ĆWICZENIE 42
WYZNACZANIE MOMENTU BEZWA
ADNOÅšCI BRYA
Y SZTYWNEJ
WZGL
DEM DOWOLNEJ OSI OBROTU
Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZENIA STEINERA
Opis stanowiska
W ćwiczeniu wyznaczamy momenty bezwładności okrągłej tarczy metalowej o promieniu
R = 15 cm. Wzdłuż jej średnicy rozmieszczonych jest 9 otworów w odległości co 3 cm.
Umożliwia to równoległe przesuwanie osi obrotu tarczy o znaną wartość d. Tarczę mocuje się
na balansowym sprężynowym mechanizmie obrotowym. Tarcza odchylona z położenia
równowagi (o ile to możliwe o kÄ…t do 90°) i puszczona swobodnie wykonuje drgania
harmoniczne jak wahadło torsyjne. Okres drgań tarczy wyraża się wzorem:
J
T = 2 Ä„
D
J
gdzie:  moment bezwładności tarczy względem zadanej osi obrotu,
D  stała zwana modułem skręcenia lub momentem kierującym zależna od budowy
mechanizmu torsyjnego.
W ten sposób z pomiaru okres drgań T można wyznaczyć moment bezwładności J .
Stanowisko wyposażone jest w fotokomórkę, za pomocą której można automatycznie
zmierzyć połowę okresu drgań.
ĆWICZENIE 42
Przeprowadzenie pomiarów
1.Zapoznać się z budową zestawu pomiarowego.
2.Umocować tarczę na centralnym otworze i włączyć fotokomórkę.
3.Obrócić tarczę o kąt 90o, nacisnąć na fotokomórce przycisk SET i puścić tarczę. Po
wykonaniu przez układ pełnego drgania, odczytać na wyświetlaczu czas płowy okresu drgań
T 2
. Czynność powtórzyć dziesięciokrotnie, obracając tarczę po 5 razy w prawą i lewą
stronÄ™.
4.Zmienić położenie osi obrotu tarczy mocując tarczę na kolejnych otworach odległych od
środka masy o 3, 6, 9, 12 cm i powtórzyć czynności z punkt 3, aby zmierzyć okresy drgań dla
kolejnych położeń osi.
Opracowanie wyników pomiarów
1.Obliczyć dla każdego położenia osi średnie arytmetyczne wyznaczonych okresów drgań
n
2
(ti - t )
"
oraz ich niepewności standardowe u = i= 1 .
(t )
(n - 1) n
J
J
2.Na podstawie zależności T = 2 Ą , gdzie:  moment bezwładności tarczy
D
względem zadanej osi obrotu, D  stała zwana modułem skręceni lub momentem
kierującym (w ćwiczeniu dla badanego układu D = 0,0255 Nm),
J
obliczyć dla każdego położenia osi momenty bezwładności wraz z ich niepewnościami
złożonymi.
2
3.Wykonać wykres J = f (d )
przyjmując za d kolejno wartości: 0, 3, 6, 9, 12 cm. Nanieść
punkty pomiarowe wraz z niepewnościami.
4.Dla zależności z punktu 3 zastosować metodę aproksymacji najmniejszych kwadratów
Gaussa i obliczyć parametry prostej y = ax + b , gdzie
n n n n n n n
xi yi - n (xi yi ) xi xi yi - yi xi2
" " " " " " "
i= 1 i= 1 i= 1 i=1 i=1 i=1 i=1
a = b =
2 2
n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - n xi2 xi
ìÅ‚ ÷Å‚ - n xi2
xi
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚ i= 1 íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ i=1
n
n
xi2
1 n
2 "
n
à = µ
1
" i
a 2 i= 1
2
n - 2 n n à = µ
" i
i= 1 ëÅ‚ öÅ‚ b
2
n - 2 n n
n xi2 - ìÅ‚ ÷Å‚
xi i= 1 ëÅ‚ öÅ‚
" "
ìÅ‚ ÷Å‚
n xi2 - ìÅ‚ ÷Å‚
xi
" "
i= 1 íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
i= 1 íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
ĆWICZENIE 42
n n n n
2
µ = yi2 - a xi yi - b yi
oraz
" i " " "
i=1 i=1 i=1 i=1
5.Naniesiona na wykresie z punktu 4 prosta reprezentuje twierdzenie Steinera
1
" 2
J = MR2
. Z teoretycznego wzoru obliczyć moment bezwładności tarczy
J = J + M d
z z
2
(R = 15 cm , M = 0,4 kg) i porównać go z wynikiem eksperymentalnym (tzn. z miejscem
przecięcia prostej z punktu 4 z osią rzędnych).
Zestawić wyniki, przeanalizować uzyskane rezultaty (także wykresy), wyciągnąć wnioski.
Stwierdzić czy cele ćwiczenia:
" sprawdzenie twierdzenia Steinera,
" wyznaczenie momentu bezwładności bryły względem jej środka ciężkości,
został osiągnięty.