 2 mnożenie to definiuje ciało liczb zespolonych C; dla n = 4 otrzymujemy kwaterniony H, które tworzą nieprzemienny pierścień z dzieleniem. W końcu, dla n = 8 otrzymujemy oktawy O, zwane też liczbami Cayleya, które daje pierścień nieprzemienny i tylko częściowo łączny.

Pojawił się więc naturalny problem: czy można uzyskać podobne formuły dla innych n? Odpowiedzi udzielił w 1898 Adolf Hurwitz.

(2.14) Twierdzenie Hurwitza. Formy C-dwuliniowe z* = Zj(x%,..., y„), spełniające tożsamość

(*i + • • ■ + x²n)(v\ + • ■ • + vl) = 4 + • • • + z²    (**)

istnieją tylko dla n = 1,2,4,8.

Dowód.(Beno Eckmann) Będziemy zakładać, że n > 2. Zapiszmy z_i = '^^ai_j(x)y_j, ls$i<n,

gdzie aij(x) są formami liniowymi od x = (xi,... ,x_n) o współczynnikach zespolonych. Podstawiając te wyrażenia do (**), otrzymujemy związki

Y, a,ij(x)a,ik(x) = 0 dla j k,

5Ż«y(*) = x\+ ■+x²n.

i=1

Można to zgrabnie zapisać w formie macierzowej: jeśli A = [oy(x)], to A^T-A = (xf + ---+x*)I.

Zapiszmy

A = A\X\ H-----1- A_nx_n, gdzie A{ 6 M_n(C).

Wówczas

(***)

Aj Aj +AjA_{i =} 0 dla i / j, Aj A_{ = I.

Zauważmy, że jeśli każdą z macierzy Aj pomnożymy z lewej strony przez tę samą macierz C spełniającą warunek C^TC = I, to powyższy układ warunków się nie zmieni. Dlatego znormalizujemy tę rodzinę macierzy, kładąc Bj = A^Aj. Układ warunków (* * *) przybierze postać

Bj Bj + Bj Bj = 0 dla i ± j, Bj Bj = I, B_n = I.

Podstawiając do powyższej równości j = n, uzyskujemy Bj = — Bj dla i ^ n.

Nasz problem można zatem sformułować tak: dla jakich n istnieje (n — 1) macierzy Bj € M_n(C), które spełniają warunki Bj = — Bj, Bj Bj = I oraz BjBj = —BjBj dla i ^ j?

Podstawowa idea dowodu jest następująca: zamiast szukać takich układów macierzy, znajdziemy grupę skończoną, której pewna n-wymiarowa reprezentacja będzie je zawierać.

Rozważmy zatem grupę

G_n = (ai,... ,On—i,e | (Ą = e, e² = 1, ajCij = eajdj dla i^j).

5