3. TEORIA PRODUKCJI
Wyznaczanie krzywej możliwości produkcyjnych za pomocą funkcji
produkcji
Funkcja produkcji określa maksymalne rozmiary produkcji (Q), jakie
można osiągnąć przy różnym poziomie nakładów czynników wytwórczych,
czyli przyjmuje ogólną formułę: QX = f(L,K,S,Z,ł,�), gdzie:
QX  wielkość produkcji, L  nakłady pracy, K  nakłady kapitału, S  surowce,
półfabrykaty i materiały, Z  nakład ziemi, ł - korzyści skali, � - parametr
efektywności.
Przy założeniu, że przedsiębiorstwo (gospodarka) używa dwóch czynników
wytwórczych  kapitału (K) i pracy (L)  można ją zapisać w postaci ogólnej
jako: Q = f(L,K) w długim okresie i Q = f(L,�łK)  w krótkim, gdy kapitał jest
czynnikiem stałym.
Y
TPLY A
H G
II I
F E
K
B C 0 D J
LY X
C H
III IV
B TPLX
LX
Rys. 3.1. Krzywa możliwości produkcyjnych kmp i krzywa jednakowego
produktu
Gdy MRT = PX/PY, to styczna jest krzywą jednakowego przychodu, czyli
TR PX
Y = - X
TR = PXX + PYY. Stąd:
PX PY
1
przestrzenie produkcyjne i przekształcenia technologiczne
Proces produkcji to każdy zespół czynności, w wyniku którego
określona wiązka nakładów zostaje przekształcona w określoną
wiązkę wyników.
Opisuje się go za pomocą nieujemnego wektora z = (x,y)
złożonego z n-wymiarowego wektora nakładów x = (x1, & , xn)
i n-wymiarowego wektora wyników y = (y1, & , yn).
Takie rozumienie procesów technologicznych sprawia, że zbiór
Z �" R+2n wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów
z
produkcji z normą jest standardowo zbiorem nieograniczonym
a nazywa się przestrzenią p - produkcyjną.
z
Czyli norma = = max{x1, & ,xn, y1, .., yn} oznacza
max zi
i
normę wektora z " Z.
Niech z = (x, y) " Z �" R+2n oznacza technologicznie dopuszczalny
proces produkcji.
Przekształceniem technologicznym jest odwzorowanie, które
każdemu wektorowi nakładów x " R+n przyporządkowuje zbiór
wektorów wyników y = a(x)" R+n, jakie można otrzymać z wektora
x, takich że (x,y) " Z.
x2 y2
"
a (x)
x1 y1
przekształcenie technologiczne
2
Dopuszczalny proces produkcji z = (x, y) " Z �" R+2n, nazywany jest
technologicznie efektywnym, jeżeli nie istnieje inny technologicznie
dopuszczalny proces produkcji
z = (x, y ) " Z �" R+2n,
który z tego samego wektora nakładów x pozwoliłby uzyskać taki
wektor wyników y , że żadna składowa tego wektora nie byłaby
mniejsza od odpowiadającej jej składowej wektora y, a przynajmniej
byłaby większa, co zapisuje się:
łł " (x, y )" Z (y e" y '" y `"y)
Inaczej, proces produkcji z = (x, y) jest technologicznie efektywny,
jeżeli dla danego wektora nakładów x zwiększenie produkcji
jakiegokolwiek produktu jest możliwe jedynie kosztem zmniejszenia
produkcji przynajmniej jednego, innego produktu.
Przekształceniem technologicznie efektywnym jest odwzorowanie
(multifunkcja), które każdemu wektorowi nakładów x e" 0
przyporządkowuje zbiór aE (x) wszystkich wektorów y, tworzących z
wektorem x procesy technologicznie efektywne.
x2 y2
aE (x)
"
x1 y1
przekształcenie technologicznie efektywne
W szczególnym przypadku każdemu wektorowi nakładów x może
odpowiadać dokładnie jeden wektor wyników y, tworzący z wektorem
x proces technologicznie efektywny. Przekształcenie technologicznie
efektywne staje się wtedy funkcją.
3
Wektorową funkcją produkcji nazywa się funkcję f : R+n R+n, która
każdemu wektorowi nakładów x przyporządkowuje dokładnie jeden
taki wektor wyników y = f(x), że para (x, y) tworzy proces
technologicznie efektywny.
y2 "
x2 "
x1 y1
funkcja wektorowa
Dla nas istotne tylko funkcje produkcji opisujące zależność pomiędzy
wielkością produkcji pojedynczego produktu a niezbędnymi do jej
uzyskania nakładami różnych czynników produkcji.
Skalarną funkcją produkcji jest funkcja f : R+k R+1, która
każdemu wektorowi nakładów x = (x1, .., xk) e" 0 przyporządkuje
maksymalną wielkość produkcji danego produktu y = f (x), możliwą
do uzyskania z wektora x.
x2 x "
"
x1 0 y
funkcja skalarna
W skalarnej funkcji produkcji para (x, f(x)) tworzy proces
technologicznie efektywny, należący do przestrzeni p  produkcyjnej
Z �" R+k+1.
4
właściwości skalarnej funkcji produkcji
1. funkcja jest ciągła i podwójnie różniczkowalna
"f (x)
"2 f (x)
> 0
< 0
dla i = 1, .. , k dla i = 1, & , k
"xi
"xi2
2. zerowym nakładom odpowiada zerowy poziom produkcji:
f (0, & ,0) = 0
3. funkcja jest dodatnio jednorodna
"x e" 0 "  > 0 f (x) =  f (x),
4. funkcja odzwierciedla prawo malejącej produktywności
krańcowej
"f (x)
= +"
lim
dla i = 1, & , k
"xi
xi 0
"f (x)
= 0
lim
dla i = 1, & , k
"xi
xi +"
5. Krańcowa efektywność i-tego czynnika (produktywność
krańcowa: o ile wzrośnie produkcja, gdy nakład czynnika
wzrośnie o jednostkę, przy pozostałych = constans)
"f (x) "f (x)
=
lim
"xi "xi
"xi 0
gdzie: "f (x) = f (x1, & , xi + "xi, & ,xk)  f (x1, & , xi,& ,xk)
5
6. elastyczność produkcji względem i tego czynnika określa się:
"f (x)
f (x) "f (x) xi "f (x) xi
�if (x) = = �" = �" .
lim lim
"xi "xi�!0 "xi f (x) "xi f (x)
"xi0
xi
�if względem i-tego czynnika pokazuje, o ile procent wzrośnie
produkcja, gdy nakład i-tego czynnika wzrośnie o 1%, a nakłady
pozostałe = constans.
7. elastyczność produkcji względem skali nakładów (korzyści
skali)
"f (x) 
�f = �" .
lim
" f (x)
 1`
�f pokazuje, o ile procent wzrośnie produkcja, jeżeli wszystkie
czynniki produkcji wzrosną o 1%.
Jeżeli funkcja produkcji f : R+k R+1 jest dodatnio jednorodna
stopnia � >0, to elastyczność produkcji względem skali nakładów jest
równa stopniowi jednorodności tej funkcji produkcji.
Jednorodna funkcja produkcji Niejednorodna funkcja produkcji
kapitał kapitał
0 (a) praca 0 (b) praca
Rys. 3.2. Homogeniczność funkcji produkcji
6
Izokwantą produkcji na poziomie y0 > 0 jest zbiór G
wszystkich wektorów nakładów x, którym odpowiada ten sam
poziom produkcji y0, to:
G = {x "R+k �łf (x) = y0}
Krańcowa stopa substytucji i-tego czynnika produkcji
przez j-ty w wektorze nakładów x to:
"f (x) "f (x)
�ijf (x) = : .
"xi "x
j
wskazuje, o ile jednostek należy w wektorze nakładów x
zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy ilość i-tego czynnika produkcji
zmniejszyła się o jednostkę, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.
Z definicji:
1
f
� (x) = .
ji
�ijf (x)
elastyczność substytucji i-tego czynnika przez czynnik j-ty w
wektorze nakładów x jest:
xi
�ijf (x) = �ijf (x) �"
x
j
�ijf pokazuje, o ile procent należy w wektorze nakładów x
zwiększyć ilość j-tego czynnika, gdy nakład i-tego czynnika
zmniejszył się o 1%, aby poziom produkcji nie uległ zmianie.
Z definicji:
1
f
� (x) = .
ji
�ijf (x)
7
Na mocy prawa Eulera o  wyczerpywalności produktu całkowitego1
Q a" MPKK + MPLL dla wszystkich K i L, gdzie matematycznie
produktywności krańcowe MPK i MPL oznaczają pochodne cząstkowe
pierwszego stopnia. Należy to interpretować następująco: jeżeli czynniki
są wynagradzane według ich krańcowej produktywności, to produkt Q
rozdziela się między nie całkowicie, czyli nie pojawia się ani niedobór,
ani nadwyżka.
Zatem udział pracy w produkcie wynosi:
�Q K K
�ł �ł
L = Lf - Kf '�ł �ł.
�ł �ł �ł �ł
�L L L
�ł łł �ł łł
Ponieważ Q = L�"APL = Lq(k), czyli f (K/L) = q(k), to
�Q K
L = Q - Kf '�ł �ł .
�ł �ł
�L L
�ł łł
Podobnie jest z produktem krańcowym kapitału:
�Q K � K K 1 K
= Lf '�ł �ł �ł �ł = Lf '�ł �ł�ł �ł = f '�ł �ł ,
�ł �ł �ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł
�K L �K L L L L
�ł łł �ł łł �ł łł�ł łł �ł łł
�Q K
którego udział w produkcie wynosi: K = Kf '�ł �ł . Ostatecznie
�ł �ł
�K L
�ł łł
�Q �Q
Q = K + L .
�K �L
Aby przejść z kategorii realnych określania udziału czynników
wytwórczych w produkcie całkowitym na podstawie wynagrodzenia równego
produktowi krańcowemu do wartościowych (pieniężnych) wystarczy pomnożyć
obie strony powyższego równania przez cenę produktu pod warunkiem, że
dobro sprzedawane jest na rynku konkurencji doskonałej. Wówczas:
�Q �Q
Q �" p = K p + L p .
�K �L
W warunkach rynku niedoskonale konkurencyjnego rosnącej sprzedaży
odpowiada spadająca cena, co oznacza, że:
�Q �p �Q �p
�ł �ł
Q �" p = K�ł p + Q + L�ł p + Q .
�ł �ł �ł �ł
�K �K �L �L
�ł łł �ł łł
Wynagrodzenia czynników wytwórczych równe przychodowi
krańcowemu z ich krańcowego produktu wyczerpują wartość produktu
całkowitego w przypadku konkurencji monopolistycznej, ale jednorodna funkcja
produkcji musi być funkcją stopnia wyższego od jedności. Wynika to z
równowagi długookresowej przedsiębiorstwa w konkurencji monopolistycznej,
która występuje dla wielkości produkcji o kosztach przeciętnych
odpowiadających rosnącym korzyściom skali.
1
Jeżeli funkcja produkcji jest dana przez Q = f (x,y,z), to przy założeniu stałych korzyści skali
dQ dx dy dz
.
= = =
Q x y z
8
Aby algebraicznie przedstawić korzyści skali, wystarczy określić, jak
wielkość produkcji reaguje na jednakowe zwiększenie nakładów obu
czynników. W tym celu ilości kapitału i pracy mnoży się przez tę samą liczbę 
("N) i bada, co dzieje się z produkcją.
Jeśli f(L, K) = ą�" f(L,K)  stałe korzyści skali,
jeśli f(L, K) > ą�" f(L,K)  rosnące korzyści skali,
jeśli f(L, K )< ą �f(L,K)  malejące korzyści skali dla ą=Ś.
Zatem nowy poziom produkcji Q1 może być wyrażony jako funkcja Ś i
początkowego poziomu produkcji Q0. Taka funkcja produkcji określona jest
jako jednorodna2, a wykładnik potęgi Ś nazywa się stopniem jednorodności
(homogeniczności) funkcji i mierzy korzyści skali, tj.:
- jeśli Ś = 1, to występują stałe korzyści skali,
- jeśli Ś < 1, to występują malejące korzyści skali,
- jeśli Ś > 1, to występują rosnące korzyści skali.
Najłatwiej dowód można przeprowadzić za pomocą współczynników
funkcji produkcji Cobba  Douglasa:
Q = A�"LaKb, w której korzyści skali mierzy się sumą wykładników (a+b) = Ś.
Powiększenie pracy L i kapitału K przez  spowoduje wzrost produkcji
Q1 = A(L)a(K)b = A(LaKb)(a+b). Z czego wynika, że Ś = (a+b).
Chociaż twierdzenia o korzyściach skali pokazują, co dzieje się z
wielkością produkcji wzdłuż promienia wychodzącego z początku układu
współrzędnych (poziom techniki), to korzyści skali określone dla tego promienia
niekoniecznie muszą charakteryzować całą funkcję produkcji. Izokwanty
wypukłe i ciągłe mogą reprezentować zarówno różnego rodzaju korzyści skali
wzdłuż ciągu wielkości produkcji leżącego na poszczególnych odcinkach
jednego promienia (rys. 3.5), jak i odmienne korzyści skali dla różnych promieni
(rys. 3.4.).
2
Funkcja jest jednorodna stopnia k, jeśli pomnożenie każdego z jej argumentów przez stałą  spowoduje zmianę
wartości funkcji w proporcji k, tj. jeśli f(x1, & xn)=kf(x1, & xn). Stała  może przyjmować dowolną wartość.
Aby powyższe równanie miało sens ekonomiczny f(x1,& xn) nie może wykraczać poza dziedzinę funkcji f.
9
stałe rosnące malejące
K 3K
2K 2K
5Q
2Q
3K K 4Q K
2K 3Q
K 2Q Q 3Q Q
Q 2Q
0 L 2L 3L L 2L 3L 0 L 2L L
(a) (b) (c)
rys. 3.4. Korzyści skali dla jednorodnej funkcji produkcji
kapitał
5Q
4Q
3Q
2Q
Q
0 praca
Rys. 3.5. Zmieniające się korzyści skali
10
cechy funkcji produkcji Cobba  Douglasa
Izokwantom odpowiada funkcja produkcji Cobba  Douglasa:
Q = A�"LaKb, gdzie: parametry (A, a, b >0).
Parametr A pokazuje, ile jednostek produkcji można uzyskać z
jednostkowych nakładów obu czynników, a i b określają reakcję poziomu
produkcji na przyrost nakładów czynników produkcji. Innymi słowy, A jest
współczynnikiem proporcjonalności wskazującym na stan technologii (zwanym
niekiedy parametrem wydajności); wykładniki każdej zmiennej są miarą
elastyczności cząstkowej produkcji względem odpowiedniego czynnika
produkcji.
Funkcja produkcji tego typu jest funkcją niemalejącą, ponieważ wzrost
choćby jednej zmiennej pozwala przynajmniej utrzymać dotychczasową jej
wartość. Izokwanty są wypukłe, co oznacza, że styczne do nich zawsze leżą pod
nimi. Funkcje produkcji wykazujące, że firmie nie opłaca się wykorzystywać
różnych technologii do wytworzenia danej produkcji charakteryzuje malejąca
krańcowa stopa technicznej substytucji MRTS, która informuje o wielkości
dodatkowego nakładu jednego czynnika ("L), która jest niezbędna do
zrekompensowania ubytku drugiego czynnika ("K), tak aby rozmiary produkcji
nie uległy zmianie.
Dowód można przeprowadzić na podstawie założenia, że istnieją różne
metody wytwarzania, czyli każdej kombinacji technicznej przypisany jest
zróżnicowany, stały współczynnik techniczny (relacja v:u), któremu odpowiada
odrębny wektor nakładów, a rozmiary produkcji charakteryzują stałe korzyści
skali. Jeśli przedsiębiorstwo stoi przed możliwością jednoczesnego
wykorzystania różnych technik lub tylko jednej z nich (rys. 3.6.), to wybór
powinien wynikać z maksymalizacji produktu całkowitego3.
3
Jest to koncepcja Wiesera, stanowiąca podstawę programowania liniowego w warunkach
mikroekonomicznych.. Zob. M. Blaug, Teoria ekonomii. Ujęcie retrospektywne, Wydawnictwo PWN,
Warszawa 1994, s. 440.
11
 K
B
C
"K
Q0/2
Q1
"L A Q0
Q0/2
0 L
Rys. 3.6. Maksymalizacja produkcji przy ograniczeniach liniowych
Przy założeniu, że produkcja charakteryzuje się stałymi korzyściami skali, połowa
nakładu, wykorzystanego do uzyskania Q0 za pomocą techniki opisanej przez punkt B,
pozwala otrzymać Q0/2 jednostek produktu. Podobnie z połową nakładu wykorzystanego w
metodzie A. Gdyby te nakłady wykorzystano łącznie, a zatem zastosowano jedną technikę
(zatrudniając czynniki w proporcji wskazanej przez półprostą 0C), otrzymana produkcja
Q0 Q0
byłaby większa niż + = Q0 : punkt C leży na izokwancie Q1. Firmie nie opłaca się
2 2
zatem stosować kilku różnych technologii, by wytworzyć daną produkcję. Funkcje produkcji
posiadające tę właściwość charakteryzuje malejąca MRTS.
Ogólny wzór można wykorzystać do obliczenia MRTS w przypadku funkcji Cobba 
b
"f / "L A�" a �" La-1 �" K a �" K
Douglasa: MRTS = = - = - .
b-1
"f / "K A�" La �" b �" K b �" L
Jak już wspomniano funkcja Cobba  Douglasa nadaje się również do badania
korzyści skali. Stałe korzyści skali oznaczają, że a+b=1, czyli proporcjonalnemu wzrostowi L
i K odpowiada identyczny wzrost produkcji. Tym razem dowód można przeprowadzić
różniczkując równanie: Q = A�"LaKb.
Otrzymuje się dQ = aALa-1KbdL + bALaKb-1d K
i podstawiając poprzednie równanie uzyskuje się następujące wyrażenie:
q q
dq = a dL + b dK .
L K
Ten zapis korzyści skali ilustruje zmianę produkcji wskutek zmiany obu nakładów
dL dK
przy niezmienionej relacji kapitału do pracy K/L. Przy założeniu, że = przyrost
L K
dL dK
produkcji wynosi: dQ = Q [a + b] = Q [a + b]
L K
12
dQ dL dK
albo wyrażając tempo wzrostu: = [a + b] = [a + b] .
Q L K
Ponieważ z założenia a+b=1 i K/L=constans, to produkcja rośnie dokładnie w tym
samym tempie co nakłady czynników. Gdy a+b>1, to produkcja rośnie szybciej niż nakłady i
występują rosnące korzyści skali, a w przypadku a+b<1 produkcja rośnie wolniej niż
proporcjonalnie, co jest charakterystyczne dla malejących korzyści skali.
szczególne przypadki funkcji produkcji
Sztywne założenia dotyczące niezmienności proporcji nakładów czynników
wytwórczych występują w całej pełni w skali mikroekonomicznej, gdy przedsiębiorstwo ma
do wyboru tylko jedną metodę wytwarzania i zwiększenie wielkości produkcji możliwe jest
jedynie poprzez ścisłe zachowanie wielokrotności nakładów. Innymi słowy, niemożliwa jest
substytucyjność kapitału pracą i odwrotnie, ponieważ czynniki można używać tylko w
stałych, ściśle określonych proporcjach. Czynniki wytwórcze charakteryzują się wówczas
doskonałą komplementarnością, a funkcja produkcji (rys. 3.7.a), przy założeniu stałych
korzyści skali, przyjmuje postać:
QX = f(L,K) = min[a�"L, b�"K], gdy a, b >0.
Dla doskonałej komplementarności nakładów (funkcja produkcji Koopmansa 
Leontiefa) określenie ich produktywności krańcowej jest niemożliwe, zatem MRTS wynosi
zero i jest nieciągła4, zatem elastyczność substytucji również jest zerowa (� = 0).
Funkcja produkcji Koopmansa  Leontiefa to funkcja f : R+2 R+1 postaci:
y = f (K, L) = min{K/�, L/�}, gdzie: � > 0 - współczynnik
kapitałochłonności przedstawiający niezbędny nakład kapitału na
wytworzenie jednostki produkcji, � > 0  współczynnik
pracochłonności opisujący nakład pracy niezbędny do wytworzenia
jednostki produkcji.
Przykład: jeżeli � = 2 i �= 3, wtedy
f (10, 15) = min {5, 5} = 5
f (10, 18) = min {5, 6} = 5
f (12, 18) = min {6, 6} = 6
f (14, 18) = min {7, 6} = 6
Szczególnym przypadkiem funkcji produkcji jest również doskonała substytucyjność
nakładów, która występuje, gdy czynniki są doskonale zastępowalne (rys. 3.7.b), tj. jednostka
kapitału w określonym czasie może wykonać dokładnie taką samą ilość produkcji, co pewna
liczba pracowników. Funkcja produkcji dla takiej technologii może być zapisana jako:
QX = f(L, K) = a�"L +b�"K.
4
Izokwanta o graficznym obrazie kąta prostego znana jest w literaturze jako izokwanta Leontiefa. Zob. A.
Koutsoyiannis, Modern Microeconomics, Macmillan 1991, s. 68.
13
Krańcowa stopa technicznej substytucji MRTS jest wówczas stała i równa się
"L b
= -
nachyleniu izokwanty, czyli , a elastyczność substytucji jest
"K a
nieskończona (� = ").
Do szczególnych przypadków funkcji produkcji należy zaliczyć także izokwantę
programowania liniowego zwaną też łamaną izokwantą (rys. 3.7.c), która charakteryzuje się
występowaniem niewielu metod produkcji danego dobra (najbardziej realistyczna postać
krzywej jednakowego produktu). Każda z nich prezentuje inną proporcję nakładów
czynników wytwórczych, dlatego ich substytucyjność jest możliwa jedynie w złamaniach
izokwanty. Im więcej metod wytwarzania, tym bliżej położone złamania i kształt izokwanty
bardziej zbliża się do kształtu izokwanty wypukłej i ciągłej.
K K K
Q3
Q2 Q3
Q1 Q1 Q2 Q3 Q1 Q2
0 L L L
(a) (b) (c)
Rys. 3.7. Szczególne przypadki funkcji produkcji
14