2048738919

2 Wprowadzenie do dwuwymiarowego rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitych rzędów

W tym rozdziale przedstawione zostaną definicje pochodnych i całek oraz pochodno-całek niecałkowitych rzędów. Spośród wielu definicji pochodnych niecałkowitego rzędu wybrana jest definicja według Caputo, gdyż ma ona największe znaczenie w praktyce inżynierskiej [91]. Następnie pokazane zostaną uogólnienia tych definicji na przypadek funkcji dwuwymiarowych.

W drugim podrozdziale przedstawiona zostanie definicja różnicy niecałkowitego rzędu jednowymiarowej funkcji dyskretnej oparta na definicji Grunwalda-Letnikova. Podobnie jak w przypadku funkcji ciągłych, rozpatrzona zostanie różnica cząstkowa dwuwymiarowych funkcji dyskretnych (horyzontalna i wertykalna różnica niecałkowitego rzędu).

Własności stosowanych w pracy operatorów matematycznych zostały szczegółowo opisane w monografii [91].

W ostatnim podrozdziale przedstawione zostaną dyskretne przybliżenia jedno- i dwuwymiarowych pochodnych niecałkowitych rzędów funkcji ciągłych.

Kierując się klasycznym inżynierskim podejściem, zakładamy, że analizowane funkcje jedno- i dwuwymiarowe są określone w przedziale t € [0, T\, T > 0 dla funkcji jednowymiarowych f(t) oraz fi 6 [0, Ti], Ti > 0, f2 € [0,T₂], T₂ > 0 dla funkcji dwuwymiarowych f(t\, t₂).

2.1 Definicje pochodno-całek niecałkowitych rzędów funkcji dwuwymiarowych

Definicja 1. (Caputo) [62,91,99] Pochodna niecałkowitego rzędu a funkcji /(f) określona jest wzorem

1

T(N - a)

s:

f^m(r)

(t — r)^a+1~^N

dr,

(1)

gdzie /W(t) =

N—l<a<N,N&N oraz

drⁿ

m = r

Jo

e ^tt^{x l}dt dla x > 0

(2)

jest funkcją Gamma Eulera.

Definicja 2. (Riemanna-Liouville’a) [62, 91, 99] Całka niecałkowitego rzędu /5 > 0 funkcji f(t) określona jest wzorem

i?m=f^rf~¹fw^dT-    ⁽³⁾

Podobnie możemy zdefiniować pochodne i całki niecałkowitego rzędu funkcji f{ti,t₂) o dwóch zmiennych liniowo niezależnych 11, t₂ € E.

7