S6300958

Uzasadnimy tera*, że ciąg Jest ograniczony z góry. W tym celu wykorzystamy 1 + * < e* dla x >o.

Stosując ją do każdego czynnika wyrazu v_n otrzymamy

Gn

Korzystając teraz z nierówności

2 ⁺ 2²⁺ "⁺2» ^{1 < 1}

oraz z faktu, że funkcja e* jest rosnąca, mamy

v_n < e¹ = c.

Zatem ciąg (v_n) jest ograniczony z góry przez e. Z twierdzenia o ciągu monotonie®** i ograniczonym wynika, że ciąg ten jest zbieżny. W miejscu oznaczonym (*) korzyć liany ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego podania » rozwiązaniu przykładu d).

• Przykład 1.10

Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obikzjt podane granice:

1

^a)^(¹⁺2n+^

c, lin, ^{(n + 1)}^

n-K» („2

(n² + 2 n)

n²+2n*

d) lim

4n

4n + 1 1

e) lim (0.99... 9 )    ;

n dziewiątek*

Rozwiązanie

Liczbę e definiujemy wzorem

_is ^e~ „1“ (¹⁺s);

Twierdzenie o podciągu ciągu zbieżnego mówi, że ma on tę samą granicę co ciąg. a) Mamy

Ps®

f*) lim 1 +

nr

lim fl + ■ V"o) ~ ¹¹¹¹¹

n—oo \ £Tl T o/    n—*co

(‘♦STl)

(1 + 0)*

/ 1

W rozwiązaniu korzystaliśmy z faktu, że ciąg f 1 +    J jest podciągiem oflt

V l\ⁿ