Materiały pomocnicze do egzaminu z geometrii
I. Zagadnienia do egzaminu
1. Przestrzeni afiniczna - określenie i przykłady.
2. Suma punktu i wektora - określenie i własności.
3. Podprzestrzeń afiniczna.
4. WKW na to by podzbiór przestrzeni afinicznej był jej podprzestrzenią [Dowód].
5. Podprzestrzeń styczna, Wymiar podprzestrzeni afinicznej.
6. Równoległość podprzestrzeni afinicznych.
7. Niepusty przekrój podprzestrzeni afinicznych (jest podprzestrzenią afiniczną).
8. Podprzestrzeń rozpięta na układzie punktów - określenie i podstawowe własności.
9. Równanie kierunkowe podprzestrzeni af (P1, . . . , Pn) [Dowód].
10. Układy punktów w położeniu ogólnym i szczególnym.
11. Baza punktowa.
12. Punkty współliniowe i współpłaszczyznowe.
13. Układ bazowy, współrzędne punktu w układzie bazowym.
14. Podprzestrzenie afinicznej przestrzeni współrzędnych A(Kn) (są zbiorami rozwiązań układów równań li-
niowych) [Dowód].
15. Proste w przestrzeni A(K2).
16. Proste i płaszczyzny w przestrzeni A(K3).
17. Określenie przekształcenia afinicznego, przekształcenie styczne.
18. WKW na to aby odwzorowanie przestrzeni afinicznych było przekształceniem afinicznym [Dowód].
19. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego z zadanym obrazem punktu i częścią
liniową [Dowód ].
20. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności przekształcenia afinicznego zadanego na bazie punktowej [Do-
wód].
21. Określenie rzutu afinicznego, symetrii afinicznej, translacji, jednokładności.
22. Postać przekształcenia afinicznego A(Kn) A(Km).
23. Przestrzeń euklidesowa.
24. Kryterium Sylwestera.
25. Przestrzeń E(Rn) (n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa ze zwykłym iloczynem skalarnym).
26. Macierz Grama układu wektorów.
27. Macierz Grama układu wektorów stanowiącego bazę przestrzeni (jest równa macierzy funkcjonału w tej
bazie.)
T
28. Związek pomiędzy macierzami Grama w różnych układach ( G(�1, . . . , �k) = P � G(ą1, . . . , ąk) � P ).
29. Własności wyznacznika Grama (przy zmianie kolejności wektorów, przy zamianie wektorów na przeciwne).
30. Podstawowe własności wyznacznika Grama układu wektorów ((1) jest nieujemny, (2) zeruje się �! układ
jest liniowo zależny)[Dowód].
31. Podprzestrzeń przestrzeni euklidesowej (jest przestrzenią euklidesową).
32. Prostopadły układ niezerowych wektorów w przestrzeni euklidesowej (jest liniowo niezależny)[Dowód].
33. Ortogonalne uzupełnienie zbioru (wektora).
34. Hiperpłaszczyzna w przestrzeni E(Rn), jako ortogonalne uzupełnienie wektora
(Sol (a1X1 + . . . + anXn = 0) = [a . . . , an]Ą").
,
35. Twierdzenie o rzucie prostopadłym w przestrzeni euklidesowej [Dowód].
Ą"
36. Wymiar ortogonalnego dopełnienia podprzestrzeni (dim W + dim W = dim V ).
1
37. Składowa równoległa i składowa prostopadła wektora - określenie, wzory.
38. Rzut prostopadły i symetria prostopadła - określenia, wzory.
39. Twierdzenie o ortogonalizacji Grama-Schmidta [Dowód].
40. Wyznacznikiem Grama danej bazy a bazy powstałej metodą ortogonalizacji Grama-Schmidta (są równe).
41. Baza ortonormalna, wzór na współrzędne wektora w bazie ortonormalnej.
42. Twierdzenie o długości składowej prostopadłej wektora [Dowód].
43. Wektor normalny hiperpłaszczyzny.
44. Podprzestrzeń przestrzeni E(Rn), jako ortogonalne uzupełnienie zbioru wektorów.
45. Bazy zgodnie i przeciwnie zorientowane, orientacja przestrzeni euklidesowej.
46. Określenie iloczynu wektorowego.
47. Twierdzenie o postaci iloczynu wektorowego [Dowód].
48. Wzór na iloczyn wektorowy w przestrzeni E(Rn).
49. Długość wektora, norma euklidesowa i jej własności.
50. Nierówność Schwarza [Dowód].
51. Twierdzenie Pitagorasa (dla normy euklidesowej).
52. Kąt pary wektorów i jego miara.
53. Własności miary kąta.
54. Kat zorientowany pary wektorów.
55. Równoległościan i jego miara.
56. Wzór wyrażający miarę równoległościanu poprzez miarę jego  podstawy i  wysokość
( �n(R(ą1, . . . , ąn)) = ||Ąlin (ą1,...,ąn-1)(ąn)|| � �n-1(R(ą1, . . . , ąn-1) ) [Dowód].
57. Geometryczna interpretacja wyznacznika [Dowód].
58. Automorfizm euklidesowy.
59. WKW na to aby endomorfizm był automorfizmem euklidesowym.
60. Macierz automorfizmu euklidesowego w bazie ortonormalnej (jest ortogonalna).
61. Symetria hiperpłaszczyznowa, jako automorfizm euklidesowy.
62. Twierdzenie Cartana-Dieudonne [Dowód].
63. Przestrzenie afiniczne euklidesowe - określenie i przykłady.
64. Metryka w przestrzeni afinicznej euklidesowej i jej własności.
65. Rzut prostopadły i symetria prostopadła w przestrzeni afinicznej euklidesowej.
66. Kąt pomiędzy prostymi, kąt pomiędzy prostą i podprzestrzenią afiniczną, kąt pomiędzy hiperpłaszczyzna-
mi afinicznym.
67. Równoległościan i jego miara w afinicznej przestrzeni euklidesowej.
68. Odległość punktu od zbioru.
69. Odległość punktu od podprzestrzeni (jest równa odległości tego punktu od jego rzutu prostopadłego na tę
podprzestrzeń)[Dowód].
70. Wzór na odległość punktu od podprzestrzeni wykorzystujący wyznacznik Grama.[Dowód].
71. Wzór na odległość punktu od hiperpłaszczyzny w przestrzeni A(Rn) [Dowód].
72. Wzór na odległość dwóch podprzestrzeni ( �(P + U, Q + W ) = �(P, Q + U + W ) ).
73. Izometria i jej własności, przykłady.
74. Punkt stały izometrii.
75. Złożenie izometrii i przekształcenie odwrotne do izometrii (są izometriami); grupa izometrii.
76. Izometrie a automorfizmy euklidesowe (f jest izometrią �! f jest automorfizmem euklidesowym).
77. Symetria hiperpłaszczyznowa - własności i wzór.
78. Lemat o istnieniu izometrii przeprowadzającej zadany punkt P na zadany punkt Q [Dowód].
2
79. Twierdzenie o rozkładzie izometrii na symetrie hiperpłaszczyznowe (dowolna izometria n-wymiarowej
przestrzeni afinicznej euklidesowej jest złożeniem n + 1 symetrii hiperpłaszczyznowych) [Dowód].
80. Podobieństwo i jego własności.
81. Podobieństwo jako złożenie jednokładności i izometrii.
82. Grupa ortogonalna, grupa podobieństw.
83. Hiperpłaszczyzny stopnia 2.
84. Równania hiperpłaszczyzny po zmianie układu bazowego.
85. Twierdzenie o postaci kanonicznej równania hiperpłaszczyzny w afinicznej p[rzestrzeni euklidesowej.
II. Przykładowe pytania testowe
- -
1. W przestrzeni A(R3) dane są punkty P = (1, 2, 3), Q = (-1, 3, -2), R = (0, 1, 1). Wyznacz: P Q, R+ P Q.
2. Dokończ wzory:
(a) P + ą = P + � �!�! ................
(b) �(P + ą, P ) = ................
(c) �(P + ą, P + �) = ................
(d) �(P, P + W ) = ................
gdzie ą, � " S(E), W < S(E), P " E.
3. Podaj definicję podprzestrzeni afinicznej przestrzeni A(Kn).
4. Podaj warunki równoważne na to by podzbór przestrzeni afinicznej był jej podprzestrzenią.
5. Które z podanych podzbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni A(R3): (a) ", (b) {(1, 1, 1)},
(c) {(1, 1, 0), (0, 0, 0)}, (d) Sol (X1 + X3 = 1), (e) (1, -1, 0) + lin ([1, 1, 0], [-1, 0, 1]).
6. Znajdz
przestrzeń styczną do następujących podprzestrzeni przestrzeni A(R4): (a) A(R4), (b) {(1, 1, 1, 1)},
(c) af ((1, 0, 1, 0), (1, 2, 3, 4)), (d) Sol (X1 +X3 -X4 = 1), (e) (1, -1, 0, 2)+lin ([1, 1, 0, 2], [-1, 0, 1, 0]).
7. Znajdz
równanie ogólne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni A(R3): (a) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)),
(b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (c) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1]), (d) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1], [0, 1, 0]).
8. Znajdz
równanie parametryczne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni A(R3): (a) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)),

X1 - X2 = 1
(b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (c) Sol (X1 + X2 = 1) (d) Sol ( ).
2X1 + X2 + X3 = 0
9. Jaką postać ma równanie ogólne i równanie parametryczne prostej w przestrzeni: (a) A(K2),
(b) A(K3) ? Co to jest równanie kanoniczne prostej?
10. Jaką postać ma równanie ogólne i równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni: A(K3) ?
11. W przestrzeni A(R3) znajdz
równanie kanoniczne prostej (a) af ((1, 1, 3), (2, 2, , 5),

X1 - X2 = 1
(b) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, -1]), (c) Sol ( ).
X2 + X3 = 0
12. Podaj definicję równoległości podprzestrzeni afinicznych H1, H2 przestrzeni afinicznej E.
13. Podaj definicję podprzestrzeni przestrzeni afinicznej E rozpiętej na punktach P1, . . . , Pk.
14. W przestrzeni A(R4) znajdz
:
(a) równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1, 0, 1, 1) i równoległej do płaszczyzny

X1 - X2 = 1
Sol ( ),
X2 + X4 = 0
(b) równanie ogólne jakiejkolwiek płaszczyzny przechodzącej przez punkt (1, 0, 1, 1) i równoległej do
prostej af ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0),
(c) równanie parametryczne jakiejkolwiek prostej przechodzącej przez punkt (1, 0, 1, 1) i równoległej do
hiperpłaszczyzny Sol (X4 = 1).
15. W przestrzeni A(R3) zbadaj wzajemne położenie
(a) płaszczyzn H1 = af ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)), H2 = Sol (X2 = 2),
(b) prostych L1 = af ((1, 1, 1), (2, 1, 1)), L2 = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]),
3
(c) prostej L = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]) i płaszczyzny H = Sol (X1 - X3 = 5).
16. Podaj definicję punktów w położeniu ogólnym (szczególnym).
17. Co możesz powiedzieć o położeniu 5-ciu punktów w trójwymiarowej przestrzeni afinicznej.
18. Niech P będzie punktem przestrzeni afinicznej A, zaś (ą1, . . . , ąk) układem wektorów przestrzeni S(A).
Dokończ równoważność: Układ punktów (P, P +ą1, . . . , P +ąk) jest w położeniu ogólnym �! układ wektorów
(ą1, . . . , ąk) jest .......................
19. Podaj definicję układu bazowego.
20. Podaj przykład układu bazowego w przestrzeni A(Kn).
21. Podaj definicję przekształcenia afinicznego.
22. Sformułuj twierdzenie o istnieniu przekształcenia afinicznego o zadanej części stycznej (liniowej).
23. Określ (a) rzut na podprzestrzeń H1 wzdłuż H2, (b) symetrię względem podprzestrzeni H1 wzdłuż
H2, (c) translację o wektor ą, (d) jednokładność o skali s i środku O.
24. W przestrzeni afinicznej A(R3) znajdz
wzory określające: (a) rzut na podprzestrzeń (0, 0, 1)+lin ([1, 1, 0]
wzdłuż (0, 0, 0)+lin ([0, 1, 1], [0, 0, 1]), (b) symetrię względem podprzestrzeni (0, 0, 1)+lin ([1, 1, 0] wzdłuż
(1, 0, 1) + lin ([0, 1, 1], [0, 0, 1]),
(c) translację o wektor ą = [1, 0, -2], (d) jednokładność o skali s = 2 i środku O = (1, 0, 1).
25. Sformułuj twierdzenie o istnieniu przekształcenia afinicznego zadanego na bazie punktowej.
26. Znajdz
wzór określający przekształcenie afiniczne f : A(R2) A(R3) takie, że f((1, 0)) = (1, -1, 0),
f((1, -1)) = (-1, 0, 0), f((2, 0)) = (0, 0, 1).
27. Sformułuj kryterium Sylvestera.
28. Podaj podstawowe własności iloczynu skalarnego.
29. Podaj określenie macierzy Grama układu wektorów (ą1, . . . , ąk) przestrzeni euklidesowej V .
30. Załóżmy, że (ą1, ą2) jest bazą przestrzeni euklidesowej V , zaś macierz Grama układu (ą1, ą2) jest równa

1 2
. Znajdz
macierz Grama układu (ą1 + ą2, 2ą2).
1 0
31. Uzupełnij wzory
g(ą1, -ą2, -ą3) = ...... g(ą1, ą2, ą3),
g(ą3, ą1, ą2) = ...... g(ą1, ą2, ą3),
g(ą2, -ą1, -ą3) = ...... g(ą1, ą2, ą3).
32. Co możesz powiedzieć o układzie wektorów (ą1, . . . , ąk) wiedząc, że:
(a) g(ą1, . . . , ąk) = 0, (b) g(ą1, . . . , ąk) > 0.
33. Co możesz powiedzieć o wyznaczniku Grama g(ą1, . . . , ąm) wiedząc, że układ (ą1, . . . , ąm) jest liniowo
niezależny.
34. Podaj definicję prostopadłości wektorów w przestrzeni euklidesowej.
35. Wiedząc, że wektory ą1, . . . , ąm są parami prostopadłe, dokończ równość: g(ą1, . . . , ąm) = ...................
36. Podaj definicję ortogonalnego uzupełnienia zbioru.
37. Niech W bebzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej. (a) Dokończ określenie dopełnienia ortogo-
Ą" Ą"
nalnego podprzestrzeni W = ................ (b) Jaki jest wymiar W ?
Ą"
38. W euklidesowej przestrzeni współrzędnych R3 (ze zwykłym iloczynem skalarnym) znajdz
bazę W , gdzie:
(a) W = lin ([1, 1, 1]), (b) W = lin ([1, 1, 1], [1, 0, 1]), (c) W = Sol (X1 - X3 = 0).
39. Znajdz
bazę następujących podprzestrzeni przestrzeni E(R3):
(a) (lin ([1, 0, -1], [0, 1, 1]))Ą", (b) {[1, 1, 0], [1, 0, 1]}Ą", (c) [1, 1, 1]Ą".
40. Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej V rozpiętą na układzie wektorów (ą1, . . . , ąk).
Ą"
Wyraz
warunek ą " W za pomocą skończonego układu równości.
41. W przestrzeni euklidesowej E(R4) znajdz
taki skończony zbiór A, że W = AĄ", gdzie:

X1 + X4 = 0
(a) W = Sol (X1+2X2-X4 = 0), (b) W = Sol . (c) W = lin ([1, 0, 1, 0], [0, 1, 1, 0]).
X2 + X3 = 0
42. W przestrzeni Rn przedstaw hiperpłaszczyznę W = Sol (a1X1 + . . . + anXn = b) jako ortogonalne dopeł-
nienie pewnej podprzestrzeni.
4
43. W przestrzeni R3 przedstaw hiperpłaszczyznę W = Sol (X1 + 2X2 + X3 = 5) jako ortogonalne dopełnienie
pewnej podprzestrzeni.
44. Niech W = lin ([1, -1, 1], [0, 2, 3]) < R3. Znajdz
układ równań, którego zbiorem rozwiązań jest podprze-
strzeń W .
45. sformułuj twierdzenie o rzucie prostopadłym.
46. Załóżmy, że układ wektorów (ą1, . . . , ąk) stanowi bazę podprzestrzeni W . Wskaż układ równań, którego
rozwiązaniem jest układ współrzędnych składowej równoległej (względem W ) wektora ą " Rn.
47. Załóżmy, że układ wektorów (ą1, . . . , ąk) stanowi bazę prostopadłą podprzestrzeni W . Znajdz
współrzędne
składowej równoległej (względem W ) wektora ą.
48. W przestrzeni euklidesowej E(R4) znajdz
składową równoległą i składową prostopadłą wektora [1, 1, 0, -2]
względem:
(a) podprzestrzeni lin ([1, 1, 0, 0], lin [0, 0, 1, 1]), (b) hiperpłaszczyzny Sol (X1 + X4 = 0).
49. W przestrzeni euklidesowej E(R3) niech W = lin ([1, 0, 1], [0, 1, -1]) < R3 oraz ą = [1, 1, 1] znajdz
składo-
wą równoległą i składową prostopadłą względem W wektora ą.
50. W przestrzeni euklidesowej E(R3) niech W = Sol (X1 + X2 + X3 = 0) < R3 oraz ą = [1, 1, 1] znajdz

składową równoległą i składową prostopadłą względem W wektora ą.
51. W przestrzeni euklidesowej E(R3) niech W = lin ([1, 0, 1]) < R3 oraz ą = [1, 1, 1] znajdz
składową równo-
ległą i składową prostopadłą względem W wektora ą.
52. Podaj definicję bazy prostopadłej.
53. Podaj definicję bazy ortonormalnej.
54. Sformułuj twierdzenie o istnieniu bazy prostopadłej w przestrzeni euklidesowej.
55. Niech (ą1, . . . , ąm) będzie bazą podprzestrzeni W < Rn. Podaj wzory określające wektory �1, . . . , �m
tworzące bazę prostopadłą podprzestrzeni W taką, że lin (ą1, . . . , ąk) = lin (�1, . . . , �k) dla każdego
k " {1, . . . , m}.
56. W przestrzeni euklidesowej E(R3) znajdz
bazę prostopadłą podprzestrzeni W , gdzie:
(a) W = lin ([1, 0, 0], [1, 1, 0]), (b) W = lin ([1, 1, 1], [1, 0, 1]), (c) W = Sol (X1 - X3 = 0).
57. W przestrzeni euklidesowej E(R4) znajdz
bazę prostopadłą podprzestrzeni W , gdzie:
(a) W = lin ([1, 0, 0, 0], [1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 0]), (b) W = lin ([1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0]), (c) W = Sol (X1 -
X4 = 0).
58. Co możesz powiedzieć o wyznaczniku Grama układu (�1, . . . , �m) wiedząc, że powstał on z układu
(ą1, . . . , ąm) metodą ortogonalizacji Schmidta.
59. Sformułuj twierdzenie o długości składowej prostopadłej.
60. W przestrzeni euklidesowej E(R3) znajdz
długość składowej prostopadłej wektora [1, 2, 3] względem pod-
przestrzeni (a) lin ([1, 0, 1]), (b) lin ([1, 1, 0], [0, 1, -1]), (c) Sol (X1 - X3 = 0).
61. Podaj definicję zgodnej orientacji baz.
62. Sprawdz
, czy bazy �, B przestrzeni R3 są zgodnie zorientowane, gdzie A = ([1, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, -1]),
B = ([1, 1, 1], [-1, 1, 0], [0, 0, -1]).
63. Podaj definicję iloczynu wektorowego.
64. Sformułuj twierdzenie o postaci iloczynu wektorowego.
65. W przestrzeni euklidesowej E(R4) z orientacją zadaną bazą kanoniczną oblicz iloczyn wektorowy [1, 0, 1, 0]�
[0, 1, 1, 0] � [0, 0, -1, 0].
66. W przestrzeni euklidesowej E(R3) z orientacją dodatnią oblicz iloczyn wektorowy [1, -1, 2] � [1, 0, -1].
67. Określ długość wektora w euklidesowej przestrzeni liniowej i podaj jej podstawowe własności.
68. Wymień podstawowe własności normy euklidesowej.
69. Sformułuj nierówność Schwarza.
70. Określ miarę kąta pary wektorów.
71. Wymień co najmniej cztery własności miary kąta pary wektorów.
5
72. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory ą, � o długościach równych odpowiednio 5, 8 i takie, że
Ą
| "{ą, �} |= . Znajdz
długości wektorów ą + � oraz ą - �.
3
73. W przestrzeni euklidesowej E(R2) oblicz miary kątów: "{[1, 0], [1, 1]}, "{[1, -1], [2, 2]}.
74. W przestrzeni euklidesowej E(R3) oblicz miary kątów: "{[1, 0, -1], [2, 2, 3]}, "{[1, -1, 2], [2, 2.1]}.
75. W przestrzeni euklidesowej E(R3) oblicz dwoma sposobami pole równoległoboku rozpiętego na wektorach:
(a) [1, 3], [2, -1]}, (b) [1, -1], [2, 2].
76. W przestrzeni euklidesowej E(R3) oblicz dwoma sposobami objętość równoległościanu rozpiętego na wek-
torach:
(a) [1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]}, (b) [1, -1, 1], [-1, 1, 1], [1, 1, -1].
77. W przestrzeni euklidesowej E(R4) oblicz dwoma sposobami 4-wymiarową miarę równoległościanu rozpię-
tego na wektorach:
(a) [1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, 1], [1, 0, -1, 0], [0, 1, 0, -1];
(b) [1, 1, 1, 1], [1, -1, -1, 1], [2, 1, 1, 3], [0, 1, -1, 0].
78. W przestrzeni euklidesowej E(R5) ze zwykłym iloczynem skalarnym oblicz 5-wymiarową miarę równole-
głościanu rozpiętego na wektorach:
(a) [1, 1, 1, 2, 1], [1, 0, 0, 1, -2], [2, 1, -1, 0, 2], [0, 7, 3, -4, -2], [39, -37, 51, -29, 5];
(b) [1, 0, 0, 2, 5], [0, 1, 0, 3, 4], [0, 0, 1, 4, 7], [2, -3, 4, 11, 12], [0, 0, 0, 0, 1].
W przestrzeni euklidesowej E(R5) znajdz
wzór określający (a) rzut na podprzestrzeń lin ([1, 0, -1], [1, 1, 0])
(b) symetrię względem podprzestrzeni lin ([1, 0, -1], [1, 1, 0]), (c) symetrię względem płaszczyzny Sol (X+
Z = 0).
79. Podaj definicję automorfizmu euklidesowego.
80. Sformułuj warunki równoważne temu aby endomorfizm przestrzeni euklidesowej był automorfizmem eu-
klidesowym.
81. Podaj definicję symetrii hiperpłaszcznowej �ł.
82. Podaj wzór określający symetrię hiperpłaszcznową �ł.
83. Podaj podstawowe własności symetrii hiperpłaszczyznowej.
84. W przestrzeni euklidesowej E(R5) znajdz
wzór określający symetrię hiperpłaszczyznową �ł,
gdzie ł = [1, 1, 0].
85. Sformułuj twierdzenie Cartana-Dieudonne.
86. Podaj określenie metryki euklidesowej.
87. Określ miarę kąta pomiędzy prostymi.
88. Określ miarę kąta pomiędzy prostą a podprzestrzenią.
89. Określ miarę kąta pomiędzy hiperpłaszczyznami.
90. W przestrzeni kartezjańskiej E(R3) wyznacz miarę kąta:
(a) pomiędzy prostymi af((1, 0, 1), (0, 1, 1)) oraz af((1, 1, 0), (2, 1, 1));
X - 1 Y z X Y + 1 z
(b) pomiędzy prostymi = = , = =
1 -1 -2 2 -3 -1
(c) pomiędzy prostą af((1, 1, 2), (0, 1, 1)) a płaszczyzną Sol(X - 2Y Z = -1).
" "+
(d) pomiędzy płaszczyznami Sol(X - 2 Y + Z = 1) oraz Sol(X + 2 Y - Z = 3);
91. Podaj określenie równoległościanu zaczepionego w punkcie P i rozpiętego na układzie wektorów (ą1, . . . , ąk)
i jego miary.
92. Podaj definicję odległości dwóch punktów w afinicznej przestrzeni euklidesowej E.
93. Sformułuj twierdzenie Pitagorasa w afinicznej przestrzeni euklidesowej.
94. Podaj definicję odległości punktu od zbioru w afinicznej przestrzeni euklidesowej.
95. Sformułuj twierdzenie o odległości punktu od podprzestrzeni.
96. Podaj wzór na odległość punktu X od podprzestrzeni H = P + lin (ą1, . . . , ąk).
97. Podaj wzór na odległość punktu P = (x1, . . . , xn) od hiperplaszczyzny H = Sol (a1X1 + . . . + anXn = b)
w przestrzeni kartezjańskiej A(Rn).
6
98. Podaj wzór na odległość podprzestrzeni H = P + U od podprzestrzeni H = Q + W .
99. W przestrzeni kartezjańskiej A(R3) wyznaczyć odległość punktu (1, 0, 1) od płaszczyzny:
(a) af((-1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)), (b) Sol (X1 + 2X2 + 3X3 = 1).
100. W przestrzeni kartezjańskiej A(R3) wyznaczyć odległość punktu (1, 0, 1) od prostej:
X - 1 Y + 1 Z
(a) af((-1, 0, 1), (1, 1, 0)), (b) = = .
-1 2 1
101. W przestrzeni kartezjańskiej A(R3) wyznacz odległość pomiędzy prostymi L1 = (1, 0, 0) + lin ([0, 1, -1]),
L2 = (0, 1, 1) + lin ([1, 1, 0]).
102. Podaj definicję izometrii.
103. Podaj związek pomiędzy izometrią a automorfizmem euklidesowym.
104. Określ (a) rzut prostopadły na podprzestrzeń H, (b) symetrię prostopadłą względem podprzestrzeni H.
105. Dokończ wzór określający symetrię hiperpłaszczyznową SP +łĄ"(X) = ....................
106. W przestrzeni afinicznej A(R3) znajdz
wzory określające:
(a) rzut prostopadły na podprzestrzeń (0, 0, 1) + lin ([1, 1, 0], (b) rzut prostopadły na podprzestrzeń
(0, 0, 1) + lin ([0, 1, 1], [0, 0, 1]), (c) symetrię prostopadłą względem podprzestrzeni (0, 0, 1) + lin ([1, 1, 0],
(d) symetrię prostopadłą względem podprzestrzeni (0, 0, 1) + lin ([0, 1, 1], [0, 0, 1]).
107. W przestrzeni afinicznej A(R3) znajdz
wzór określający symetrię hiperpłaszczyznową względem:
(a) Sol (X - Z = 1), (b) (0, 1, 0) + lin ([1, 0, 1], [1, 1, 0]).
108. Sformułuj twierdzenie o rozkładzie izometrii na symetrie hiperpłaszczyznowe.
109. Podaj definicję hiperpowierzchni stopnia 2.
110. Postać równania hiperpowierzchni w układzie bazowym.
111. Jak zmienią się macierze hiperpowierzchni (duża i mała), gdy zmiana układu bazowego dotyczy
(a) zmianę bazy przestrzeni stowarzyszonej,
(b) zmianę początku układu.
112. Twierdzenie o postaci kanonicznej hiperpowierzchni - wersja euklidesowa.
III. Zadania przygotowawcze
1. Znajdz
równanie ogólne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni A(R3): (a) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1)),
(b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (c) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1]), (d) (1, 0, 0) + lin ([1, 0, 1], [0, 1, 0]).
2. Znajdz
równanie parametryczne każdej z następujących podprzestrzeni przestrzeni A(R3):
(a) af ((0, 0), (1, 1, 1)), (b) af ((0, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 1, 0)), (c) Sol (X1 + X2 = 1)
1,
X1 - X2 = 1
(d) Sol ( ).
2X1 + X2 + X3 = 0
3. W przestrzeni A(R3) znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostych
L1 i L2, gdzie:
(a) P = (1, 0, 1), L1 = (1, 2, 0) + ([1, -1, 2]), L2 = ((1, 0, 0), 92, 3, -1)),
lin af
X + 2Y - Z = 1 X - 1 Y Z - 2
(b) P = (-1, 2, 1), L1 = Sol , L2 : = = .
2 -1 3
2X + Z = 0
4. W przestrzeni A(R3) zbadaj wzajemne położenie prostych L1 i L2, gdzie:
X - 1 Y Z - 2
(a) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([1, 2, -1]), L2 : = = ,
2 -1 3
X - 2 Y + 1 Z - 2 X - 3 Y + 2 Z - 5
(b) L1 : = = , L1 : = = ,
1 -1 3 2 1 3
(c) L1 = ((1, 0, 1) + lin ([0, 1, -1]), L2 = af ((1, 1, 0), (2, -1, 1)).
5. W przestrzeni A(R3) zbadaj wzajemne położenie
7
(a) płaszczyzn H1 = af ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)), H2 = Sol (X2 = 2),
(b) prostych L1 = af ((1, 1, 1), (2, 1, 1)), L2 = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]),
(c) prostej L = (1, 2, 1) + lin ([1, 1, 1]) i płaszczyzny H = Sol (X1 - X3 = 5).
6. W przestrzeni A(R3) przez punkt P poprowadzić prostą przecinającą proste L1 i L2, jeżeli
�ł �ł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł
3 3 2 4 1
�ł łł, �ł łł �ł), �ł łł �ł),
(a) P = 2 L1 = 3 + lin (�ł 1 L2 = -1 + lin (�ł 1
1 0 -1 2 1
�ł �ł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł
1 0 -1 3 2
�ł łł, �ł łł �ł), �ł łł �ł),
(b) P = 2 L1 = 3 + lin (�ł 1 L2 = 5 + lin (�ł 3
1 3 1 1 1
�ł �ł

2
x + y = 0 x + 3y - 1 = 0
�ł łł
(c) P = 3 , L1 : , L2 : .
x - y + z + 4 = 0 y - z - 2 = 0
1
�ł �ł �ł �ł
-2 0
�ł �ł �ł �ł
4 2
�ł �ł, Q = �ł �ł, proste L1 =
7. W przestrzeni afinicznej E = A(R4) dane są: punkty P =
�ł łł �ł łł
5 -3
1 2
�ł �ł �ł łł
ńł
1 -1
x + 2y + z + 3t = 11
�ł
�ł �ł �ł śł
1 -1
�ł �ł
+ lin (�ł śł) oraz L2 o równaniu ogólnym -x + y + 2z + 2t = 3 . Znalez
ć
�ł łł �ł �ł
-2 1
ół
2x - 4y + 3z - t = 0
1 2
(a) płaszczyznę zawierającą punkt P oraz prostą L1,
(b) płaszczyznę zawierającą punkt Q oraz prostą L2,
(c) płaszczyznę zawierającą punkty P oraz Q i równoległą do L1,
(d) płaszczyznę zawierającą punkty P oraz Q i równoległą do L2,
(e) podprzestrzeń trójwymiarową zawierającą proste L1 oraz L2,
(f) podprzestrzeń trójwymiarową zawierającą prostą L1 oraz punkty P i Q,
(g) podprzestrzeń trójwymiarową zawierającą prostą L2 oraz punkty P i Q.
Szukane podprzestrzenie afiniczne mogą być zadane bądz
parametrycznie, bądz
równaniem ogólnym.
8. Przekształcenie afiniczne f : A(K2) A(K3) dane jest wzorem
�ł �ł

2x + 3y + 1
x
�ł łł
f = x - y .
y
3y - 1
Wyznaczyć:

1 1 1 0
(a) obrazy następujących podprzestrzeni: A(K2), + lin ( ), + lin ( ),
3 0 -1 1

0 1 x
+ lin ( ), { " K2 : 2x + 3y = 1};
0 1 y
�ł �ł �ł �ł
1 6
łł}, {�ł 0 łł},
(b) przeciwobrazy następujących podprzestrzeni: A(K3), {�ł 5
-7 3
�ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł łł
3 2 0 2 2 3 0
�ł łł �ł), �ł łł �ł), �ł łł �ł �ł �ł),
1 + lin (�ł 1 0 + lin (�ł 1 -2 + lin (�ł -1 , 1
3 0 0 2 3 0
�ł-1 �ł
x
łł
{�ł y " K3 : x + y + z = 1}.
z
9. Czy istnieje przekształcenie afiniczne f : A(R3) A(R3) spełniające warunki:
8
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 0 0 1 0 1 1
�ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł,
(a) f 1 = 0 f 1 = 1 f 0 = 0 f 1 = 1
0 0 1 0 1 1 1 1
�ł �ł �ł �ł
3 1
4 2
�ł �ł �ł �ł?
3 1
f =
�ł łł �ł łł
4 2
3 1
4 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 0 3 1 4 1 0
�ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł?
(b) f 1 = 2 f 1 = 2 f 2 = 4 f 1 = 0
0 3 1 1 1 4 -1 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 1 1 0 3 1 4
�ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł?
(c) f 0 = 0 f 1 = 2 f 1 = 2 f 2 = 4
0 1 0 3 1 1 -1 4
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 1 0 3
�ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł?
(d) f 1 = 2 f -1 = 0
0 0 1 1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 1 2 3 1 0 1 -1

�ł łł �ł łł, �ł łł �ł łł, �ł) �ł �ł, �ł) �ł �ł?
(e) f 0 = -1 f 1 = 1 f(�ł 1 = 0 f(�ł 2 = 0
1 0 1 1 1 1 1 1
W przypadku pozytywnej odpowiedzi przeanalizować liczbę rozwią zań i znalez
ć wzór przynajmniej jed-

nego takiego odwzorowania afinicznego f oraz wskazać f.
10. Czy istnieje przekształcenie afiniczne f : A(R4) A(R4) spełniające warunki
f(P ) = P1, f(Q) = Q1, f(R) = R1, f(L) = L1,
o ile:
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 2 3 -1 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
1 3 2 1 4
�ł �ł, Q = �ł �ł, R = �ł �ł, P1 = �ł �ł, Q1 = �ł �ł,
(a) P =
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 2 3 -1 0
3 2 1 4
�ł1 �ł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł
2 1 0 -1 1
�ł �ł �ł �ł �ł śł �ł �ł �ł śł
2 2 1 2 -5
�ł �ł, L = �ł �ł �ł �ł
R1 = + lin (�ł śł), L1 = + lin (�ł śł) ?
�ł łł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł �ł
2 2 0 0 1
2 2 1 3 -5
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
2 3 5 1 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
-1 1 1 -2 1
�ł �ł, Q = �ł �ł, R = �ł �ł, P1 = �ł �ł, Q1 = �ł �ł,
(b) P =
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
3 6 4 3 8
-1 1 5 7
�ł-2 �ł �ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł
3 2 0 1 0
�ł �ł �ł �ł �ł śł �ł �ł �ł śł
2 0 1 -1 2
�ł �ł, L = �ł �ł �ł �ł
R1 = + lin (�ł śł), L1 = + lin (�ł śł)?
�ł łł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł �ł
10 4 2 5 3
-6 -1 0 -2 -3
11. Znalez
ć wzór analityczny:

1 1 1 0
(a) symetrii przestrzeni A(R2) względem + lin ( ) i wzdłuż + lin ( );
1 2 1 1
�ł �ł �ł łł �ł łł �ł �ł �ł łł
1 1 0 1 1
�ł łł �ł �ł �ł) �ł łł �ł);
(b) symetrii przestrzeni A(R3) względem 0 + lin (�ł 1 , 1 i wzdłuż 0 + lin (�ł 1
1 0 2 1 1

1 2 1 -1
(c) rzutu przestrzeni A(R2) na + lin ( ) wzdłuż + lin ( );
0 3 0 1
�ł �ł �ł łł �ł �ł �ł łł �ł łł
1 1 1 1 -1
�ł łł �ł) �ł łł �ł �ł �ł);
(d) rzutu przestrzeni A(R3) na 1 + lin (�ł 0 wzdłuż 1 + lin (�ł 1 , 1
1 1 1 1 2
9
�ł �ł
a1
�ł �ł
.
.
(e) jednokładności przestrzeni A(Rn) o środku w punkcie O = i skali b.
�ł łł
.
an
12. Które z podanych przestrzeni ortogonalnych (V, �) są przestrzeniami euklidesowymi?
�ł łł �ł łł

x x
x x
�ły �ł)
(a) V = R2, �( , ) = xx +xy +x y+2yy , (b) V = R3, �(�ły�ł , = xx +yy +3zz ,
y y
z z
�ł łł �ł łł
x x

1
�ły �ł)
(c) V = R3, �(�ły�ł , = xx + 2yy , (e) V = R4[X] � R4[X] R, �(f, g) = f(t)g(t)dt,
0

�łz łł �łz łł
x x
�ły �ł)
(d) V = R3, �(�ły�ł , = xx + 2xy + 2x y + yz + z y.
z z
13. Macierz funkcjonału dwuliniowego � : R3 � R3 R, w bazie jednostkowej ( 1, 2, 3) jest równa
�ł łł
2 1 0
�ł1 1 0�ł. (a) Sprawdz
, że ((R3, �) jest przestrzenią euklidesową. (b) Znajdz
uzupełnienie ortogo-
0 0 1
nalne : (1) wektora [1, 2, 0], (2) podprzestrzeni lin ( [1, 1, 1] ), (3) podprzestrzeni Sol ( X - Z = 0).
(c) znajdz
macierz Grama i oblicz wyznacznik Grama układu wektorów: (1) ([1, 1, 2], [0, 1, -1]),
(2) ([1, 1, 2], [0, 1, -1], [1, 2, 1]).
14. Znajdz
bazę ortonormalną przestrzeni euklidesowej: (a) (R3, �) z poprzedniego zadania, (b) (R4, �),
gdzie q�( [x, y, z, t] ) = 2x2 + 2xy + z2, (c) (R3, �), gdzie macierz � w bazie jednostkowej jest równa
�ł łł
1 0 1
�ł0 1 0�ł.
1 0 2
15. W przestrzeni euklidesowej (R4, ć%) (ze zwykłym iloczynem skalarnym) znajdz
bazę prostopadłą:
(a) hiperpłaszczyzny Sol (X - Y + Z - T = 0), (b) płaszczyzny lin ( [1, 2, 0, -1], [0, 1, -1, 1] ),
(c) ortogonalnego uzupełnienia wektora [2, 1, 1, 2].
16. W przestrzeni euklidesowej (R3, �), forma normy wyraża się wzorem: q�([x1, x2, x3]) = x2 -2x1x2 +x2 +x2.
1 2 3
(a) Znajdz
obraz wektora [1, 0, 1]T w rzucie prostopadłym na podprzestrzeń U = lin ([1, -1, 0], [0, 1, 2])
oraz znajdz
obraz tego wektora w symetrii prostopadłej względem podprzestrzeni U.
(b) Znajdz
macierz symetrii prostopadłej względem płaszczyzny W = Sol(X1 - X2 + X3 = 0) w bazie
jednostkowej.
(c) Znajdz
wzory określające rzut prostopadły na prostą L i symetrię prostopadłą względem prostej L,
jeśli L = lin ([1, 1, 0]).
17. W przestrzeni euklidesowej E(R3)
(a) znajdz
wzory określające symetrię prostopadłą wzlędem płaszczyzny W oraz rzut prostopadły na
płaszczyznę W , jeśli W = Sol(X + 3Y - Z = 0),
(b) znajdz
macierz symetrii hiperpłaszczyznowej �ł w bazie jednostkowej, gdzie ł = [1, 0, 1],
(c) znajdz
macierz rzutu prostopadłego na prostą (Sol(2X + Y - Z = 0))Ą" w bazie jednostkowej.
18. W przestrzeni euklidesowej E(R3) znajdz
macierz, w bazie jednostkowej, automorfizmu �ą ć% �� ć% �ł, gdzie
ą = [1, 1, 0], � = [1, 0, 1], ł = [0, 1, 1]. Znajdz
wzór określający ten automorfizm.
19. W przestrzeni euklidesowej E(R3) dane są bazy A = ([1, 0, 3], [1, 1, 1], [2, -1, 0]), B = ([2, 1, 1], [2, -1, 1], [2, 1, -1]),
C = ([-1, 0, -1], [3, 2, -1], [0, 1, 0]), D = ([3, -2, 1], [1, 0, 4], [0, -2, 3]). Które z podanych baz wyznaczają
tę samą orientację? Które z nich wyznaczają orientację dodatnią?
20. W przestrzeni euklidesowej E(R4) dane są bazy A = ( 1, 2 + 1, 4, 3), B = (- 1, 2, - 3, 4),
C = ( 1 + 3, 2 + 1, 4 - 3, 3). Które z podanych baz wyznaczają tę samą orientację?
21. Dla jakich wartości parametrów a, b " R układ wektorów ([2, a, 0], [-1, 3, 2], [b, 0, b]) wyznacza orientację
ujemną w przestrzeni E(R3).
22. W przestrzeni euklidesowej E(R3) (ze zwykłym iloczynem skalarnym) oblicz 3-wymiarową miarę równo-
ległościanu rozpiętego na wektorach:
(a) [1, -1, 1], [1, 1, 1], [1, 0, -1];
10
(b) [1, 1, 1], [-1, -1, 1], [1, 1, 3].
23. W przestrzeni euklidesowej E(R4) (ze zwykłym iloczynem skalarnym) oblicz 4-wymiarową miarę równo-
ległościanu rozpiętego na wektorach:
(a) [1, -1, 1, -1], [1, 1, 1, 1], [1, 0, -1, 0], [0, 1, 0, -1];
(b) [1, 1, 1, 1], [1, -1, -1, 1], [2, 1, 1, 3], [0, 1, -1, 0].
24. W przestrzeni euklidesowej E(R3) objętość równoległościanu opartego na wektorach ą, �, ł jest równa 3.
Obliczyć objętość równoległościanu opartego na wektorach ą + � - ł, 2ą - � + ł, ą + 2� - 3ł.
25. W przestrzeni euklidesowej E(R3) zorientowanej dodatnio dane są wektory ą = [1, 2, 3], � = [2, -3, 1], ł =
[-3, 1, 2]. Znalez
ć współrzędne wektora (a) (2ą + �) � �, (b) ą � (� � ł). W przestrzeni euklidesowej
E(R3) zorientowanej dodatnio dane są wektory ą = [0, 1, -1], � = [2, 1, 1]. Obliczyć sin( "{ą, �}), oraz
tg( "{ą, �}).
Ą
26. W przestrzeni euklidesowej V dane są wektory unormowane ą, � takie, że | "{ą, �} |= . Obliczyć
3
(a) (2ą + 3�) � (� - ą) ,
(b) ą � � 2 +2 ą ć% �.
27. W przestrzeni euklidesowej V dane są dwa prostopadłe wektory unormowane ą, �. Obliczyć pole równo-
ległoboku opartego na wektorach 2ą - �, ą + �.
28. W przestrzeni euklidesowej E(R3) o orientacji dodatniej obliczyć następujące iloczyny wektorowe: �1 �
�3, �3 � �2, �1 � �3, [1, 0, 1] � [2, 3, 1], ([1, 1, 1] � [2, 1, 1]) � [1, 1, 0].
29. Niech (R3, �) będzie przestrzenią euklidesową taką, że q�([x, y, z]) = x2 - 2xy + 3y2 + z2. Wybierz bazę
ortonormalną tej przestrzeni i za jej pomocą oblicz iloczyny wektorowe: �1 � �2, �3 � �2, �2 � �3,
(�1 + �2 + �3) � �2, (�1 + �2 + �3) � �1.
30. Przedstawić jako złożenie symetrii hiperpłaszczyznowych automorfizm euklidesowy przestrzeni E(R2) ma-

3 -4 0 1
1
jący macierz w bazie kanonicznej: (a) , (b) .
5
4 3 -1 0
31. Przedstawić jako złożenie symetrii hiperpłaszczyznowych
�ł łłautomorfizm euklidesowy przestrzeni E(R3) ma-
�ł łł
0 1 0 2 1 2
1
�ł �ł �ł �ł
jący macierz w bazie kanonicznej: (a) 1 0 0 , (b) -1 -2 2 .
3
0 0 -1 2 -2 -1
32. Przedstawić jako złożenie symetrii hiperpłaszczyznowych automorfizm przestrzeni euklidesowej E(R4) ze
�ł łł
0 1 0 0
�ł śł
0 0 1 0
�ł śł
zwykłym iloczynem skalarnym, mający macierz w bazie kanonicznej: (a) ,
�ł �ł
0 0 0 1
1 0 0 0
�ł łł
0 -1 0 0
�ł śł
1 0 0 0
�ł śł
(b) .
�ł �ł
0 0 0 -1
0 0 1 0
33. Niech V będzie przestrzenią euklidesową, (ł1, . . . , łn) bazą ortonormalną V oraz � " End (V ). Wykaż, że
� jest automorfizmem euklidesowym wtedy i tylko wtedy, gdy (�(ł1), . . . , �(łn)) jest bazą ortonormalną
przestrzeni V .
34. Niech V będzie przestrzenią euklidesową, B = (ą1, . . . , ąn) bazą V , � " End (V ) oraz A " Rn macierzą
n
� w bazie B. Wykaż, że � jest automorfizmem euklidesowym wtedy i tylko wtedy, gdy G(ą1, . . . , ąn) =
AT � G(ą1, . . . , ąn) � A.
35. Niech V będzie przestrzenią euklidesową, B = (ł1, . . . , łn) bazą ortonormalną V , � " End (V ) oraz A " Rn
n
macierzą � w bazie B. Wykaż, że � jest automorfizmem euklidesowym wtedy i tylko wtedy, gdy AT �A = I.
36. W afinicznej przestrzeni euklidesowej A(R3) ze zwykłym iloczynem skalarnym
(a) znajdz
obraz punktu (1, 0, 1) w symetrii prostopadłej względem płaszczyzny
H = Sol(X + 3Y - Z = 1) oraz obraz tego punktu w rzucie prostopadłym na prostą
L = (1, 1, 0) + lin([1, 1, 1]),
(b) znajdz
wzory określające symetrię prostopadłą wzlędem płaszczyzny H oraz rzut prostopadły na
płaszczyznę H, jeśli H = Sol(X + 3Y - Z = 2),
11
X-1 Y Z+1
(c) znajdz
równanie ogólne obrazu prostej = = w symetrii prostopadłej względem płaszczy-
-1 2 1
zny H = Sol(Y - Z = 1) oraz znajdz
równanie ogólne rzutu tej prostej na płaszczyznę H.
37. W afinicznej przestrzeni euklidesowej A(R4) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznaczyć rzut prostopadły
prostej af((0, 0, 0, 0), (4, -1, -3, 4)) na podprzestrzeń afiniczną af((1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, -1), (1, 0, 0, 3)).
38. W przestrzeni euklidesowej A(R4) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznacz odleglość punktu (1, 0, 1, 2)
od jego obrazu w symetrii względem:
(a) H = Sol(X1 - 2X3 + X4 = 1),
(b) H = af((1, 1, 0, 0), (2, 1, 3, 5), (-1, 2, 3, 0)).
39. W przestrzeni euklidesowej A(R3) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznacz miarę kąta:
(a) pomiędzy prostymi af((1, 2, -4), (4, 0, -10)) oraz af((2, 6, -2), (-2, 6, 8));

3X - 4Y - 2Z = 0 4X + Y - 6Z = 2
(b) pomiędzy prostymi L1 = Sol( ) oraz L2 = Sol( );
2X + Y - 2Z = 0 Y - 3Z = -2
(c) pomiędzy prostą af((5, 1, 2), (11, -2, 3)) a płaszczyzną Sol(7X + 2Y - 3Z = -5);

X + Y - Z = 0
(d) pomiędzy prostą Sol( ), a płaszczyzną af((1, -1, 0), (-2, 0, -1), (-1, 1, 1));
2X - 3Y + Z = 0
" "
(e) pomiędzy płaszczyznami Sol(X - 2 Y + Z = 1) oraz Sol(X + 2 Y - Z = 3);
(f) pomiędzy każdą parą spośród płaszczyzn af((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)), af((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)),
af((-1, 0, 0), (0, -1, 0), (0, 0, 1)).
40. Oblicz kąt pomiędzy ścianą a przekątną sześcianu oraz kąt pomiędzy krawędzią a przekątną sześcianu.
41. W przestrzeni euklidesowej A(R3) ze zwykłym iloczynem skalarnym znajdz
:
(a) równanie płaszczyzny zawierającej prostą (0, 0, 0) + lin([1, 0, 0]) i tworzącej z płaszczyzną
Ą
Sol(X - Y = 0) kąt o mierze ;
3
(b) równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (0, 0, 0), prostopadłej do płaszczyzny
Ą
Sol(5X - 2Y + 5Z = 10) i tworzącej z płaszczyzną Sol(X - 4Y - 8Z = -12) kąt o mierze .
4
42. W przestrzeni euklidesowej (A(R3), �), gdzie q�([x, y, z]) = x2 + 2xy + 3y2 + z2 znalez
ć:
(a) odległość punktu (1, 1, 1) od prostej af(1, 2, 1), (2, 2, 1),
(b) odległość punktu (1, 1, 1) od płaszczyzny Sol(2X - Y - Z = 1),

2X1 + X2 + 3X3 = 5 X1 + X2 - 2X3 = 2
(c) odległość prostych L1 = Sol( ), L2 = Sol( ).
3X1 + 2X2 + X3 = 4 5X1 + 3X2 + 4X3 = 8
43. W afinicznej przestrzeni euklidesowej A(R3) ze zwykłym iloczynem skalarnym wyznaczyć:
(a) odległość punktu (1, 0, 1) od prostej af((-1, 2, 1), (1, 5, 7)),
(b) odległość punku (1, 1, 1) od płaszczyzny af((-1, 2, 0), (-2, 5, -1), (0, 3, -3)),
X-2 Y +1 Z X Y -1 Z-2
(c) odległość pomiędzy każdą parą spośród prostych = = , X = Y = Z, = = .
3 4 2 1 2 -1
44. Dany jest czworościan o wierzchołkach A = (5, 1, 3), B = (1, 6, 2), C = (5, 0, 4), D = (4, 0, 6). Napisać
równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędz
AB i równoległej do krawędzi CD.
45. Dane są równania trzech ścian równoległościanu: X - 3Y + 4Z - 12 = 0, Y + 2Z - 5 = 0, X + 4 = 0 i
jeden z jego wierzchołków (4, -3, 2). Znalez
ć równania pozostałych ścian i równania krawędzi.
46. Znajdz
równanie płaszczyzny przechodzącej przez krawędz
wspólną płaszczyzn X -2Y +Z = 1, X -Z = 2
i prostopadłej do prostej af((0, 1, 2), (1, 3, 1)).
47. Znajdz
równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt (1, 0, 1), równoległej do płaszczyzny
X - 2Y + Z = 1 i prostopadłej do prostej af((1, 2, 0), (2, 2, 1)).
48. Znajdz
równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt (1, 0, 0), leżącej w płaszczyz
nie X-Y +Z =
1 i prostopadłej do prostej af((1, 1, 1), (2, 1, 0)).
49. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (2, -1, 1) prostopadłej do płaszczyzn
2X - Z = -1, Y = 0.
50. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty (2, -1, 4), (1, -1, 5) i prostopadłej do płaszczy-
zny X - 2Y + Z = 1.
12
51. Dane są trzy płaszczyzny: 2X + 3Y - 4Z = -5, 2X - Z = -3, X + Y - Z = 0. Przez krawędz
prze-
cięcia L dwóch pierwszych płaszczyzn poprowadzić taką płaszczyznę, której krawędz
przecięcia z trzecią
płaszczyzną jest prostopadła do prostej L.
52. Znalez
ć obraz punktu (1, 2, 3) w symetrii prostopadłej względem płaszczyzny X - 2Y + Z = 1.
53. Znajdz
wzór określający symetrię prostopadłą względem płaszczyzny X - Y - Z = 1.

3X + Y - 5Z = -1
X Y -1 Z
54. Wykaż, że następujące proste są prostopadłe: L1 : = = , L2 = Sol( ).
1 -2 3
2X + 3Y - 8Z = -3
55. Dane są trzy punkty A = (4, 1, -2), B = (2, 0, 0), C = (-2, 3, 8). Znalez
ć równanie kanoniczne prostej
przechodzącej przez punkt B i przecinającej prostą AC pod kątem prostym.
X+1 Y +8 Z-2
56. Znalez
ć rzut prostopadły punktu A = (1, -2, 1) na prostą = = . Znalez
ć wzór określający
1 -1 2
ten rzut.
57. Znalez
ć obraz punktu A = (2, -1, 3) w symetrii prostopadłej względem prostej af((0, -7, 2), (3, -2, 4)).
Znalez
ć wzór określający tę symetrię.
58. Znalez
ć równanie kanoniczne prostej przecinającej proste af((1, 1, 2), (2, 3, 3)), af((0, 1, 9), (2, 2, 10)) pod
kątem prostym.
59. Znalez
ć równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez punkt A = (1, 1, 1), przecinającej prostą
X-1 Y -2 Z-3
af((0, 0, 0), (1, 2, 3)) i prostopadłą do prostej = = .
2 1 4
X-3 Y +1 Z-4
60. Znależć rzut prostopadły prostej = = na płaszczyznę 2X - 2Y + 3Z = 5.
5 1 1
61. Przez rzut prostopadły punktu (2, -1, 1) na prostą L = (1, 1, 1) + lin([1, -1, 2]) poprowadzić prostą pro-

X - Y - Z + 2 = 0
stopadła do prostej L i przecinającą prostą .
X - 2Y + 4 = 0
X Y +4 Z-3 X-1 Y +3 Z-4
62. Znalez
ć równanie kanonoczne prostej przecinającej proste = = , = = i
1 1 -1 2 -1 5
prostopadłej do płaszczyzny Y = 0.
13