1

Kw

adratury

Gaussa

-

kw

adratury

o

maksymaln

ym

rzedzie

P

oszukujem

y

kw

adratury

o

maksymaln

ym

rzedzie

przybliza

jacej

funk

cjonal

linio

wy

I

p

(f

)

=

Z

b

a

p(x)f

(x)dx

(1)

Z

p

oprzednic

h

rozw

azan

('kw

ad')

wiem

y

,

ze

rzad

kw

adratury

opartej

na

w

ezlac

h

o

lacznej

krotnosci

n

+

1

moze

b

yc

ro

wn

y

co

na

jmniej

n

+

1,

gdyz

co

na

jmniej

taki

jest

rzad

kw

adratur

in

terp

olacyjn

yc

h

opar-

t

yc

h

na

n

+

1

w

ezlac

h.

Mozna

sie

sp

o

dziew

ac,

ze

przy

o

dp

o

wiednio

wybran

yc

h,

niek

oniecznie

ro

wno

o

dleg-

lyc

h

w

ezlac

h

maksymaln

y

rzad

kw

adratury

b

edzie

istotnie

wiekszy

o

d

n

+

1.

Ok

azuje

sie,

ze

do

w

olna

kw

adratura

p

ostaci

Q(f

)

=

n

0

X

i=0

A

i;0

f

(x

i;0

)

+

n

1

X

i=0

A

i;1

f

0

(x

i;1

)

+

:::

+

n

k

X

i=0

A

i;k

f

(k )

(x

i;k

)

(2)

rzedu

wyzszego

o

d

n

+

1

jest

kw

adratura

in

terp

olacyjna.

Do

datk

o

w

o

Twierdzenie

Kw

adratura

p

ostaci

(2)

o

maksymaln

ym

rzedzie

(ro

wn

ym

2n

+

2)

jest

kw

adratura

in

terp

olacyjna,

ktorej

w

ezlami

sa

pierwiastki

(n

+

1)-go

wielomian

u

ortogonalnego

na

przedziale

[a;

b]

z

w

aga

p.

Kw

adratury

takie

nazyw

ane

sa

kwadr

atur

ami

Gaussa.

2

Wielomian

y

ortogonalne

2.1

P

o

dsta

w

o

w

e

p

o

jecia

Denicja

Przestrzen

linio

w

a

V

nazyw

am

y

unormo

w

ana,

jesli

jest

okreslona

w

niej

funk

cja

nazyw

ana

norma,

ktora

k

azdem

u

elemen

to

wi

f

2

V

przyp

orzadk

o

wuje

liczb

e

rzeczywista

jjf

jj

i

sp

elnia

nastepujace

w

arunki:



jjf

jj



0;

jjf

jj

=

0

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

f

=

0



jjf

jj

=

jj

jjf

jj



jjf

+

g

jj



jjf

jj

+

jjg

jj

dla

do

w

oln

yc

h

elemen

to

w

f

;

g

2

V

i

liczb

rzeczywist

yc

h

.

Na

dan

ym

przedziale

[a;

b]

niec

h

p(x)

b

edzie

funk

cja

nieujemna

zerujaca

sie

w

t

ym

przedziale

na

zbiorze

miary

zero

i

tak

a,

ze

R

b

a

p(x)dx

<

1.

F

unk

cja

p

o

t

yc

h

wlasnosciac

h

b

edziem

y

dalej

nazyw

ali

funk

cja

w

ag

ow

a.

Przez

L

2

p

[a;

b]

oznaczam

y

zbior

funk

cji

mierzaln

yc

h

na

[a;

b]

i

takic

h,

ze

R

b

a

f

2

(x)p(x)dx

<

1.

Przy

takic

h

zalozeniac

h

przestrzen

L

2

p

[a;

b]

z

norma

ro

wna

jjf

jj

=

(

Z

b

a

f

2

(x)p(x)dx)

1=2

(3)

jest

przestrzenia

linio

w

a

unormo

w

ana.

Jedna

z

jej

p

o

dprzestrzeni

linio

wyc

h

stano

wi

zbior

wielomiano

w.

Denicja

Przestrzen

linio

w

a

V

nazyw

am

y

un

tarna,

jesli

jest

okreslona

w

niej

funk

cja

nazyw

ana

ilo

czynem

skalarnym.

ktora

k

azdej

parze

elemen

to

w

f

;

g

2

V

przyp

orzadk

o

wuje

liczb

e

rzeczywista

(f

;

g

)

i

sp

elnia

nastepujace

w

arunki:

1



(f

;

f

)



0;

(f

;

f

)

=

0

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

f

=

0



(f

;

g

)

=

(g

;

f

)



(f

+



g

;

h)

=

(f

;

h)

+



(g

;

h)

dla

do

w

oln

yc

h

elemen

to

w

f

;

g

;

h

2

V

i

liczb

rzeczywist

yc

h

;



.

Przykladem

przestrzeni

unitarnej

jest

p

oprzednio

zdenio

w

ana

przestrzen

L

2

p

[a;

b]

z

ilo

czynem

sk

alarn

ym

okreslon

ym

ro

wnoscia

(f

;

g

)

=

Z

b

a

f

(x)g

(x)p(x)dx

(4)

Kazda

przestrzen

unitarna

jest

przestrzenia

unormo

w

ana,

jesli

za

norme

przyjmiem

y

jjf

jj

=

p

(f

;

f

).

Mo

wiac

dalej

o

normie

w

przestrzeni

unitarnej,

b

edziem

y

rozumieli

przez

nia

norme

zdenio

w

ana

przez

(4).

Denicja

Jesli

(f

;

g

)

=

0,

to

mo

wim

y

,

ze

elemem

t

y

f

i

g

sa

wza

jemnie

prostopadle

(ortogonalne).

Sk

onczon

y

lub

niesk

onczon

y

zbior

niezero

wyc

h

elemen

to

w

f

1

;

f

2

;

:

:

:

;

f

n

;

:

:

:

przestrzeni

unitarnej

nazyw

am

y

ukladem

or-

to

gonalnym,

jesli

do

w

olne

rozne

elemen

t

y

sa

wza

jemnie

ortogonalne,

tzn

(f

k

;

f

l

)

=

0

dla

k

6=

l

.

Jezeli

pro

cz

tego

(f

k

;

f

k

)

=

1

dla

k

azdego

k

,

to

uklad

taki

nazyw

am

y

or

tonor

mal

ny

m.

Przykladem

ukladu

ortogonalnego

moze

b

yc

zbior

funk

cji

1;

cos

x;

sin

x;

cos

2x;

sin

2x;

:

:

:

w

przestrzeni

L

2

p

[a;

b]

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

1.

Norm

ujac

te

funk

cje

otrzym

ujem

y

uklad

ortonormaln

y

1

p

2

;

cos

x

p



;

sin

x

p



;

cos

2x

p



;

sin

2x

p



;

:

:

:

2.2

Ciagi

wielomiano

w

ortogonaln

yc

h

Denicja

Ciag

P

0

;

P

1

;

:

:

:

;

P

n

,

gdzie

P

k

(k

=

0;

1;

:

:

:

;

n)

jest

wielomianem

stopnia

dokladnie

k

nazyw

am

y

ciagiem

wielomiano

w

ortogonaln

yc

h

na

przedziale

[a;

b]

z

w

aga

p,

jesli

t

w

orza

uklad

ortogonaln

y

w

przestrzeni

L

2

p

[a;

b],

tzn.

(P

k

;

P

l

)

=

Z

b

a

P

k

(x)P

l

(x)p(x)dx

=

0

(5)

dla

k

6=

l

,

k

,

l

=

0;

1;

:::

(n



1).

Twierdzenie

Wielomian

y

ortogonalne

P

k

(k

=

0;

1;

:

:

:

;

n)

sp

elnia

ja

zaleznosc

rekurencyjna

(tzw.

r

e

gule

tr

ojczlonowa)

P

k

(x)

=

(

k

x

+



k

)P

k

1

(x)

+

k

P

k

2

(x);

k

=

1;

2;

:

:

:

;

n

P

1

(x)

=

0;

P

0

(x)

=

a

0

(6)

gdzie



k

=

a

k

a

k

1

6=

0



k

=



k

(xP

k

1

;

P

k

1

)

(P

k

1

;

P

k

1

)

6=

0

(7)

k

=



k



k

1

(P

k

1

;

P

k

1

)

P

k

2

;

P

k

2

6=

0

2

a

k

zas

oznacza

wsp

olczynnik

wielomian

u

P

k

przy

x

k

,

P

k

(x)

=

a

k

x

k

+

:

:

:

Twierdzenie

Pierwiastki

wielomiano

w

ortogonaln

yc

h

w

przestrzeni

L

2

p

[a;

b]

sa

rzeczywiste

,

jednokrotne

i

leza

w

ewna-

trz

przedzialu

[a;

b].

Twierdzenie

Niec

h

P

0

;

P

1

;

:

:

:

;

P

n

b

edzie

ciagiem

wielomiano

w

ortonormaln

yc

h

o

na

jwyzszyc

h

wsp

olczynnik

ac

h

ro

wn

yc

h

a

k

,

P

k

=

a

k

x

k

+

:

:

:

.

Sp

elnia

ja

one

tozsamosc

k

X

i=0

P

i

(x)P

i

(y

)

=

a

k

a

k +1

P

k +1

(x)P

k

(y

)

P

k

(x)P

k +1

(y

)

x

y

(8)

2.3

Przyklady

ciago

w

wielomiano

w

ortogonaln

yc

h

Wielomiany

L

e

gendr

e'a

denio

w

ane

wzorami

P

0

(x)

=

1;

P

k

(x)

=

1

2

k

k

!

d

k

dx

k

(x

2

1)

k

k

=

1;

2;

:

:

:

(9)

sa

wielomianami

ortogonaln

ymi

na

przedziale

[

1;

1]

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

1.

Sp

elnia

ja

one

zaleznosc

rekurencyjna

P

k

(x)

=

2k

1

k

xP

k

1

(x)

k

1

k

P

k

2

(x);

k

=

1;

2;

:

:

:

P

0

(x)

=

1

(10)

Wielomiany

Hermitte'a

dane

wzorem

H

k

(x)

=

(

1)

k

e

x

2

d

k

dx

k

e

x

2

(11)

lub

w

p

ostaci

ja

wnej

H

k

(x)

=

k

!

[k =2]

X

i=0

(

1)

i

(2x)

k

2i

i!(k

2i)!

(12)

sa

wielomianami

ortogonaln

ymi

w

przestrzeni

L

2

p

(

1;

+1)

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

e

x

2

.

Regula

tro

jczlono

w

a

ma

w

t

ym

przypadku

p

ostac

H

k

(x)

=

2xH

k

1

(x)

(2k

2)H

k

2

(x);

k

=

1;

2;

:

:

:

H

0

(x)

=

1

(13)

Norma

jjH

k

jj

jest

ro

wna

jjH

k

jj

2

=

Z

+1

1

e

x

2

(H

k

(x))

2

dx

=

p



2

k

k

!

(14)

Wielomianami

Czebyszewa

pierwsze

go

r

o

dzaju

deniowane

sa

wzor

em

T

k

(x)

=

(x

+

p

x

2

1

)

k

+

(x

p

x

2

1)

k

2

;

k

=

0;

1;

:

:

:

(15)

Dla

jxj



1

p

o

dsta

wia

jac

x

=

cos

t

(tzn.

t

=

arccos

x)

dosta

jem

y

T

k

(t)

=

(cos

t

+

i

sin

t)

k

+

(cos

t

i

sin

t)

k

2

=

cos

(k

t)

(i

=

p

1

)

(16)

3

a

zatem

T

k

(x)

=

cos

(k

arccos

x)

(17)

Stad

i

z

tozsamosci

trygonometrycznej

cos

k

t

+

cos

(k

2)t

=

2

cos

t

cos

(k

1)t

(18)

wynik

a

zaleznosc

rekurencyjna

dla

wielomiano

w

Czeb

yszew

a

T

k

(x)

=

2xT

k

1

(x)

T

k

2

(x);

k

=

2;

3;

:

:

:

T

0

(x)

=

1;

T

1

(x)

=

x

(19)

Mam

y

wiec

T

0

(x)

=

1

T

1

(x)

=

x

T

2

(x)

=

2x

2

1

(20)

T

3

(x)

=

4x

3

3x

T

4

(x)

=

8x

4

8x

2

+

1

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

Z

denicji

wynik

a,

ze

wielomian

y

Czeb

yszew

a

stopnia

parzystego

sa

funk

cjami

parzyst

ymi,

a

stopnia

nieparzystego

nieparzyst

ymi,

tzn.

T

k

(

x)

=

(

1)

k

T

k

(x).

Wielomian

y

Czeb

yszew

a

T

k

,

k

=

0;

1;

:

:

:

;

t

w

orza

uklad

ortogonaln

y

w

przestrzeni

L

2

p

[

1;

1]

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

1

p

1

x

2

,

a

dokladniej

(T

k

;

T

l

)

=

Z

1

1

T

k

(x)T

l

(x)

1

p

1

x

2

dx

=

8

<

:



dl

a

k

=

l

=

0



2

dl

a

k

=

l

6=

0

0

dl

a

k

6=

l

3

Kw

adratury

Gaussa

-

przyklady

Na

mo

cy

p

o

da

w

anego

w

czesniej

t

wierdzenia

w

ezly

kw

adratur

Gaussa

sa

rzeczywiste

,

jednokrotne

i

leza

w

ewnatrz

przedzialu

calk

o

w

ania

[a;

b].

Kw

adratury

Gaussa

sa

zatem

p

ostaci

Q(f

)

=

n

X

i=0

A

i

f

(x

i

)

;

(21)

gdzie

x

i

sa

ustalon

ymi

w

ezlami,

a

wsp

olczynniki

A

i

sa

okreslone

wzorem:

A

i

=

Z

b

a

p(x)

n

Y

j

=0;j

6=i

x

x

j

x

i

x

j

dx

:

(22)

Korzysta

jac

z

p

o

wyzszego

wzoru

i

form

uly

Christoela-Darb

oux

(

t

wierdzenie

i

wzor

(8)

)

do

w

o

dzi

sie,

ze:

A

i

=

a

n+1

a

n

jjP

n

jj

2

P

0

n+1

(x

i

)P

n

(x

i

)

(23)

gdzie

a

k

jest

wsp

olczynnikiem

przy

na

jwyzszej

p

otedze

k

-tego

wielomian

u

ortogonalnego,

P

k

=

a

k

x

k

+

.

Wsp

olczynniki

A

i

mozna

tez

przedsta

wic

w

p

ostaci:

A

i

=

1

P

n

k =0

(

~

P

k

(x

i

))

2

(24)

4

gdzie

~

P

k

sa

wielomianami

ortonormaln

ymi.

Wynik

a

stad,

ze

wsp

olczynniki

kw

adratur

Gaussa

sa

do

datnie.

Pra

wdziw

e

jest

wiec

nastepujace

t

wierdzenie:

Twierdzenie

Dla

do

w

olnego

przedzialu

[a;

b]

i

funk

cji

w

ago

w

ej

p

ciag

kw

adratur

Gaussa

jest

zbiezn

y

do

calki

Z

b

a

p(x)f

(x)dx

(25)

dla

wszystkic

h

funk

cji

f

ciaglyc

h

na

[a;

b].

Ab

y

mo

c

stoso

w

ac

kw

adratury

Gaussa

do

przyblizania

calek

R

b

a

p(x)f

(x)dx,

m

usim

y

znac

pierwiastki

o

dp

o

wiednic

h

wielomiano

w

ortogonaln

yc

h.

3.1

Kw

adratura

Gaussa-Legendre'a

Przyklad

Calk

e

R

3

2

g

(t)dt

,z

funk

cja

w

ago

w

a

v

(t)

=

1,

nalezy

przyblizyc

kw

adratura

Gaussa

oparta

na

czterec

h

w

ezlac

h.

Wielomian

y

Legendre'a

sa

ortogonalne

z

p

o

wyzsza

w

aga

na

przedziale

[

1;

1].

Konstruujem

y

wiec

na-

jpierw

p

omo

cnicza

kw

adrature

przybliza

jaca

calk

e

R

1

1

g

(t)dt,

a

nastepnie

dok

on

ujem

y

linio

w

ej

zamian

y

zmienn

yc

h.

Korzysta

jac

z

zaleznosci

rekurencyjnej

dla

wielomiano

w

Legendre'a

P

k

obliczam

y

P

3

(x)

=

5

2

x

3

3

2

x

(26)

i

P

4

(x)

=

35

8

x

4

30

8

x

+

3

8

(27)

W

ezly

kw

adratury

,

czyli

pierwiastki

P

4

,

sa

ro

wne

x

0

=

x

3

=

s

15

+

2

p

30

35



0:86113

(28)

x

1

=

x

2

=

s

15

2

p

30

35



0:33998

(29)

Ze

wzoru

(23)

wyznaczam

y

wsp

olczynniki

kw

adratury

A

i

=

35

8

5

2

2

7

P

0

4

(x

i

)P

3

(x

i

)

;

(30)

sk

ad

dosta

jem

y

A

0

=

A

3

=

49

6(18

+

p

30

)



0:34785

(31)

5

A

1

=

A

2

=

49

6(18

p

30

)



0:65214

(32)

Sk

onstruo

w

ana

w

ten

sp

osob

kw

adratura

Q

Gaussa-Legendre'a

sp

elnia

zaleznosc

Z

1

1

f

(x)dx

=

Q(f

)

+

R (f

)

=

3

X

i=0

A

i

f

(x

i

)

+

R (f

)

(33)

P

o

dsta

wia

jac

t

=

1

2

(x

+

5)

i

przyjm

ujac

f

(x)

=

g

(

1

2

(x

+

5))

otrzym

ujem

y

p

oszukiw

ana

kw

adrature

~

Q,

dla

ktorej

zac

ho

dzi

ro

wnosc

Z

3

2

g

(t)dt

=

~

Q(g

)

+

~

R(g

)

=

3

X

i=0

B

i

g

(t

i

)

+

~

R (g

)

(34)

gdzie

t

i

=

1

2

(x

i

+

5)

;

B

i

=

1

2

A

i

dl

a

i

=

0;

1;

2;

3

or

az

R (g

)

=

1

2

R (f

)

(35)

3.2

Kw

adratura

Gaussa-Laguerre'a

Do

obliczania

calek

t

ypu

Z

1

0

e

x

g

(x)dx

(36)

gdzie

g

jest

funk

cja

regularna

w

przedziale

[0;

1),

stosuje

sie

kw

adratury

Gaussa-Laguerre'a.

Wielomianami

ortogonaln

ymi

w

L

2

p

[0;

1)

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

e

x

sa

wielomian

y

Laguerre'a

L

n

zdenio

w

ane

wzorem

L

n

(x)

=

e

x

d

n

dx

n

(x

n

e

x

)

(37)

Przyklad

Na

przyklad,

kw

adratura

oparta

na

pieciu

w

ezlac

h

(a

wiec

rzedu

10)

jest

ro

wna

Q(f

)

=

4

X

i=0

A

i

f

(x

i

)

(38)

gdzie

wsp

olczynniki

A

i

oraz

w

ezly

x

i

(i

=

0;

1;

;

4)

sa

o

dp

o

wiednio

ro

wne

A

i

x

i

0:521756

0:263560

0:398667

1:413403

0:759424



10

1

3:596426

0:361176



10

2

7:085810

0:233700



10

4

12:640801

(39)

6

3.3

Kw

adratura

Gaussa-Hermite'a

Do

obliczania

calek

t

ypu

Z

1

1

e

x

2

g

(x)dx

(40)

stosuje

sie

kw

adratury

Gaussa-Hermite'a.

Wielomianami

ortogonaln

ymi

w

L

2

p

(

1;

1)

z

funk

cja

w

ago

w

a

p(x)

=

e

x

2

sa

wielomian

y

Hermite'a

H

n

zdenio

w

ane

wzorem

(11).

Zna

jac

wiec

ic

h

pierwiastki

mozna

budo

w

ac

kw

adratury

Gaussa-Hermite'a

przybliza

jace

calki

rozw

azanego

t

ypu.

3.4

Kw

adratura

Gaussa-Czeb

yszew

a

Kw

adratura

ta

przybliza

calki

funk

cji

z

osobliw

osciami.

Przyklad

Calkujem

y

funk

cje

f

(x)

=

g

(x)

p

1

x

2

(41)

na

o

dcinku

[

1;

1],

a

wiec

ma

jaca

osobliw

osci

w

obu

krancac

h

przedzialu.

Osobliw

osci

te

mozem

y

usunac

traktujac

funk

cje

p(x)

=

1

p

1

x

2

jak

o

w

age.

Wielomianami

ortogonal-

n

ymi

w

L

2

p

[

1;

1]

sa

wielomian

y

Czeb

yszew

a,

wiec

rozw

azana

calk

e

nalezy

przylizyc

kw

adratura

Gaussa-

Czeb

yszew

a.

Jej

w

ezlami

sa

x

i

=

cos

2i

+

1

2n

+

2



;

(42)

a

wszystkie

wsp

olczynniki

sa

ro

wne

A

i

=



n

+

1

:

(43)

Mam

y

zatem

Z

1

1

g

(x)

p

1

x

2

=



n

+

1

n

X

i=0

g

(

cos

2i

+

1

2n

+

2



)

+

R (g

)

(44)

gdzie

R (g

)

=



2

2n+1

g

(2n+2)

(

)

(2n

+

2)!

;



2

(

1;

1)

(45)

7