1629289609

1.2. Zbiory wypukłe i zbiory domknięte

Odcinek pq możemy zapisać jako

pq = {p + rpq \ r G [0,1]} = {p + r(q — p) | r G [0,1]} =

= {p + rq - rp \ r G [0,1]} = {(1 — r)p + rq \ r G [0,1]}.

Ostatni zapis czytamy: pq jest zbiorem kombinacji wypukłych punktów p i q.

Definicja 1.4. Brzegiem zbioru A C R” nazywamy zbiór dA = {p G R” | V_e>o 3\_quq2 q\ G K{p,e) n A, 92 € K(p,e) \ A}.

Twierdzenie 1.2. Podzbiór A C Rⁿ jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy zawiera swój brzeg, czyli:

A = A <3- dA C A.

Dowód.

=> Niech p & A. Wtedy istnieje e > 0 taki, że K(p, e) fi A = 0. Stąd p £ dA.

<= Niech p & A. Ponieważ p £ dA więc istnieje e > 0 taki, że K(p,e) fi A = 0. Stąd A = A.

□

Definicja 1.5. Półprzestrzenią w Rⁿ nazywamy zbiór rozwiązań nietrywialnej nierówności liniowej, a zatem zbiór postaci:

H = {(xi,...x_n) € IR” | a\x 1 + 02X2 + ... + a_nx_n < b}

Twierdzenie 1.3. Brzegiem dH pólprzestrzeni

H = {(xi,...x_n) € IR" |a\X\ + 02X2 + ... + a_nx_n < 6} jest hiperprzestrzeń

dH — {(#1, ...,x_n) G IR" | ai#i + 02X2 + ... + a_nx_n — 6}

Dowód. Niech D = {(xi, ...,x_n) G Rⁿ | aixi + 02X2 + ... + a_nx_n = 6} i p G D.

Ponieważ D C H więc V_e>o p G K(p,e) fi H. Ponadto jeśli p — (pi,P2—-,Pn) i dj / 0 to V_t>op+(0,0,...,|jⁱl,0,...,0) e K(p,e) \ H. Zatem D c dH.

Niech teraz p 0 D. Wtedy, stosując wzór z algebry liniowej na odległość punktu od hiper-przestrzeni opisanej równaniem, otrzymujemy: g(p,D) — \^aiP'+^a^+-+°^Pr.^.^b\ > q,

więc dla 0 < e < g(p,D), K(p,e) O H = 0 gdy p & H i K(p,e) C H, gdy p G H. Stąd dH C D.

□

Twierdzenie 1.4. Pólprzestrzeń jest zbiorem wypukłym i domkniętym.

Dowód. Dowód domkniętości otrzymujemy jako wniosek z dwóch ostatnich twierdzeń.

Dowód wypukłości