Fundamentowanie  ćwiczenia
Część 4  Obliczanie statyczne fundamentów palowych  określanie sił w palach
(dr inż. Adam Krasiński, mgr inż. Tomasz Kusio)
Metoda sztywnego oczepu
W metodzie tej wprowadza się takie uproszczenia w schemacie obliczeniowym fundamentu
palowego, aby możliwe było jego rozwiązanie sposobem tzw.  ręcznym (bez wykorzystywania
komputera).
Uproszczenia polegają na przyjęciu oczepu jako sztywnego bloku, natomiast pali jako prętów
obustronnie przegubowych (tzw. wahaczy). W wyniku obliczeń możemy otrzymać tylko siły
osiowe w palach (nie otrzymamy ani momentów zginających ani przemieszczeń). Momenty
w oczepie możemy w tej metodzie otrzymać metodą wtórną, w której siły w palach zamieniamy na
obciążenie, a słupy i ściany budowli stają się wówczas podporami (metoda odwróconego stropu).
Układy statyczne fundamentów palowych:
a) Układy dwuwymiarowe z palami tylko pionowymi (np. ława fundamentowa na palach)
Układy takie stosuje się przy obciążeniach tylko od sił pionowych i momentów, przy braku
obciążeń poziomych (zwykle obciążenia poziome można pominąć gdy ich suma jest mniejsza niż
10% sumy obciążeń pionowych, ale nie pomija się wówczas momentów od sił poziomych).
Schemat
V1 V2
ŁV
q
M1
ŁM0
Uwagi:
0 0
1) punkt  0  środek geome-
tryczny grupy pali
N1 N2 N3 N4
2) wszystkie pale jednakowe
x2 x3
x1 x4
x(-) x(+)
"V "M 0
N = + �" x , n  liczba pali
j j
2
n
"xi
Nj dodatnie  pale wciskane, Nj - ujemne  pale wyciągane
1
Zadanie przykładowe 4.1
Stosując metodę sztywnego oczepu policzyć siły w palach w fundamencie przedstawionym na
rysunku poniżej. Pominąć ciężar własny oczepu palowego.
P1=1500 kN P2=1000 kN
q=300 kN/m
A
0
1.0 1.0
1.0 2.0 3.0 2.0 2.0 1.0
(1) (2) (3) (4) (5)
x0
A
Wyznaczenie położenia środka geometrycznego układu pali:
SA = 1�"0,0 + 1�"2,0 + 1�"5,0 + 1�"7,0 + 1�"9,0 = 23,0 m
x0 = SA/n = 23,0/5 = 4,6 m
Obciążenia sprowadzone do punktu  0 :
ŁV = 1500 + 1000 + 300�"5,0 = 4000 kN
ŁM0 = -1500�"(4,6  1,0) + 1000�"(5,0  4,6) + 300�"5,0�"(5,0 + 2,5  4,6) =  650 kNm
Moment bezwładności układu pali względem punktu  0 :
Łxi2 = 4,62 + (4,6-2)2 + (5,0  4,6)2 + (7,0  4,6)2 + (9,0  4,6)2 = 53,2 m2
Siły w poszczególnych palach:
4000 - 650
N1 = + �"(-4,6) = 856 kN
5 53,2
4000 - 650
N2 = + �"(-4,6 + 2,0) = 832 kN
5 53,2
4000 - 650
N3 = + �" (5,0 - 4,6) = 795 kN
5 53,2
4000 - 650
N4 = + �"(7,0 - 4,6) = 771kN
5 53,2
4000 - 650
N5 = + �"(9,0 - 4,6) = 746 kN
5 53,2
2
b) Układy trójwymiarowe z palami tylko pionowymi (np. stopa, płyta lub blok na palach)
Układy takie, podobnie jak wyżej, stosujemy przy obciążeniach tylko od sił pionowych
i momentów, przy braku lub pominięciu obciążeń poziomych.
y0
Uwagi:
1) punkt  0  środek geome-
ŁMy0
tryczny grupy pali
2) wszystkie pale jednakowe
x0
0
3) znaki x i y według ćwiartek
ŁV
układu współrzędnych
yi
ŁMx0
4) znaki Mx0 i My0  dodatnie
gdy zgodne z osiami x i y
xi
"V "M x0 "M y0
N = - �" y + �" x , n  liczba pali
j j
2
n yi2 j
" "xi
Zadanie przykładowe 4.2
Stosując metodę sztywnego oczepu policzyć siły w najbardziej obciążonym i w najmniej
obciążonym palu pod stopą fundamentową słupa budynku przemysłowego. Do obciążeń ze słupa
doliczyć ciężar własny stopy fundamentowej.
Przekrój pionowy
Plan
Vs = 3500 kN
(1)
(3) (5)
Msy = 2500 kNm
Msy
Msx = 800 kNm
es = 0,3 m
Vs
0
(2) (4) (6)
5,0
0,5 2,0 2,0 0,5
Obciążenia sprowadzone do punktu  0 :
Ciężar fundamentu: GF = 5,0�"3,0�"0,8�"25,0 = 300 kN
ŁV = 3500 + 300 = 3800 kN
ŁMx0 = 800 kNm
ŁMy0 = 2500  3500�"0,3 = 1450 kNm
Momenty bezwładności układu pali względem osi x0 i y0:
Łxi2 = 4�"2,02 = 16 m2 ; Łyi2 = 6�"1,02 = 6 m2
Siła w najbardziej obciążonym palu  nr 6:
3800 800 1450
N6 = - �" (-1,0) + �" (2,0) = 948,0 kN
6 6,0 16,0
Siła w najmniej obciążonym palu  nr 1:
3800 800 1450
N1 = - �"1,0 + �" (-2,0) = 319,0 kN
6 6,0 16,0
3
0,5
2,0
0,8
0,5
Zadanie przykładowe 4.3
Stosując metodę sztywnego oczepu policzyć siły w najbardziej obciążonym i w najmniej
obciążonym palu pod fundamentem dwóch słupów budynku szkieletowego. Do obciążeń ze słupów
doliczyć ciężar własny stopy fundamentowej.
A y0
Plan
1.0 1.0 1.0 1.0
grubość 1,0 m
V1 = 8000 kN,
1 2
M1 = 10000 kNm
M1 7 8 9
V2 = 5000 kN,
3 4
x0
M2 V2
 0
M2 = 6000 kNm
V1
10 11 12
5 6
1.0 2.0 2.0 2.0 2.0 1.0
x0
A
Wyznaczenie położenia środka geometrycznego układu pali:
SyA = 3�"2,0 + 2�"4,0 + 2�"6,0 + 2�"8,0 = 42,0 m
x0 = 42,0/12 = 3,5 m
Obciążenia sprowadzone do punktu  0 :
Ciężar fundamentu: GF1 = 4,0�"6,0�"1,0�"25,0 = 600 kN, GF2 = 6,0�"4,0�"1,0�"25,0 = 600 kN
ŁV = 8000 + 5000 + 600 + 600 = 14200 kN
ŁMx0 =  6000 kNm
ŁMy0 =  8000�"2,5 + 5000�"3,5 + 10000  600�"3,5 + 600�"3,5 = 7500 kNm
Momenty bezwładności układu pali względem osi x0 i y0:
Łxi2 = 3�"(-3,5)2 + 3�"(-1,5)2 + 2�"0,52 + 2�"2,52 + 2�"4,52 = 97 m2
Łyi2 = 2�"2,02 + 3�"1,02 + 2�"(-2,0)2 + 3�"(-1,0)2 = 22 m2
Siły w wybranych palach:
14200 - 6000 7500
N1 = - �" 2,0 + �"(-3,5) = 1458 kN
12 22 97,0
14200 - 6000 7500
N2 = - �" 2,0 + �"(-1,5) = 1613kN
12 22 97,0
14200 - 6000 3500
N9 = - �"1,0 + �" 4,5 = 1618 kN = Nmax
12 22 97,0
14200 - 6000 3500
N5 = - �"(-2,0) + �"(-3,5) = 512 kN = Nmin
12 22 97,0
14200 - 6000 3500
N6 = - �"(-2,0) + �"(-1,5) = 584 kN
12 22 97,0
14200 - 6000 3500
N12 = - �"(-1,0) + �" 4,5 = 1073 kN
12 22 97,0
4
1.0
2.0
1.0
1.0
2.0
2.0
1.0
c) Układy dwuwymiarowe z palami pionowymi i ukośnymi
(np. ściany oporowe, przyczółki mostowe, nabrzeża, bloki kotwiące na palach itp.)
Układy takie stosuje się przy złożonych obciążeniach - od sił pionowych, poziomych i momentów.
Ze względu na siły poziome konieczne są pale ukośne.
 fundament na 2 palach
rozwiązanie graficzne
Schemat
V
Q
H
V
Q
N1
N2
N2 H
rozwiązanie analityczne:
N1
ŁX = 0
N1, N2
ŁY = 0
 fundament na 3 palach
rozwiązanie graficzne
Schemat
ŁV
N1
z
Q
ŁM0
Q
z
ŁH
N2
N1
N3
N3
N2
EB
rozwiązanie analityczne:
Ł X = 0
Ł Y = 0
N1, N2, N3
Ł M = 0
- fundament na więcej niż 3 palach
rozwiązanie :
Schemat
V1 V2
q
ŁV
1) w przypadku jednego pala
H1
M1
ŁM
ukośnego możliwe rozwiązanie
H2
analityczne
ŁH
2) metoda N�kkentveda
N1
N3
3) metoda macierzowa
N4 N5
N2 4) metoda numeryczna
np. programem komputerowym
do statyki układów prętowych
5
Zadanie przykładowe 4.4
Wyznaczyć metodą graficzną i analityczną wartości sił w palach pod fundamentem ściany
oporowej.
Obliczenia:
V
Obciążenia sprowadzone do geometrycznego środka
podstawy fundamentu:
M0
H V = 302,40 kN/m
H = 143,27 kN/m
M0 = 81,7 kNm/m
Wypadkowa obciążeń:
Q = 302,42 +143,272 = 334,6 kN/m
(1) (2)
(3) Mimośród przyłożenia wypadkowej względem
geometrycznego środka płyty fundamentowej:
0,35 m 2,50 m 0,35 m
81,7
3,20 m
eB = = 0,27 m
302,4
a) Metoda graficzna Culmanna (skala sił 1 cm = 100 kN/m):
Q = 334,6 kN/m Odczytujemy z wieloboku sił długości wektorów S1,
eB = 0,27 m
S2 i S3. Przeliczamy odczytane wielkości na
Q = 334,6 kN
(3,35 cm)
jednostki siły według przyjętej skali:
A 0 B
S1 = 1,8 � 100 = 180,0 kN/m
z
z
S1 S2 S3
S2 = 3,6 � 100 = 360,0 kN/m
ą ą
C S3 = 2,35 � 100 = 235,0 kN/m
W palu nr 3 jest siła wyciągająca.
(1) (2) (3)
b) Metoda analityczna:
Suma momentów względem punktu B:
AB
ŁM = 0 S1 �" AB -Vk �" (eB + ) = 0
B
2
2,5
S1 �" 2,5 - 302,4 �" (0,27 + ) = 0 S1 = 183,9 kN/m
2
Suma momentów względem punktu A:
AB
ŁM = 0 (- S2 �" cosą - S3 �" cosą)�" AB + Vk �" ( - eB) = 0
A
2
2,5
(- S2 �" 0,97 - S3 �" 0,97)�" 2,5 + 302,4 �" ( - 0,27) = 0 S3 = -S2 +122,2
2
Suma rzutów sił na oś X:
S2 �"siną - S3 �"siną - Hk = 0
S2 �"0,242 - S3 �"0,242 -143,27 = 0
6
S (1,8 cm)
1
S (3,6 cm)
2
3
S (2,35 cm)
Podstawiamy S3 = -S2 +122,2 :
S2 �"0,242 -(- S2 +122,2)�"0,242 -143,27 = 0 S2 = 357,2 kN/m
S3 = -S2 +122,2 = -357,2 +122,2 = -235 kN/m
Różnice pomiędzy metodą a) i b) wynikają z niedokładności pomiarowych w metodzie a).
Zadanie przykładowe 4.5
Stosując metodę sztywnego oczepu policzyć siły w palach fundamentu palowego przyczółka
wiaduktu drogowego przedstawionego na rysunku. W obciążeniach uwzględniony jest również
ciężar przyczółka i oczepu fundamentowego.
Plan palowania
y0 A
V = 15000 kN
H = 3200 kN
M = 4800 kNm
x0
5,0 0,5 1,5 2,0
V
M
H
6:1
ą
(4) (3) (2) (1)
y0
A
0,75 2,5 2,5 2,5 0,75
Schemat
V
M
H
 0
N4 N3 N2 N1
(3) (2) (1)
(4)
Z równowagi sił poziomych wyznaczamy siłę w palach w rzędzie (1)
taną = 1/ 6 ą = 9,5�
X = 0 H - N1 �"siną = 0 N1 = H / siną = 3200 / sin 9,5� = 19400 kN
"
2
Siła w pojedynczym palu: N1 = 19400 / 6 = 3230 kN
Myślowo usuwamy pale z rzędu nr (1), a składową pionową siły N1 traktujemy jako dodatkowe
obciążenie zewnętrzne. Usuwamy też ze schematu obciążenia poziome.
N1v = N1 �"cosą = 19400�"cos9,5� = 19130 kN
7
1,0
2,2
2,2
2,2
2,2
2,2
1,0
y0
x0 A
V
M
 0
A
N1v
N4 N3 y0 N2
Środek geometryczny nowego układu pali:
SyA = -2�"2,5  2�"5,0 =  15,0 m
x0 =  15,0/10 =  1,5 m
Obciążenia sprowadzone do punktu  0 :
ŁV = 15000  19130 =  4130 kN
ŁMy0 = 4800 + 15000�"(0,5 + 1,5)  19130�"(2,5 + 1,5) =  41720 kNm
Momenty bezwładności układu pali względem osi y0:
Łxi2 = 6�"1,52 + 2�"1,02 + 2�"3,52 = 40,0 m2
Siły w pozostałych palach (wartości na pojedyncze pale):
- 4130 - 41720
2
N2 = + �"1,5 =  1978 kN siła wyciągająca pal
10 40,0
- 4130 - 41720
2
N3 = + �"(-1,0) = 630 kN
10 40,0
- 4130 - 41720
2
N4 = + �" (-3,5) = 3240 kN
10 40,0
Prezentacja wyników obliczeń
N2 4= 3240 N2 3= 630 N2 2= 1978 N2 1= 3230
(Siły w pojedynczych palach [kN])
8
Metoda sprężystego oczepu na podporach sprężystych
W obliczeniach uwzględnia się rzeczywistą sztywność oczepu (np. belki, rusztu lub płyty), a pale
wyraża się w postaci podpór sprężystych o sztywnościach kz. Sztywności te wyznacza się z obliczeń
osiadań pali. Przy niedużej liczbie pali, sztywność kz można przyjąć w przybliżeniu z zalezności:
Nt Nt
kz = H" [kN/m]
s( Nt ) 0.01�" D
w którym:
Nt  nośność pala na wciskanie obliczona według normy,
s(Nt)  osiadanie pala przy mobilizacji nośności Nt. Z wielu próbnych obciążeń pali wynika, że
osiadanie to wynosi w przybliżeniu 1% średnicy pala (0.01�"D).
W wyniku obliczeń otrzymuje się siły w palach oraz siły wewnętrzne w oczepie (momenty
zginające, siły tnące) oraz jego przemieszczenia (ugięcia). Nie otrzymuje się w tej metodzie
momentów zginających w palach. Rozwiązanie układu wykonać najlepiej za pomocą
odpowiedniego programu komputerowego do liczenia układów prętowych i płyt.
Przykłady:
a) belka na podporach sprężystych obciążona pionowo i momentami
Schemat
V1 V2 V3
V1 V2 V3
q
q
gF
M1
M1
g
F
EJF
k k k k k
z z z z z
rozwiązanie
wykres momentów
N
1 N
4 N
5
N
2
N
3
siły w palach
b) ruszt na podporach sprężystych obciążony pionowo i momentami
V4
V4
Schemat
M4
q+gF
M4
V5
V5
V3
V3
M3
M3
V1
V1
M1
V2
M1
V2
EJF  sztywność giętna
EJF
belek rusztu
GJsF
k
z
GJsF  sztywność skrętna
belek rusztu
rozwiązanie
wykres momentów
N
j
N
i
siły w palach
N
1
N
2
9
c) płyta na podporach sprężystych obciążona pionowo i momentami
Przygotowanie schematu statycznego i obliczenia podobne do rusztu belkowego na palach.
Obliczenia wykonuje się programami komputerowymi do analizy statycznej płyt (MES).
d) fundament palowy obciążony pionowo, poziomo i momentami (z palami ukośnymi)
Schemat
V V
1 2 V1 V2
q
q g
F
H
1 M1
H1 1
M
H2
H2
N
1
N
3
k k k k k
z z z z z
N
4 N
5
N
2
rozwiązanie
wykres momentów
N5
N
1
N N
3 4
N
2
siły w palach
Metoda uogólniona
W metodzie tej przygotowuje się schemat obliczeniowy fundamentu palowego, w którym pale
modeluje się w postaci prętów współpracujących na całej swojej długości z gruntem jako
ośrodkiem sprężystym lub sprężysto-plastycznym. Uwzględniony jest w ten sposób wpływ
warunków gruntowych na pracę całego układu i na otrzymywane wyniki obliczeń. Metody
sztywnego i sprężystego oczepu tego wpływu nie uwzględniją. Współpracę pali z gruntem wyraża
się za pomocą szeregu podpór sprężystych lub sprężysto-plastycznych, rozmieszczonych wzdłuż
pali. Odpowiednie dobranie parametrów tych podpór jest największą istotą metody. Sposób ich
określania w Polsce opracował M. Kosecki (1988, 2006).
Powstające w efekcie schematy statyczne fundamentów palowych są wielokrotnie statycznie
niewyznaczalne i wymagają do rozwiązania programów komputerowych do macierzowej analizy
konstrukcji. W przypadku podpór sprężystych obliczenia wykonuje się jednoetapowo,
a w przypadku podpór sprężysto-plastycznych  kilkuetapowo: iteracyjnie lub przyrostowo.
W wynikach obliczeń otrzymuje się w miarę rzeczywiste wartości sił i momentów w palach, sił
wewnętrznych w nadbudowie i przemieszczeń całej konstrukcji. Jak dotąd jest to najlepsza
z praktycznych metod obliczania fundamentów palowych, znajdująca zastosowanie w projektowa-
niu.
Przykład fundamentu palowego obliczonego metodą uogólnioną.
Schemat
V1=1000 kN V2=800 kN
V1
M1=1500 V2
q=60 kN/m
H1=300 kN
kNm q
H2=200 kN
M1
H1
H2
0,8
Pd,
-1,0
ID=0.35
1,0 3,5 5,0 1,5 1,0 EJF
-3,0
EJp
T/Nm
kxi
-8,0
Pd, ID=0.50
-10,0
Pd, ID=0.70
-12.0
pale Vibro
Ć460 mm
Kz
10
Rozwiązanie
7.0
72
1.0
191
8.0
169
79
49
49
62 60
M [kNm] � [mm]
N [kN]
N3=623 N4=41
N1=1088 N2=902
11
457
150
211
184
50
712
1316
Metody obliczeniowe pośrednie
W niektórych przypadkach możliwe są uproszczenia w metodzie uogólnionej. Polegają one
np. na przyjęciu jako prętów górą połączonych sztywno z oczepem, a dołem utwierdzonych na
obrót w gruncie nośnym na pewnej głębokości (od 3 do 5 średnic pala) i sprężyście podpartych
w kierunku osiowym. Takie uproszczenie jest możliwe do zastosowania przy obliczaniu palowych
konstrukcji wodnych (np. pirsy, nabrzeża, pomosty) oraz w przypadku występowania w podłożu
gruntowym bardzo słabych warstw od samego oczepu, aż do warstw nośnych, w których zagłębione
są pale (również bez warstw wytrzymałych pomiędzy warstwami słabymi). Aby możliwe było
przyjęcie utwierdzenia pali w warstwach nośnych potrzebne jest dość znaczne ich zagłębienie
w tych warstwach, na co najmniej 6 do 10 średnic pali (patrz rysunek poniżej).
Schemat
V1 V2
M
1 q
V1 V2
H1 q
H
2
M1
H
1
H2
EJF
EJp
T/Nm
pale <"(3�5)D
o średnicy D
poziom utwier-
dzenia pali
Kz
e"(3�5)D
warstwy gruntów
nośnych
Rozwiązanie
[ � ]
,
[ M N ]
N4
N1 N2 N3
W powyższym rozwiązaniu otrzymuje się zawyżone wartości przemieszczeń poziomych
fundamentów oraz momentów zginających w palach.
12