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B_v Chaąue nombre Cardinal est fini ou transfini (m < ou K₀<!m).

C_v Si ni On, on n’a pas: n < m.

Or, on sait que:

83. La proposition 5₁ est equivalente a chacune des suivantes:

(L)    B_Y    Si    l’on    a:    m -j- N₀ < m -[- q,    on    a:    K₀<q.

(L)    B_y    Si    Ton    a:    N₀ + p < X₀ + q,    on    a:    p < q.

(T)    B_Ą.    Si    Ton    a:    N₀<>n, on a: N₀    n.

(T)    B_s.    Si    Ton    a:    K₀+p = K₀+q,    ^on    a:    P *o et q<K₀

ou bien: p = q.

B₂ et B.j sont a confronter avec le th. 33.

84 (T). On peut deduire de la proposition C₁ (sans faire intervenir l’axiome du choix) les consequences que voici:

C_r L’ensemble de points d’une droite ne peut etre de-compose en deux ensembles de puissance plus petite (en d’autres termes: 2^s,ł est un nombre indecomposable).

C_y II existe des ensembles non-denombrables de points ne contenant aucun sous-ensemble parfait.

C₄. II existe des fonctions de variable reelle non mesura-

bles (L).

Les propositions C₂ — C₄ resultent de certaines propositions

plus generales qui peuvent etre deduites de C_v mais que nous ne citons pas ici.

M. Lindenbaum a pose le probleme de rechercher les relations logiques entre l’axiome du choix et les propositions suivantes qui expriment de differentes manieres rhypothese dite „hypothese gfeneralisee du continu^,> (ou „hypothese de C a n t o r sur les alephs”):

Dy m 6tant un nombre transfini quelconque, il n’y a aucun nombre X qui satisfasse a la formule: m<,v<2ⁱⁿ.

Dy a etant un aleph quelconque, il n’y a alcun nombre X

tel que Ton ait: a<y<:2^a.

Dy a. etant un nombre ordinal arbitraire, ona:K_a+1=2^x«.

MM. Lindenbaum et Tarski ont resolu ensemble (1925) ce probleme (v. 94 — 96), en partant de quelques theo-remes generaux sur les nombres cardinaux; pour formuler ces