LABORATORIUM Z PRZEDMIOTU:

Komputerowe wspomaganie w technice.

Ćwiczenie 3

Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równao

liniowych.

Wstęp teoretyczny

Rozwiązywanie układu równao liniowych metodą eliminacji Gaussa przebiega w dwóch etapach:

pierwszy etap jest nazywany etapem postępowania prostego (etapem eliminacji niewiadomych), drugi etapem

postępowania odwrotnego. Na etapie postępowania prostego wyjściowy układ równao zostaje przekształcony

do postaci równoważnej (tzn. takiej, która posiada dokładnie takie same rozwiązania co układ wyjściowy) z

trójkatną górną macierzą główną układu. Przekształcenie to jest realizowane w n krokach.

Krok 1 (eliminacja niewiadomej

1

x

z równao 2, 3, ... , n ).

Zakładamy, że w układzie wyjściowym, który zapiszemy jako

)

0

(

0

)

0

(

2

)

0

(

2

1

)

0

(

1

)

0

(

20

)

0

(

2

2

)

0

(

22

1

)

0

(

21

)

0

(

10

)

0

(

1

2

)

0

(

12

1

)

0

(

11

...

........

..........

..........

..........

..........

...

...

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

x

a

,

(2.6)

element

0

)

0

(

11

a

. Pierwsze równanie układu (2.6) dzielimy przez

)

0

(

11

a

otrzymując

)

1

(

10

)

1

(

1

2

)

1

(

12

1

...

a

x

a

x

a

x

n

n

,

(2.7)

gdzie

0

,

...,

,

2

,

1

)

0

(

11

)

0

(

1

)

1

(

1

n

j

dla

a

a

a

j

j

.

Następnie od

)

,

...

,

3

,

2

(

n

i

tego

i

równania układu (2.6) odejmujemy równanie (2.7) pomnożone przez

1

i

a

otrzymując

)

1

(

0

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

20

)

1

(

2

2

)

1

(

22

...

..........

..........

..........

..........

...

n

n

nn

n

n

n

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

,

(2.8)

gdzie

0

,

...,

,

2

,

1

;

,

...

,

3

,

2

)

1

(

1

1

)

1

(

n

j

n

i

dla

a

a

a

a

j

i

ij

ij

.

Krok 2 (eliminacja niewiadomej

2

x

z równao 3, 4, ... , n ).

Schemat obliczeo kroku 1 powtarzamy w odniesieniu do układu równao (2.8). A więc zakładamy, że

0

)

1

(

22

a

. Pierwsze równanie układu (2.8) dzielimy przez

)

1

(

22

a

otrzymując

)

2

(

20

)

2

(

2

3

)

2

(

23

2

...

a

x

a

x

a

x

n

n

(2.9)

gdzie

0

,

...,

,

3

,

2

)

1

(

22

)

1

(

2

)

2

(

2

n

j

dla

a

a

a

j

j

.

Następnie od

)

,

...

,

4

,

3

(

n

i

tego

i

równania układu (2.8) odejmujemy równanie (2.9) pomnożone przez

)

1

(

2

i

a

otrzymując

)

2

(

0

)

2

(

3

)

2

(

3

)

2

(

30

)

2

(

3

3

)

2

(

33

...

..........

..........

..........

..........

...

n

n

nn

n

n

n

a

x

a

x

a

a

x

a

x

a

,

(2.10)

gdzie

0

,

...,

,

3

,

2

;

,

...

,

4

,

3

)

2

(

2

)

1

(

2

)

1

(

)

2

(

n

j

n

i

dla

a

a

a

a

j

i

ij

ij

.

Kroki 3, 4, ... ,

1

n

.

Algorytm obliczeo w kolejnych krokach jest analogiczny do tych z kroków 1 i 2. Po wykonaniu obliczeo w

1

n

kroku otrzymujemy dwa równania

)

1

(

0

,

1

)

1

(

,

1

1

n

n

n

n

n

n

n

a

x

a

x

(2.11)

gdzie

0

,

)

2

(

1

,

1

)

2

(

,

1

)

1

(

,

1

n

j

dla

a

a

a

n

n

n

n

j

n

n

j

n

oraz

)

1

(

0

)

1

(

n

n

n

n

nn

a

x

a

.

(2.12)

Krok n .

Zakładamy, że

0

)

1

(n

nn

a

. Równanie układu (2.12) dzielimy przez

)

1

(n

nn

a

otrzymując

)

(

0

n

n

n

a

x

.

(2.13)

Przykładowy algorytm eliminacji „w przód” (tzw postępowanie proste):

end

end

do

to

for

begin

do

to

for

do

to

for

begin

do

to

for

12

11

:

10

:

9

:

8

7

:

6

:

5

:

4

:

3

2

1

:

1

(k )
k 0

1)

(k

ik

1)

(k

i0

(k )

i0

(k )
k j

1)

(k

ik

1)

(k

ij

(k )

ij

1)

(k
k k

1)

(k
k 0

(k )
k 0

1)

(k
k k

1)

(k
k j

(k )
k j

a

a

a

a

a

a

a

a

n

k

j

n

1

k

i

a

a

a

a

a

a

n

k

j

n

k

Na etapie postępowania odwrotnego rozpatrujemy układ składający się z równao (2.7), (2.9), ... , (2.11),

(2.13), tj.

)

(

0

)

1

(

0

,

1

)

1

(

,

1

1

)

2

(

20

)

2

(

2

2

)

1

(

10

)

1

(

1

2

)

1

(

12

1

........

..........

..........

..........

..........

...

...

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

.

(2.14)

Algorytm rozwiązania tego układu jest oczywisty. Z ostatniego równania układu (2.14) otrzymujemy wartośd

niewiadomej

n

x

. Wartośd tę podstawiamy do równao

1

,

...

,

2

,

1 n

n

. Teraz z równania

1

n

możemy

wyznaczyd wartośd

1

n

x

, itd. Poniżej przykład algorytmu postępowania odwrotnego (podstawianie wsteczne):

j

n

i

j

i

ij

i

i

i

n

n

n

x

a

a

x

n

i

a

x

1

)

(

)

(

0

)

(

0

:

3

1

1

:

2

:

1

do

downto

for

ZADANIE DO REALIZACJI:

Napisad procedurę rozwiązania układu równao liniowych metodą eliminacji Gaussa
działającą, co najmniej dla układu 6 równao z 6 niewiadomymi.

Podjąd dyskusję błędu.

PRZEBIEG DWICZENIA

1. Podział na grupy.
2. Test wiadomości.
3. Wybór oprogramowania (Excel, MathCAD, MatLab, Scilab Octave…)
4. Adaptacja algorytmów postępowania do platformy programowej.
5. Wykonanie próbnych obliczeo na zadaniach testowych.

1)



2) dowolnie wybrany układ co najmniej 3x3

6. Dyskusja błędu z uwzględnieniem błędu numerycznego.

6

5

5

901

.

3

3

099

.

2

6

7

7

10

3

2

1

3

2

1

3

2

x

x

x

x

x

x

x

x