5032124825

4 Zbiory i rodziny zbiorow

Zadanie 1.1.2 Udowodnić następującą równoważność:

(B\A)UA = B^AcB.

Rozwiązanie

Niech x oznacza zdarzenie elementarne. x E (B\ A) U A (x E B A x& A) VxeA<& o (x e B v x e A) A (x e A^c v x e A) o (x e (AuB)) vx e fł o x E (i4 U B)

Otrzymujemy zatem równość A U B = B, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy A c B.

Zadanie 1.1.3 Zbadano grupę 50 osób i okazało się, że Ą3 osoby uprawiają sport, 19 osób gra w gry strategiczne, a 20 gra w gry losowe. Wiedząc, że wszyscy grają w jakieś gry, wykazać, że co najwyżej 32 osoby spośród badanych uprawia więcej niż jeden rodzaj gier.

Rozwiązanie

Niech:

A-zbiór osób uprawiających sport;

R-zbiór osób grających w gry strategiczne;

C-zbiór osób grających w gry losowe.

Z danych w zadaniu wynika, że

|,4| + |R| + \C\ - \An B\ - \AnC\ - \BnC\ + \An Bn C\ = 50. Przekształcamy do postaci:

\A\ + \B\ + \C\ + \AnBnC\-50=\AnB\ + \AnC\ + \BnC\ Zbiór AnBnC

nie musi być zbiorem pustym, zatem

|4| + \B\ + \C\ - 50 > \A n B\ + \A n c\ + \B n c\

Wykorzystując dane w zadaniu mamy

43 + 19 + 20 - 50 > \A fi B\ + \A fi C\ + \B fi C\

?>2>\AC\B\ + \AC\C\ + \B D C\

Zadanie 1.1.4 Niech Ul = {0,2,4,6,8}. Znaleźć najmniejszą a-algebrę S zawierającą rodzinę 7Z — {{0}, {2,4,6}}.

Rozwiązanie

Zauważmy, że ponieważ źl jest zbiorem skończonym, warunek zamknięcia rodziny na branie sum przeliczalnych oznacza zamknięcie tej rodziny na branie tylko sumy mnogościowej.