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71. Si le nombre ordinal a est confinal avec <*>, alors pour aucun mon n'a: X_a = 2^m; en particulier: X₍₍₎=ł=

72    (T). Le nombre ordinal a etant confinal avec 12, si X_a = 2^m (en particulier, si X<> = 2^m), on a: nt = X₀.

II est a remarquer que le th. 71 avait ete enonce dans la formę moins generale par Kónig; et M. Sierpiński a deja fait observer que pour etablir la formule X_(ł) =4= 2^S", on peut

se passer sans l’axiome du choix^{1 2 3}).

Les deux derniers theoremes que nous allons presenter ici avaient ete publies anterieurement: 73 par M. Banach'), et 74 par M. Tarski^:i). A present, M. Tars ki a reussi d’af-franchir les demonstrations de ces theoremes de l’axiome du choix. Mais il importe de remarquer que toutes les deux propo-sitions discutees ne peuvent etre prouvees que dans le systeme d’axiomes de M. Zermelo, et meme sous condition d’y adjoindre l'axiome de M* Frankel dit „l’axiome de substi-tution“ ⁴).

73    (T). Pour tout nombre transfini nt, il existe un nombre lt

tel que Ton a: m < tt et ni" = n^m (=    = 2^IW).

74    (D. Pour tout nombre transfini nt, il existe de tels

•4

nombres n, p et q que Ton a: nt < n, p < C| et p^m = qⁿ.

B. Resultats concernant les relations logiques entre I* a x i o m e du choix et d’autres propositions

de la Theorie des Ensembles.

Dans ses recherches relatives a ce sujet, M. T a r s k i s’est servi des proprietes de la fonction X (nt) definie comme il suit:

75. tt = x(nt), lorsque nt est un nombre non-fini, et a — le plus petit parmi tous les alephs v pour lesquels on a: y no/7-<I nt.

1

^J) V. W. Sierpiński, L‘axiome de M. Zermelo..., Buli. de I'Ac. des Sc. de Cracovie, 1919, p. 111.

2

-) V. W. S i e r p i ń s k i. Zarys teorji mnogości, I (1923), p. 181.

3

**) Fund. Math. 7 (1925), p. 10 (le texte cite contient une erreur typog^raphique).

4

) Cf. A. Frankel, Math. Ann. 86 (1922), p. 231.