ĆWICZENIE 5
Mechanika, Drgania i Fale
BADANIE DRGAC
UKA
ADU DWÓCH SPRZ
ŻONYCH WAHADEA

Opis teoretyczny do ćwiczenia
zamieszczony jest na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale
DYDAK
TYKA  FIZYKA  ĆWICZENIA LABORATORYJNE.
Opis układu pomiarowego
W skład układu służącego do badania zjawiska drgań sprzężonych dwóch wahadeł wchodzą:
�� dwa wahadła fizyczne, z których każde złożone jest z walca o masie m =2,33ą�0,01 kg i długości
w
l =0,11ą�0,01m oraz przytwierdzonego do niego i zaopatrzonego w podziałkę milimetrową pręta o
w
ĆWICZENIE 5
Mechanika, Drgania i Fale
masie m =0,404ą�0,01 kg i długości l =0,82ą�0,01m. W górnej części pręt posiada zawieszenie
p p
zrealizowane za pomocą metalowej krawędzi pryzmatycznej,
�� sprężyna sprzęgająca wahadła z możliwością zmiany jej punktu zamocowania,
�� stoper do pomiaru czasu określonej liczby wahnięć.
Takie wahadło fizyczne do celów obliczeń można modelować wahadłem matematycznym o masie równej
sumie mas składników umieszczonej w środku ciężkości wahadła fizycznego.
Przebieg ćwiczenia
1. Zmierzyć czas 10 okresów drgań pojedynczego wahadła bez sprzężenia. Pomiarów dokonać dla obu
wahadeł.
2. Dokonać sprzężenia wahadeł za pomocą sprężyny w odległości a = 20 cm od osi obrotu wahadeł.
3. Zmierzyć czas 10 okresów drgań jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje pierwsze drgania normalne
(zgodnie w fazie).
4. Zmierzyć czas 10 okresów drgań jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje drugie drganie normalne
( przeciwnie w fazie).
5. Zmierzyć czas 2 okresów dudnień, gdy układ jest sprzężony jak poprzednio zaś pobudzony do drgań przez
wychylenie tylko jednego z wahadeł.
6. Pomiary według punktów 3-5 przeprowadzić dla zamocowań sprężyny a od 20 cm do 90 cm co 5 cm albo
10 cm. Wykonać minimum 7 cykli pomiarów.
Opracowanie wyników pomiarów
1. Obliczyć To - okres drgań własnych (bez sprzężenia) dla obu wahadeł. Zdecydować czy do dalszych analiz
przyjąć średnią z obu pomiarów, czy jeden z nich odrzucić. Decyzję uzasadnić. Określić niepewność
pomiarową czasu u(T ).
o
2. Obliczyć okresy dla pierwszego T i drugiego T drgania normalnego oraz okresy dudnień T dla wszystkich
1 2 d
w� =� 2 p� / T
stosowanych sprzężeń. Przeliczyć otrzymane wyżej okresy na częstości . Jako niepewność
2 p�
u(�w�)�=� u(�T )�
przyjąć największą z wartości czyli dla najmniejszej wartości T.
2
T
3. Sprawdzić, czy w� zależy od miejsca sprzężenia oraz jaka jest jego wartości względem w� . Wyciągnąć
1 o
wnioski.
w�d =� w�2 -� w�1
4. Sprawdzić słuszność relacji teoretycznej np. wyliczając dla każdego pomiaru wartość
w�2-�i -�w�1-�i
w�d -�i i porównując ją z wartością 1. Wyciągnąć wnioski.
2
w�2 =� f (a2 )
5. Wykonać Wykres-1 , który teoretycznie powinien być linią prostą. Przeprowadzić
aproksymację metodą najmniejszych przez punkty pomiarowe prowadząc prostą y =� ax +� b ,
2
y =� w�2
gdzie x=a2, a , a parametry prostej oraz ich niepewności wyznaczamy z
n n n
n
xi yi -� n yi )
�� �� ��(xi 1 n
2
u(�a)�=� s� =�
i=�1 i=�1 i=�1 ��e�i
a 2
a =� n n
n -� 2
i=�1 ć� ��
2
2
n n
n -� �� ��
ć� ��
��xi ��xi
�� ��
xi -� n xi2
i=�1 Ł� i=�1 ł�
�� ��
�� ��
Ł� i=�1 ł� i=�1
ĆWICZENIE 5
Mechanika, Drgania i Fale
n n n n
n
2
xi yi -� yi xi2
��xi �� �� ��
��xi
n
1
i=�1 i=�1 i=�1 i=�1 2
i=�1
b =� (�b)�=�
u s�b =� ��e�i
2
2
n n
n n
n -� 2
i=�1
ć� �� ć� ��
2
n -� �� xi ��
�� ��
xi -� n xi2
��xi ��
�� ��
�� ��
i=�1 Ł� i=�1 ł�
Ł� i=�1 ł� i=�1
n n n n
2
=� yi2 -� a xi yi -� b yi
oraz
��e�i �� �� ��
i=�1 i=�1 i=�1 i=�1
a także wyznaczyć współczynnik korelacji (0rozkładów punktów eksperymentalnych z wyznaczoną prostą.
2
n
��
-� x)�(�yi -� y)�ł�
��(�xi
ę� ś�
�� i=�1 ��
R2 =� .
2 2
n n
-� x)� -� y)�
��(�xi ��(�yi
i=�1 i=�1
b ą� u(�b)�
6. Sprawdzić czy do przedziału należy wyznaczona doświadczalnie częstość w� . Wyciągnąć wnioski.
1
7. Obliczyć parametry wahadła matematycznego (masę i długość zredukowaną) oraz ich niepewności złożone:
2 2
m =� mp +� mw ,
�� uc(�m)�=� (�u(�mp)�)� +�(�u(�mw)�)�
0,5 lp mp +� 0,5 lwmw +� lpmw
l =�
��
mp +� mw
2 2
ć�
-� 0,5lwmw -� 0,5lpmw �� ć� 0,5lwmp +� 0,5lpmp +� 0,5lpmw ��
�� ��
u(�mp)��� +� u(�mw)��� +�
2 2
�� �� �� ��
(�mp +� mp)� (�mp +� mp)�
Ł� ł� Ł� ł�
uc(�l)�=�
2 2
ć� ć� ��
0,5mp +� mw �� �� 0,5mw
��
+� u(�lp)��� +� u(�lw)���
��
mp +� mp �� �� mp +� mp ��
Ł� ł� Ł� ł�
2 2
w�2 -� w�1 2
8. Wykorzystując uzyskane parametry wyznaczyć stałą sprężyny k =� ml oraz jej niepewność
2a2
2 2 2 2
2 2 2
ć� ć� ć� �� ć� ��
ml2w�1 �� �� ml2w�2 �� �� l2(�w�2 -�w�1 )�u(�m)��� +� �� ml(�w�2 -�w�12)�u(�l)��� . Wskazać,
złożoną �� u(�w�1)��� +� u(�w�2)��� +�
uc(�k)�=�
�� �� �� �� �� �� �� ��
a2 a2 2a2 a2
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
która wielkość ma na nią największy wpływ.
uc(�y)�
uc,r (�y)� =� (�y)� z
9. Obliczyć niepewności złożone względne
dla wielkości m, l, k. Sprawdzić relację u
c,r
y
wartością 0,1 i wyciągnąć wnioski.
U(�y)�=� k ��uc(�y)�
10. Wyznaczyć zgodnie z zależnością niepewność rozszerzoną dla wielkości m, l, k przyjmując
y ą�U(�y)�
do obliczeń współczynnik rozszerzenia k = 2. Sprawdzić relację przedziałów z wartością
tabelaryczną i wyciągnąć wnioski.
ĆWICZENIE 5
Mechanika, Drgania i Fale
Zestawić wyniki, przeanalizować uzyskane rezultaty, wyciągnąć wnioski.
Stwierdzić czy cel ćwiczenia:
�� wyznaczenie parametrów wahadła matematycznego zastępującego stosowane wahadło fizyczne
(masy i długości zredukowanej);
�� wyznaczenie sztywności sprężyny;
�� potwierdzenie zależności teoretycznych wiążących częstości: pierwszego drgania normalnego,
drugiego drgania normalnego, dudnienia,
został osiągnięty.
ĆWICZENIE 5
Mechanika, Drgania i Fale
Grupa & ................& ...............................................................................................................................................
3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych:
w�d ,w�2 ,w�1
relacja
3.2 Potwierdzić wartości parametrów i ich niepewności na stanowisku!
l = 0,820 ą� 0,001 m; l = 0,114 ą� 0,001 m; l = 0,808 ą� 0,002 m, odległość osi oscylacji od środka masy
r w s
m = 0.404 ą� 0,001 kg; m = 2,33ą� 0,01 kg; m =m +m ;
p w p w
3.3 Pomiary i uwagi do ich wykonania.
Czas 10 drgań wahadła lewego ..................................... oraz wahadła prawego ....................................
Punkt zamocowania Okresy 10 drgań Okresy 10 drgań Okresy 2 dudnień
L.p. sprężyny [& .......] w fazie [& .......] w przeciwfazie [& ........] [& ...& ..]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Niepewność pomiaru czasu & ............ Niepewność pomiaru odległości & ..............
3.4 Data i podpis osoby prowadzącej......................................................................................................................................