7543473390

Le probleme Principal est Vestimation du paramdtre k . Il est facile pour wie raleur connue de de transformer les trois óąuations ci-dessus en moddles linóaires :    ’

Y = a + b (X^k)

ł

• ^

oil la variable explicative est X

log Y = log a + b (X^k)

vJ    C

k-

ou la rariable explicative est encore X et la variable expliquśe log_gY

log_e Y = log_e a + b log_e ^1 - e ^ ou la uariable explicative est log

1 - e

-kX

et la uariable ex-

pliąuće log Y.

Pour une valeur de k fixśe, on peut ajuster ces trois modźles "linearisds" par regression simple. Nous allons voir ąue l'on peut determiner graphiąuement la valeur de k qui foumit le meilleur ajustement.

Le principe en est simple : on calcule, par la mćthode classique dś~ crite au paragraphe A21 , la sorrne des carris residuelle du modele linćarise pour une serie de valeurs de k ; on porte sur un graphique ces sormes de carres residuelles en fonction de la valeur de k, et on tracę a la madn une courbe reguliire passant par les points ainsi dśfinis ; la valeur de k correspondant au minimum de cette courbe constitue la meilleure estimation de ce paramdtre, et la regression lineaire faite avec cette valeur de k donnę les meilleures estimations correspondantes des paramdtres a et b.

Prenons corme exemple les donnees reprśsentóes sur la figurę AAI ₃ qui sont des hauteurs óbserv&es sur une placette a diffćrents dges ; on sou-haite y ajuster le modele :

linćarisće du modele >

Y etant la hauteur et X l '&ge du peuplement. La formę

-kX

e

J

log Y = log a + b log

permet d^restimer la constante log a et la pente b de la regression linóaire

[ -kxl

simple de log Y sur logii - e ^J \pour n'importe quelle valeur de k. Pour le moment, c^fest surtout la^Ksomme des carres residuelle SCR qui nous interesse dans ces rćgressions (voir l'imprime A2 au paragraphe A21 ). Avec les donnees de la figurę A41., on obtient pour une sćrie de ualeurs de k les sormes de carres residuelles ci-dessous :

k	somme des carres residuelle
0,05	0,2828
0,15	0,0302
0,25	0,0732
0,35	0,2657
0,45	0,4887