2048738903

2.3 Aproksymacja pochodnych niecałkowitych rzędów jedno- i dwuwymiarowych funkcji ciągłych różnicami niecałkowitych rzędów

Definicja 9. [99] Dyskretnym przybliżeniem jednowymiarowej pochodnej niecałkowitego rzędu funkcji f(t) (1) nazywamy funkcję określoną zależnością

t/h    . V

^CD?f(t) = lim h- £(-l)^Ł ( “ ) f(t - kh),    (13)

k=0    ' '

określony jest zależnością (10).

gdzie /z jest krokiem dyskretyzacji, a współczynnik

Z definicji 9 wynika, że pochodną niecałkowitego rzędu (1) jednowymiarowej funkcji f(t) można przybliżyć za pomocą różnicy niecałkowitego rzędu (9) dyskretnej funkcji fi, przy czym wartości dyskretnej funkcji /, dla i € Z₊ są odpowiednio wartościami funkcji f(t) dla

t = 0, lfe, 2/z,____

Otrzymujemy zatem

i+i    / \

(14)

^cD?m »h- gt-1)*    = ft-“A./_i+1,

przy czym h jest odpowiednio małym krokiem dykretyzacji, a A_Qfi jest różnicą niecałkowitego rzędu dyskretnej funkcji fi określoną zależnością (9).

Podobnie zdefiniować możemy dyskretne przybliżenia pochodnych niecałkowitego rzędu dwuwymiarowych funkcji f(ti, tf).

Definicja 10. Dyskretnym przybliżeniem pochodnej niecałkowitego rzędu funkcji /(żi,^) (4) względem zmiennej t\ (ff) nazywamy funkcję określoną zależnością

(^c£>g/«i,i₂)«VA^/o₊₁),

przy czym h\, są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji, a A^/y, A^va2fij są horyzontalną i wertykalną różnicą niecałkowitych rzędów dyskretnej funkcji określonymi zależnościami (1 la) oraz (12a).

10