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Dans 1’etude de la relation on aura au lieu du lemme 6 une proposition analogue:

24    (7"). Si ni -f-p O m -f* q, il existe des nombres n et pj que p = n —(— p_v n <> q et ni + p, <> m.

Moyennant le lemme precedent, on peut arriver a une serie des theoremes analogues a 18, 19 et 20.

25    (T).    Lorsque    m -(- p <> ni -f-    q et m<!q, alors    pOq.

26    (T).    Lorsque    ni -f- P m -f-    q et q<*m, alors    p<*m.

27    (T). Lorsque m + p <> m-{-alors p <> m.

28    (T). Lorsque /r.m-f-p (Ar —f-1) - ni alors p<>m-ł-q.

II est a remarquer que le signe    peut etre partout dans

les theoremes 13 et 17 — 23 remplace par (d'ailleurs, dans 18 on peut conserver la condition: m q et dans 19 — q ^ m). En ce qui concerne les relations reciproques entre les inegalites: p <C q et m -f* p <C ni -f- q, les theoremes suivants sont a signaler: 29(7'). Si m-j-p<q, alors (k -f* 1) • ni 4* p < k . m -f- q.

30    (T). Pour que Kon ait: m -(- p < m -f- q, il faut et il suffit que Kon ait: ni -f- ni -f p< ni -f- m -f- q*

31    (T).    Si des    deux nombres:    p — m et q — m,    un au

moins existe,    les conditions: p <C q et    ni -f- p < m q sont equi-

valentes.

Dans le th. precedent le signe „<^w peut etre remplace par    ou

32    (T). Pour que l'on ait: p < 2^m, il faut et il suffit que l'on ait: m -f- p < m -)- 2^1U.

Das ce theoreme, le signe _y,<” peut etre aussi remplace par    „>^w ou

33    (L). Lorsque m -f- p < nt -f- q et q N₀, alors p < q.

En passant au probleme de Paddition des inegalites, notons les theoremes suivants:

34    (r). Si p<q et le nombre Cardinal n—m existe, on

a: m p < n -f- q.

35    (r). Si p < q, alors m -f- p < 2^m —f— q; en particulier: m + p

<C 2^m+2^v.

36    (T). Lorsquem<n et p < q, deux au moins parmi les nombres m, u, p et q etant des alephs, alors on a: m-f-p < n -f- q.

37    (7'). Lorsque ni<n etp<q, ou parmi les nombres m, n, p et q un au moins soit est egal a K₀, soit n’est pas trans-

fini, alors on a: m -(- p < n -(- q.