672581039

Przykład 0.4.12 (Niestandardowy rozkład normalny). Niech X ma rozkład standardowy normalny oraz ip(x) = ax + /j.,dla <7 > 0,/i € i?. Wtedy Y = oX + fx ma rozkład o gęstości

fy(y) =

Rozkład ten (lub zmienne o tym rozkładzie) oznaczamy N(p,o).

Wniosek 0.Ą.1 Jeśli Y ma rozkład normalny N(/x,cr), to X = (Y — p)/o ma rozkład N(0,1).

Przykład 0.4.13 (Rozkład jednostajny). Niech X ma rozkład standardowy wykładniczy oraz ip(x) = (1 — e~^x)I[o_i00)(x). Wtedy Y = ip(X) ma rozkład jednostajny na [0,1], tzn. fy (y) = I[o,i) (?/) •

Ogólnie, jeśli X ma dystrybuantę F o gęstości /, to Y = F(X) ma rozkład jednostajny na [0,1]. Ciągłą funkcję F można zawsze odwrócić w następujący sposób:

F~¹(y) = min{x : F(x) > y}

Wtedy analogicznie otrzymujemy

Wniosek 0.4.2 Jeśli Y ma rozkład jednostajny na [0,1], to X = F~^l(Y) ma rozkład o dystrybuancie F, przy założeniu, że F jest cięgła.

0.4.5 Rozkłady łączne i brzegowe

Rozkłady łączne służą do opisu wektora zmiennych losowych (Xi,X_n). Rozważamy najpierw przypadek n = 2 i zamiast (X\,X2) piszemy (X, Y).

Gdy X, Y przyjmują wartości całkowite, określamy (łączną) funkcję prawdopodobieństwa.

Definicja 0.4.5 Niech X, Y € Z, wtedy (łęcznę) funkcję prawdopodobieństwa nazywamy

P(x,Y)V,j) = P(X = i,Y = j)

określonę dła i,j € Z.

Przykład 0.4.14 W pewnej populacji mężczyzn sklasyfikowano ich wzrost i ciężar. Dane ujęto w kategoriach, dla wzrostu:

kategoria 12    3

wzrost 170 ± 5 180± 190 ± 5

dla ciężaru ciała

kategoria 0    12    3

ciężar 60 ±5 70 ±5 80 ±5 90 ±5

Procentowo ujęte wyniki łęczne przedstawiono w tabeli:

wzrost\ ciężar	0	1	2	3
1	8%	8%	6%	0
2	8%	16%	16%	8%
3	0	8%	10%	12%

13