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La premiere composante principale U\ est definie par
U\ = argmax{Var(UJY)}1 ue R«
sous contrainte U?U\ =1. La solution a cette maximisation est U\ = e\ ou e\ est
le vecteur propre associe a la plus grandę valeur propre Ai de E. Ainsi Z\ = ejY a
pour variance, Var(Zi) = ejEei, maximale.
La deuxieme composante principale U* est definie par
U2 — argmax{Var(t/Ty)}, ue R«
sous contraintes U?— 1 et U^ei = 0. La solution k ce probleme de maximisation est U2 = e2 ou e2 est le vecteur propre de E associe a A2 la deuxieme plus grandę valeur propre.
La qhmt composante principale Uq est definie par
Uq = oigmax.{Var(UTY)}} ue R«
et sous contraintes UjUq = 1 et Ujem = 0, m = — 1. La solution a ce
probleme de maximisation est Uq = eq ou eq est le vecteur propre de E associe a A^ la plus petite valeur propre. Habituellement, la matrice de variances-covariances E est inconnue; elle peut alors etre estimee par E a partir de la matrice des donnóes Y. Soient Ai,A2,••• les valeurs propres associees respectivement aux vecteurs propres ei,e2, • • • ,eq de la matrice E . Les composantes principales deviennent :
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