Rozkłady NIECI
GA
E
Rozkład dwupunktowy (zero jedynkowy) - teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa zmiennej
losowej skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:
)
Rozkład używany w statystyce przy badaniu cech niemierzalnych (jakościowych)
Rozkład dwumianowy(rozkład Bernoulliego) - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej
skokowej X o funkcji prawdopodobieństwa określonej wzorem:
Rozkład Poissona - rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X o funkcji
prawdopodobieństwa określonej wzorem:
Rozkłady CI
GA
E
(najważniejszy)Rozkład normalny - najprostszy w statystyce rozkład zmiennej losowej ciągłej X o
prawdopodobieństwa określonej wzorem:
Często rozkład normalny oznacza się symbolem N(m, �), gdzie m jest wartością oczekiwaną (średnią).
a � odchyleniem standardowym w tym rozkładzie.
Rozkład normalny standardowy - rozkład normalny N(0,1) o funkcji gęstości określonej wzorem:
Wykresem jest krzywa Gaussa, a zmienna krzywa U mająca rozkład N(0,1) nosi nazwę standardowej
lub unormowanej zmiennej normalnej
Rozkład X2 (chi kwadrat) o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa określonej wzorem:
0 dla X2d"0
Rozkład t Studenta o k stopniach swobody - rozkład zmiennej losowej ciągłej o funkcji gęstości
prawdopodobieństwa określonej wzorem:
dla -
Rozkład F Snedecara o k1 i k2 stopniach swobody rozkład zmiennej losowości ciągłej o funkcji
gęstości prawdopodobieństwa.
str. 1
ESTYMACJA PRZEDZIAA
OWA PARAMETRÓW
1) Przedział ufności dla średniej
MODEL 1
założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m, �),
- wartość średnia m jest nieznana,
-próba losowana niezależnie,
Wzór przedziału ufności dla średniej m:
Wartość un dla danego współczynnika ufności 1-ą, wyznaczona jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0,1), tak aby
P{ -uą < U < + uą} = 1 - ą
Dla przykładu jeżeli 1-ą=0,95 to un = 1,96
-
Model 2
założenia:
- populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe � nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby mała (n<30)
Wzór przedziału ufności dla średniej m:
Odchylenie standardowe:
s - odchylenie standardowe populacji
%5ń - odchylenie standardowe próbki
Wartość tn dla danego współczynnika ufności 1-ą oraz k = n - 1 liczby stopni swobody, wyznaczona
jest z tablicy dystrybuanty rozkładu t Studenta, tak aby:
P [ -tn < t < +tn] = 1 - ą
-
str. 2
Model 3
założenia;
- populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-wartość średnia m jest nieznana,
-wariancja �2 nieznana,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (n>30)
Wzór przedziału ufności dla średniej m :
Ponieważ n jest duże, wyniki próby grupuje się w szereg o r klasach, tak aby:
r - liczba klas,
nj - liczebność własna klasy,
� - środek przedziału klasowego.
Wartość un dla danego współczynnika ufności 1-ą, wyznaczona jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0,1), tak aby
P[ -uą < U < + uą] = 1 - ą
-
2) Przedział ufności dla wariancji
Podstawowe pojęcia:
Najczęściej używanymi estymatorami wariancji ą2 populacji generalnej są statystyki określonej
wzorami:
s2 - wariancja populacji (estymator obciążony),
%5ń2 - wariancja próbki (estymator nieobciążony),
W przypadku wyznaczenie przedziału ufności dla wariancji oba estymatory s2 i %5ń2 są równoważne:
-
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe � nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby mała (n<30).
str. 3
Wzór przedziału ufności dla wariancji �2:
= 1 - ą
= 1 - ą
c1 , c2 - wartości zmiennej X2 wyznaczone z rozkładu X2 dla k = n - 1 stopni swobody oraz
współczynnika ufności 1-ą, tak aby:
Ponieważ używane powszechnie tablice rozkładu X2 podając prawdopodobieństwo P{X2 e" Xą2}, zatem
wartość c1 odczytujemy z tablic rozkładu X2 dla prawdopodobieństwa 1/2 ą, natomiast c2 dla -1/2 ą.
-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-wartość średnia m jest nieznana,
-odchylenie standardowe � nieznane,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (ne"30).
Z próby wyznaczana jest wartość .
Wzór przedziału ufności dla odchylenia standardowego populacji �:
H" 1 - ą
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1 - ą, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0, 1) tak aby:
P{-uą < U < +uą } = 1 - ą
-
3) Przedział ufności dla procentu (wskaz
nik struktury)
Podstawowe pojęcia:
Jeżeli badana cecha w populacji generalnej ma charakter jedynie jakościowy (jest niemierzalna),
elementy populacji możemy wtedy podzielić na dwie klasy. Podstawowym parametrem populacji ze
względu na cechę jakościową (niemierzalną) jest frakcja, lubpo pomnożeniu przez 100 - procent,
elementów wyróżnionych w populacji (in. wskaz
nik struktury).
Najlepszym estymatorem parametru p (frakcja) jest wskaz
nik struktury z próby m/n, gdzie m
oznacza liczbę elementów wyróżnionych w losowej próbie o liczebności n.
Najlepiej szacować frakcję p elementów wyróżnionych w populacji (lub procent), w oparciu o wyniki
dużej próby (n<100) .
str. 4
Model 1
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-frakcja elementów wyróżnionych p > 0,05,
- próba losowana niezależnie,
-liczebność próby duża (n>100).
Wzór przedziału ufności dla wskaz
nika struktury p populacji generalnej:
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1-ą, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0, 1), tak aby:
P{-uą < U < +uą} = 1 - ą
-
4) Wyznaczenie niezbędnej liczby pomiarów do próby
Podstawowe pojęcia:
Szacując metodą przedziałową parametr � populacji generalnej, wyznacza się dla niego przedział
ufności w oparciu o rozkład estymatora, w oparciu o wyniki próby o ustalonej z góry liczebności n.
Może okazać się, że połowa długości przedziału ufności d która jest miarą maksymalnego błędu
szacunku parametru �, dyskredytuje dokonany szacunek parametru ze względu na swą wielkość.
Aby zapewnić zgodną z góry dobrą dokładnośc szacunku pomiaru �, należy przy założonym
współczynniku ufności 1-ą, odpowiednio dobrać liczebność próby n!
Obliczenia da się przeprowadzić dla szacunku średniej m oraz frakcji p.
Nie można zastosować takiego rozumowania dla szacunku wariancji �2.
-
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-wariancja populacji �2 jest znana,
-szacowanie nieznanej średniej m populacji z próby o n elementach. losowanych niezależnie.
Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1-ą, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0, 1), tak aby:
P{-uą < U < +uą} = 1 - ą
-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
- wariancja populacji �2 jest nieznana,
-znana statystyka %5ń2uzyaskana z małej próby wstępnej,
- próba losowana niezależnie, o liczebności n0,
-szacowanie nieznanej średniej m populacji z próby o n elementach, losowanych niezależnie.
Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:
str. 5
Wartość tą dla danego współczynnika ufności 1- ą oraz k = n0 - 1 liczny stopni swobody,
wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu t Studenta, tak aby:
P{-tą < t < +tą} = 1 - ą
Jeżeli n d" n0 (obliczona wartość n zaokrąglamy do całości, zawsze w górę), to próba wstępna jest
wystarczająca(spełnia założoną dokładność szacunku średniej m).
Jeżli n>n0, to należy jeszcze dolosować do właściwej próby n- n0 elementów.
-
Model 3
Założenia
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-szacowanie nieznanej frakcji p populacji z próby o n elementach, losowanych niezależnie.
Wzór na niezbędną liczebność próby n, przy założonym maksymalnym błędzie szacunku d:
a) Jeżeli znamy spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji p
b) Jeżeli nie znamy spodziewanego rzędu wielkości szacowanej frakcji p, zakłada się największą
wartość iloczynu pq= 1/4
Wartość uą dla danego współczynnika ufności 1-ą, wyznaczana jest z tablicy dystrybuanty rozkładu
normalnego N(0, 1), tak aby:
P{-uą < U < +uą} = 1 - ą
-
5) Test dla wartości średniej populacji
Model 1
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-m0 - hipotetyczna wartość średniej,
-odchylenie standardowe � nieznane,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: m=m0,
-hipoteza alternatywna H1: m`"m0.
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
Z tablicy rozkładu N(0,1) przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{|U| e"uą} = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
str. 6
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m`"m0.)
Jeżeli hipoteza H1: mtak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m>m0. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
-
Model 2
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-m0 - hipotetyczna wartość średniej,
-odchylenie standardowe � nieznane,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: m=m0,
-hipoteza alternatywna H1: m`"m0.
-próba losowana mała(n<30).
Wzór na wartość statystyki t:
Z tablicy rozkładu t Studenta przy założonym poziomie istotności ą oraz k=n-1 stopniach swobody,
wyznacza się wartość krytyczną tą, tak aby zachodziła równość:
P{|t| e"tą} = ą
Zbiór wartości U okreslon jako |t| e" tą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli :
|t| e" tą - hipotezę H0 nalezu odrzucić,
|t| < tą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 2 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m`"m0.)
Jeżeli hipoteza H1: mtak aby:
P{t d" tą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m>m0. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. t e" tą oraz tą wyznaczamy
tak aby:
P{t e" tą } = ą
-
Model 3
Założenia
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
- wariancja populacji �2 jest nieznana,
-m0 - hipotetyczna wartość średniej,
-weryfikacja na podstawie próby losowana hipotezy H0: m=m0,
-hipoteza alternatywna H1: m`"m0,
- próba losowana duża (ne"30).
str. 7
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
Z tablicy rozkładu N(0,1) przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{|U| e"uą} = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 3 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m`"m0.)
Jeżeli hipoteza H1: mtak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m>m0. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
-
6) Test dla dwóch średnich
Model 1
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m1, �1) oraz N(m2, �2),
-odchylenie standardowe �1 oraz �2 znane,
weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H0: m1=m2,
-hipoteza alternatywna H1: m1`"m2.
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą, tak
aby zachodziła równość:
P{|U| e" uą} = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1`"m2.)
Jeżeli hipoteza H1: m1wyznaczamy tak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m1>m2. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
str. 8
 -
Model 2
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m1, �1) oraz N(m2, �2),
-odchylenie standardowe �1 oraz �2 nieznane, lecz �1= �2,
weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H0: m1=m2,
-hipoteza alternatywna H1: m1`"m2.
- próby losowane małe (n1 < 30 oraz n2 < 30)
Wzór na wartość statystyki t:
Z tablicy rozkładu t Studenta przy założonym poziomi istotności ą oraz k = n1 + n2 - 2 stopniach
swobody, wyznacza się wartość krytyczną tą tak aby zachodziła równość:
P{|t| e" tą} = ą
Zbiór wartości t określono jako |t| e"tą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|t| e" tą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|t| < tą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 2 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1`"m2.)
Jeżeli hipoteza H1: m1tak aby:
P{t d" tą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m1>m2. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. t e" tą oraz tą
wyznaczamy tak aby:
P{t e" tą } = ą
-
Model 3
Założenia:
-populacje generalne mają rozkład N(m1, �1) oraz N(m2, �2),
-odchylenie standardowe �1 oraz �2 nieznane,
weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H0: m1=m2,
-hipoteza alternatywna H1: m1`"m2.
- próby losowane duże (n1 e" 30 oraz n2 e" 30)
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{|U| e" uą} = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
str. 9
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 3 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1`"m2.)
Jeżeli hipoteza H1: m1wyznaczamy tak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: m1>m2. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
-
7) Test dla procentu (wskaz
nik struktury)
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład dwupunktowy,
-p - frakcja elementów wyróżnionych w populacji,
p0 - hipotetyczna wartość frakcji,
- weryfikacja na podstawi próby losowej hipotezy H0: p=p0,
- hipoteza alternatywna H1: p`"p0,
- próba losowana niezależnie, duża (n>100).
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
gdzie q0 =1 -p0
Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{U d" uą } = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p`"p0.)
Jeżeli hipoteza H1: ptak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: p>p0. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
-
7) Test dla dwóch procentów
Model 1
Założenia:
-dwie populacje generalne mają rozkłady dwupunktowe,
-p1, p2 - frakcje elementów wyróżnionych w populacji,
- weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H0: p1=p2,
- hipoteza alternatywna H1: p1`"p2,
str. 10
- duże próby losowe (n1>100, n2>100).
Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:
gdzie q =1 -p
Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{U d" uą } = ą
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Model 1 opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p`"p0.)
Jeżeli hipoteza H1: ptak aby:
P{U d" uą } = ą
Jeżeli hipoteza H1: p>p0. - test z prawostronnym obszarem krytycznym tzn. U e" uą oraz uą
wyznaczamy tak aby:
P{U e" uą } = ą
-
8) Test dla wariancji populacji generalnej
Model 1
Założenia:
-populacja generalna ma rozkład N(m, �),
-średnia m oraz odchylenie standardowe � nieznane,
- �02 -hipotetyczna wartość wariancji,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: �2= �02,
- hipoteza alternatywna H1: �2>�02,
- próba losowa mała (n<30).
Wzór na wartość statystyki X2:
Z tablicy rozkładu X2, przy założonym poziomie istotności � oraz k=n-1 stopniach swobody wyznacza
się wartość krytyczną X02, tak aby zachodziła równość:
P{X e" Xą2 } = ą
Zbiór wartości X2 określono jako X2 e" X02 jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
X2e" X02 - hipotezę H0 należy odrzucić,
X2 < X02- nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Jeżeli n e" 30 korzystamy z rozkładu N(0,1) zgodnie ze wzorem
Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności ą, wyznacza się wartość krytyczną uą,
tak aby zachodziła równość:
P{U d" uą } = ą
str. 11
Zbiór wartości U określono jako |U| e"uą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
|U| e" uą - hipotezę H0 należy odrzucić,
|U| < uą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
-
8) Test dla dwóch wariancji
Model 1
Założenia:
-populacje generalne mają rozkłady N(m1, �1) oraz N(m2, � 2),
-średnie m1 ,m2 oraz odchylenia standardowe � 1, � 2 nieznane,
-weryfikacja na podstawie dwóch prób losowych hipotezy H0: � 12 = � 22
- hipoteza alternatywna H0: � 12 > � 22.
Z obu prób wyznaczana jest wartość statystyki ;
Wzór na wartość statystyki F:
Z tablicy rozkładu F przy założonym poziomie istotności ą oraz k1=n1 -1 i k2=n2 - 1 stopniach swobody,
wyznacza się wartość krytyczną Fą tak aby zachodziła równość:
P{F e" Fą } = ą
Zbiór wartości U określono jako F e"Fą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
F e" Fą - hipotezę H0 należy odrzucić,
F < Fą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
-
9) Test zgodności X2:
Model 1
Założenia:
-populacje generalne mają rozkłady �,
-próba losowa o dużej liczebności (ne"30),
-F(x) - dystrybuanta rozkładu populacji,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: F(x)T�.
Wzór na wartość zmiennej rozkładu X2:
- wartość dystrybuanty rozkładu N(0,1) w punkcie u1;
r - liczba klas,
ni - liczebność i-tej klasy,
pi - wartość prawdopodobieństwa w i-tej klasie,
xi - wartość końca przedziału w i-tej klasie.
Z tablicy rozkładu X2, przy założonym poziomie istotności k=r-1 stopniach swobody, wyznacza się
wartość krytyczną X ą 2, tak aby zachodziła równość:
P{ X2 e" X ą 2 } = ą
Zbiór wartości U określono jako X2 e" X ą 2 jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
X2 e" X ą2 - hipotezę H0 należy odrzucić,
str. 12
X2 < X ą2 - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
Uwaga
Test X2 jest tak zbudowany, że im bliższa zeru jest wartość X2, tym hipoteza H0 jest bardziej
wiarygodna
-
10) Test zgodności  Kołmogorowa
Model 1
Założenia:
- populacja generalna ma dowolny ciągły rozkład �,
- próba losowa o dużej liczebności (ne"30);
-F(x) - dystrybuant rozkładu populacji;
-F0(x) - hipotetyczna ciągła dystrybuanta,
- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: F0(x).
Wyniki próby grupujemy w stosunkowo wąskie przedziały o prawych końcach xj oraz liczebnościach
nj. Obliczamy empiryczną dystrybuantę Fn(x) ze wzoru
- skumulowana od początku aż do xj liczebność , tzn.:
Z podziału hipotetycznego wyznaczamy dla każdego xj wartość teoretycznej dystrybuanty F(x), np.
Fn(x)=F(uj), przy czym
;
Ostatecznie wyznaczana jest wartość statystyki  z zależności:
Z tablicy rozkładu  Kołmogorowa, przy założonym poziomie istotności ą wyznacza się wartość
krytyczną ą, tak aby zachodziła równość:
P{  e"  ą } = ą
Zbiór wartości U określono jako  e"  ą jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:
 e"  ą - hipotezę H0 należy odrzucić,
 <  ą - nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
str. 13