2048738912

gdzie hi, h₂ są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji dla zmiennych t\ i t₂, natomiast Xij, x\j, Ujj są wartościami funkcji x^h(t\,t₂), x^v(ti,t₂), u{t\,t₂) dla dyskretnych wartości zmiennych t\ — 0, h\, 2/ii,... oraz t₂ — 0, h₂,2h₂,....

Zatem, uogólnionemu dwuwymiarowemu układowi ciągłemu niecałkowitego rzędu (16) o macierzach E, A, B, C, D odpowiada uogólniony dwuwymiarowy układ dyskretny niecałkowitego rzędu (41) o macierzach E', A', B¹, C', D', przy czym

B' = B, C' = C, D' = D. Korzystając z Definicji 7 i 8, z równania (41 a) otrzymujemy

E	' rh ^J/i+l,j	= A	h ^ij	i+1 + Biij,- -	rh ^xi-k+\,i 0	. c 1	0
	. ^xi,j+1		. ^X*j .	k=2		1=2	. ^Xh-1+1 .

(44)

gdzie współczynniki c_ai (k), c_a2(l) są opisane wzorami (1 lb), (12b) oraz

A = A + E

Gfilni 0 0 a₂l_n2

(45)

Zauważmy, że ze wzoru (44) wynika, że uogólniony dwuwymiarowy dyskretny układ niecałkowitego rzędu jest układem z opóźnieniami o całkowitych rzędach różnic. Liczba opóźnień rośnie wraz ze wzrostem zmiennych i oraz j.

Z (1 lb) and (12b) wynika, że współczynniki c_a(k) oraz cp(l) w równaniu (44) silnie maleją dla rosnących k oraz l. Dlatego, w praktycznych problemach można założyć, że k oraz l są ograniczone przez pewne liczby naturalne Li oraz L₂. W takim przypadku równanie stanu (44) przyjmuje postać

	ryk		h '	L i+l	h	L2+l	0
E	^Xi+hj	= A	^Xij	+ BUij - E ^2 (k)	^xi-k+l,j 0	— E ca2 (l)
	^xiJ+1		^xij _	k=2		1=2	^Xi,j-l+1

(46)

Warunki brzegowe dla układów (41 a), (44), (46) dane są w postaci

Xqj dla j € Z+, x^viQ dla i € Z₊.    (47)

19