4531591944

Rozdział 1

Wstęp

Przedmiotem naszego zainteresowania będzie następujący układ równań:

—div cr(x) = —div F(x)

CVu(x),cr(x)) E A(x),

u = 0 na dii,

gdzie A(x) jest ściśle monotonicznym wielowartościowym wykresem zależnym od a: z warunkami wzrostu i koercytywności właściwymi dla anizotropowych przestrzeni Orlicza.

Problem ten jest prostym uogólnieniem zwyczajnego układu równań eliptycznych

—divA(a:, V«(i)) = — divF(s), u = 0 na dii

na operatory A, które nie muszą być jednowartościowe, natomiast mogą być w ograniczonym sensie wielowartościowe - konieczna jest maksymalna monotoniczność, która zastępuje ciągłość względem drugiego argumentu. Dla operatorów wielowartościowych, których wzrost i koercytywność odpowiada (izotropowym) przestrzeniom LA istnienie słabych rozwiązań zostało wykazane różnymi metodami w [9], [12] oraz [8]. Chociaż wydaje się, że wszystkie podejścia miałyby szansę uogólnienia, w tej pracy została zastosowana metoda zaproponowana przez Gwiazdę i Zatorską-Goldstein w [8], która polegała na regularyzacji wielowartościowego wykresu za pomocą splotu i uzyskaniu przybliżonych rozwiązań standardową metodą Galerkina. Przejście do granicy oparte było na pomyśle obrotu wykresu o 45 stopni i miarach Younga. Przy wykorzystaniu tej metody, konieczne było precyzniejsze dostosowanie „wygładzacza” do wykresu, co objawiło się jego zmieniającym się w sposób gładki w zależności od punktu rozmiarem i spowodowało komplikację problemów związanych z mierzalnością. Udało się je przezwyciężyć dzięki obrotowi wykresu. Inne trudności związane z anizotropowymi przestrzeniami Orlicza to brak refleksywności i wystarczająco mocnej nierówności Poincarego, co doprowadziło do konieczności zastosowania niestandardowych metod przybliżania funkcji funkcjami gładkimi.

Uzyskane wyniki są połączeniem metod wielowartościowych stosowanych w wyżej wymienionych pracach z technikami rodem z przestrzeni Orlicza i Orlicza-Sobolewa, które rozwinęły się w latach siedemdziesiątych i osiemdziesiątych dwudziestego wieku. Wszystko rozpoczęło się od Donaldsona, który w [3] wykazał istnienie słabych rozwiązań dla dużej klasy operatorów o szybko rosnących współczynnikach. Te wyniki dotyczące kwaziliniowych operatorów eliptycznych postaci A(u) = 2|a|<»n(^—'L)^D^aA_a{x,u,V^mu) zostały rozszerzone przez

5