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Dans les theoremes suivants le symbole „c/(a)” sera utilise pour designer Tindice du plus petit nombre ordinal avec lequel le nombre <o_a est confinał.

98* (T) *). Si p<c/(*a)» il existe un tel nombre 7 que: 7 C a et

*0 = *«•

99* (7¹). Si cf (a) p et a =4=0, il existe un tel nombre 7 que: 7 < a et

AA    f

100* (T)• a et £ etant des nombres ordinaux arbitraires, il existe un tel nombre 7 de seconde espece que: 7    2, 0/(7)^^ et

appelće

etre

La formule du dernier theoreme pourrait „formule generale de recurrence”.

Nous dirons que

101. Les nombres cardinaux tu et n forment un couple irreductible par rapport a l’elevation en puissance, lorsqu’il n’existe aucun couple de nombres ni, et n₁ satisfaisant a la fois

aux conditions: mj« = m^lł, ntj m, iij ^ n, et, de plus, m, =t= tu ou

bien ltj =1= n.

En vertu de cette definition, nous obtenons le corollaire du th. 100:

102* (T). Si m" est un nombre transfini, et ni avec n forment un couple irreductible par rapport a l’elevation en puissance, alors on a: m = 2, ou n = l, ou bien il existe un nombre ordinal de seconde espece a que Ton a: nt = X_f/ et w = X_cf(v-

En terminant, remarquons que les theoremes 97—100 (et 81), pour etre demontres dans le systeme de MM. Russell et Whitehead, resp. dans 1'Ontologie de M. Leśniewski,

^L>) Le th. 98 fut connu deja a M. Tarski a la fin de 1923; il figu-rait dans le manuscrit de sa notę precitee (comme un corollaire du th. 7 de ce travail), presente a la Redaction des „Fund. Math.”, mais a cause de la necessite de faire certaines abreviations, definitivement, il fut omis. Indepen-damment de M. Tarski, M. L. Patai a demontre recemment le th. 98 pour un cas particulier (a = ii, fj = 0).

Towarzystwo Naukowe Warszawskie. - 3