984501238

15

3. LICZBY CAŁKOWITE, WYMIERNE I RZECZYWISTE

jest ograniczony z góry na przykład przez liczbę Z Aksjomatu Dedekinda wynika co następuje:

Twierdzenie 3.1. Niech XC1 będzie dowolnym zbiorem niepustym. Wówczas:

(1)    jeśli zbiór X jest ograniczony z góry, to istnieje taka liczba

a = sup X,

nazywana kresem górnym zbioru X, że a jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X, tzn. x ^ a dla każdego x G X oraz jeśli a' < a, to istnieje takie x € X, że a' < x.

(2)    jeśli zbiór X jest ograniczony z dołu, to istnieje taka liczba

(3 = inf X,

nazywana kresem dolnym zbioru X, że (3 jest największym ograniczeniem dolnym zbioru X, tzn. (3 ^ x dla każdego x G X oraz jeśli (3 < (3', to istnieje takie x G X, że x < (3'.

Istotnie, ustalmy zbiór niepusty X ograniczony z góry. Wówczas zbiór B = {b G R: x < b dla każdego x G X} jest także niepusty. Jeśli zaś jako A przyjmiemy dopełnienie zbioru B, tzn.

A = {a G A: a £ B},

to otrzymamy taki zbiór niepusty, że A U B = R. Istotnie, z określenia zbioru B wynika, że żaden element zbioru X nie należy do B, a więc X C A, przy czym zbiór X jest niepusty. Jeśli w zbiorze A jest liczba największa, powiedzmy ao, to r ^ ao, bo X C A. Wówczas ao jest elementem największym w A (a więc ao = sup A), bo w przeciwnym wypadku ao należałoby do B. Jeśli zaś w B jest liczba najmniejsza, to zgodnie z definicją jest ona kresem górnym zbioru A. Drugiej części twierdzenia 3.1 dowodzi się analogicznie.

Można nietrudno sprawdzić, że

sup{a G Q: a² < 2} = inf{a G Q: 2 < a²} = \/2.

Pojęcie kresu górnego i kresu dolnego należą do najważniejszych w tej części matematyki, którą nazywamy analizą matematyczną. Przy jego pomocy można w szczególności rozszerzyć pojęcie potęgowania liczb na przypadek, gdy wykładnik potęgi jest liczbą niewymierną. Dla liczb wymiernych postaci | oraz dodatnich    mamy

możemy przy tym zakładać, że ą G N. Jeśli aGl oraz x > 0, to przyjmujemy x^a — supła:*": w G Q oraz w < a},