ĆWICZENIE 29
Optyka
WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH
ZA POMOC
A
AWY OPTYCZNEJ
Opis układu pomiarowego
A) Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej z pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od
soczewki
Szczególnie proste, a równocześnie dostatecznie dokładne, są pomiary dokonywane za pomocą ławy optycznej.
Jest to zaopatrzona w podziałkę milimetrową szyna, wzdłuż której można dowolnie przesuwać świecący
przedmiot, soczewkę i ekran. Świecącym przedmiotem jest zwykle przesłona w kształcie strzałki oświetlona od
a
tyłu matową żarówką. Wystarczy dokonać na ławie optycznej pomiaru odległości oraz b , aby wyznaczyć
wartość ogniskowej zgodnie z przekształconym równaniem soczewki:
a ��b a �� (d -� a)
f =� =�
a +� b d
W praktyce przy stałej odległości pomiędzy przedmiotem i obrazem: d =� a +� b wystarczy zmierzyć a.
B) Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela
a
Wielkości i b występują w równaniu soczewki symetrycznie i można je przestawić bez zmiany wartości
1 f
wyrażenia . Gdy zrealizujemy w praktyce te dwa wzajemnie symetryczne ustawienia przedmiotu i obrazu,
to zauważymy, że odległość przedmiotu od obrazu pozostanie niezmieniona, przy czym w pierwszym
przypadku otrzymujemy obraz powiększony, a w drugim zaś pomniejszony (rys. 1).
ĆWICZENIE 29
Optyka
Jeżeli odległość przedmiotu od ekranu oznaczymy przez d , natomiast odległość między obu położeniami
c
soczewki (dla przypadków otrzymania obrazu powiększonego i pomniejszonego) przez , to jak widać z
rysunku 1 spełnione są warunki:
a +� b =� d i a -� b =� c
a
Wstawiając wartości i b obliczone z układu równań (29.5) do równania soczewki (29.2), otrzymuje się
równanie:
2 2 1
+� =�
d +� c d -� c f
f
skąd po przekształceniu otrzymuje się wyrażenie na ogniskową soczewki w postaci:
(d +� c)��(d -� c) 1 c2
��
f =� =� ��ć�d -�
�� ��
4d 4 d
Ł� ł�
d >� 4 f
Ponieważ , metodę tę można zastosować tylko wtedy, gdy .
c2 =� d(d -� 4 f ) >� 0
Rys. 1. Ilustracja pomiaru ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela.
C) Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej
Jak wynika z tabeli 29.1 soczewki rozpraszające tworzą obrazy pozorne, a więc takie, których nie można
uzyskać na ekranie. Wartość ogniskowej takich soczewek można wyznaczyć dwiema metodami. Cechą
wspólną tych metod jest utworzenie układu dwóch blisko położonych siebie soczewek rozpraszającej i
skupiającej, który to układ posiada właściwości soczewki skupiającej o odpowiednio zmodyfikowanej wartości
f fu
ogniskowej . Zdolność skupiająca układu dwóch blisko położonych siebie soczewek o ogniskowej jest
1 1 1
f1 f2 =� +�
równa sumie zdolności skupiających poszczególnych soczewek o ogniskowych i :
fu f1 f2
ĆWICZENIE 29
Optyka
f2
Równanie pozwala na obliczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej pod warunkiem, że wytworzony
fu �� f1
f1 <� f2 D1 >� D2 f2 =�
układ optyczny ma właściwości soczewki skupiającej, tzn. , czyli ( ):
f1 -� fu
f2 f1
Aby wyznaczyć należy uprzednio znać i zmierzyć . Można jednak postąpić w inny sposób.
Jeśli na drodze promieni świetlnych wychodzących z punktu A i skupionych w punkcie D za pomocą soczewki
skupiającej, której środek optyczny znajduje się w punkcie B (rys. 2), postawić soczewkę rozpraszającą o
środku optycznym w punkcie C w taki sposób, aby odległość CD byłaby mniejsza od jej ogniskowej, wówczas
rzeczywisty obraz punktu A oddali się od soczewki B do punktu E.
Rys. 2. Ilustracja pomiaru ogniskowej soczewki rozpraszającej.
Punkt D jest urojonym obrazem punktu E otrzymanym za pomocą soczewki rozpraszającej. Oznaczając
1 1 1
-� =� +�
odległość EC =� a , DC =� b otrzymuje się zgodnie z równaniem soczewki , gdzie b jest ujemne,
f a b
a ��b
f =�
bo obraz jest urojony, stąd .
a -� b
Przeprowadzenie pomiarów
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej dwoma metodami oraz ogniskowej
soczewki rozpraszającej.
A) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej
1. Umieścić na ławie optycznej pomiędzy ekranem a świecącym przedmiotem soczewkę skupiającą.
Wyznaczyć odległość od przedmiotu do ekranu. Oszacować niepewność maksymalną D�d wyznaczenia
odległości d.
2. Przesuwając soczewkę otrzymać na ekranie ostry powiększony obraz przedmiotu.
3. Czynności według punktu 2 powtórzyć 10 razy, za każdym razem dokonując niezależnego pomiaru a .
4. Czynności według punktu 2  3 powtórzyć dla ostrego obrazu pomniejszonego.
B) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metoda Bessela
1. Ustalić położenie ekranu względem świecącego przedmiotu tak, by przez przesuwanie soczewki skupiającej
uzyskać na ekranie obraz powiększony, a następnie pomniejszony.
2. Wyznaczyć odległość od przedmiotu do ekranu d . Oszacować niepewność maksymalna tego pomiaru.
Odległość ta pozostaje niezmienna dla wszystkich pomiarów w punktach 3 i 4.
ĆWICZENIE 29
Optyka
3. Regulując położeniem soczewki otrzymać na ekranie pomniejszony ostry obraz. Czynność tę powtórzyć 10
razy, za każdym razem notując położenie C (rys. 1) soczewki względem przedmiotu.
1
4. Regulując położeniem soczewki otrzymać na ekranie powiększony ostry obraz. Czynność tę powtórzyć 10
razy, za każdym razem notując położenie C (rys. 1) soczewki względem przedmiotu.
2
C) Wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej
1. Między przedmiotem i ekranem umieścić soczewkę skupiającą.
2. Przesuwając ekran otrzymać na nim ostry pomniejszony obraz świecącego przedmiotu. Odnotować
położenie ekranu (rys. 2, punkt D). Czynność tę powtórzyć 10 razy.
3. Między ekranem a soczewką skupiającą umieścić soczewkę rozpraszającą (blisko soczewki skupiającej).
Wyznaczyć położenie soczewki rozpraszającej (rys. 2, punkt C). Oszacować niepewność maksymalną tego
pomiaru.
4. Przesuwając ekran ponownie otrzymać ostry obraz (rys. 2, punkt E). Czynność tę powtórzyć 10 razy
notując za każdym razem położenie ekranu.
Opracowanie wyników pomiarów
A) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej
n
��ai
1. Dla obrazu powiększonego obliczyć średnia arytmetyczną odległości przedmiot - soczewka
oraz
i=�1
a =�
n
n
2
-� a)�
��(�ai
jego niepewność standardową u s� =� i=�1 u(�a)� .
(�a)�=� =�
a
(�n -�1)�n
n
D�d
u(�d)�=�
1. Ze wzoru
obliczyć niepewność standardową odległości d pomiędzy przedmiotem a ekranem
3
uwzględniając niepewność maksymalną oszacowaną podczas pomiarów.
a �� b a �� (d -� a)
f =� =�
2. Obliczyć wartość ogniskowej na podstawie wzoru .
a +� b d
3. Obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej w oparciu o prawo przenoszenia niepewności:
1
2
uc ( f ) =� (d -� 2a �� d)2u(a)2 +� a4u(d)2
. Która z niepewności pomiarowych wnosi największy wkład do
2
d
niepewności złożonej?
uc(� f )�
(� )�=�
4. Obliczyć niepewność złożoną względną wartości ogniskowej u f .
c,r
f
U(� f )�=� k ��uc(� f )�
5. Wyznaczyć zgodnie z zależnością niepewność rozszerzoną przyjmując do obliczeń
(� f ą�U(� f )�)�
współczynnik rozszerzenia k = 2. Sprawdzić relację przedziału z wartością tabelaryczną (o ile
jest znana) i wyciągnąć wnioski.
6. Obliczenia według punktów (1  5) powtórzyć dla pomiarów otrzymanych dla obrazu pomniejszonego.
ĆWICZENIE 29
Optyka
B) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metoda Bessela
1. Wyznaczyć średnie wartości położeń soczewki dla obrazu pomniejszonego C oraz obrazu powiększonego
1
n
2
-� c)�
��(�ci
C2 oraz ich niepewności standardowe korzystając ze wzoru u s� =� i=�1 u(�c)� .
(�c)�=� =�
c
(�n -�1)�n
n
c
2. Wyznaczyć średnią wartość przesunięcia soczewki jako różnicę pomiędzy średnimi położeniami C i C .
1 2
ć� ��
(d +� c)��(d -� c) 1 c2
�� ��
f =� =� ����d -�
3. Obliczyć ogniskową soczewki ze wzoru .
��
4d 4 d
Ł� ł�
u(�c1)�+� u(�c2)�
u(�c)�=�
2
4. Obliczyć niepewność standardową przesunięcia
jako sumę niepewności standardowych
położeń soczewek dla obrazów powiększonego i pomniejszonego obliczonych w punkcie 1. Która z
niepewności wnosi większy wkład do niepewności średniej?
D�d
u(�d)�=�
5. Ze wzoru
obliczyć niepewność standardową odległości d pomiędzy przedmiotem a ekranem
3
uwzględniając niepewność maksymalną oszacowaną podczas pomiarów.
6. W oparciu o prawo przenoszenia błędów obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej soczewki:
��
1 c2 ł� 4c2
uc ( f ) =� 1+� u(d)2 +� u(c)2
ę� ś� . Która z niepewności pomiarowych wnosi największy wkład do
2 2
4
d d
ę� ś�
�� ��
niepewności złożonej?
uc(� f )�
(� )�=�
7. Obliczyć niepewność złożoną względną wartości ogniskowej u f .
c,r
f
U(� f )�=� k ��uc(� f )�
8. Wyznaczyć zgodnie z zależnością niepewność rozszerzoną przyjmując do obliczeń
(� f ą�U(� f )�)�
współczynnik rozszerzenia k = 2. Sprawdzić relację przedziału z wartością tabelaryczną (o ile
jest znana) i wyciągnąć wnioski.
C) Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej
1. Obliczyć średnią wartość położenia punktu D, czyli położenia ekranu dla obrazu otrzymanego przy pomocy
soczewki skupiającej. Obliczyć odległość b =� DC , czyli różnicę pomiędzy położeniem ekranu a
położeniem soczewki rozpraszającej.
2. Obliczyć średnią wartość położenia punktu E, czyli położenia ekranu dla obrazu otrzymanego dla układu
soczewek skupiającej i rozpraszającej. Obliczyć odległość a =� EC , czyli różnicę pomiędzy położeniem
ekranu a położeniem soczewki rozpraszającej.
a ��b
f =�
3. Obliczyć ogniskową soczewki rozpraszającej na podstawie wzoru .
a -� b
n
-� x)�2
��(�xi
u(�x)�
i=�1
u(�x)�=� s� =� =�
x
(�n -�1)�n
n
4. Obliczyć niepewność standardową ze wzoru
wartości położenia punktu D
oraz wartości położenia punktu E.
ĆWICZENIE 29
Optyka
2 2
u(�c)� u(�c)�
2 2
a
5. Obliczyć niepewności standardowe odległości i b : oraz
u(�b)�=� u(�d)� +� u(�a)�=� u(�e)� +�
3 3
uwzględniając niepewności standardowe położenia punktów D i E oraz niepewność maksymalną określenia
położenia punktu C,
6. Obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej dla soczewki rozpraszającej ze wzoru na
1
b4u(b)2 +� a4u(a)2
przenoszenia niepewności: u ( f ) =� . Która z niepewności pomiarowych wnosi
c
(a -� b)2
największy wkład do niepewności złożonej?
U(� f )�=� k ��uc(� f )�
7. Wyznaczyć zgodnie z zależnością niepewność rozszerzoną przyjmując do obliczeń
(� f ą�U(� f )�)�
współczynnik rozszerzenia k = 2. Sprawdzić relację przedziału z wartością tabelaryczną (o ile
jest znana) i wyciągnąć wnioski.
Zestawić wyniki z punktów A), B) i C) wpisując je do tabeli według wzoru (2),
przeanalizować uzyskane rezultaty (w tym porównać średnią wartość ogniskowych f i f z wartością
1 2
ogniskowej f oraz przedziały wyznaczone przez te wartości z ich niepewnościami rozszerzonymi,
B
wyciągnąć wnioski.
Stwierdzić czy cel ćwiczenia:
�� wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej
�� wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej;
został osiągnięty.
Tabela 2. Ogniskowe soczewek wyznaczane różnymi metodami.
Soczew Obraz
u(a) u(d) uc ( f ) U ( f )
a d f
1
uc,r ( f )
ka powięk-
[cm] [cm] [cm]
[cm] [cm] [cm]
[cm]
skupiaj szony
ąca
obraz
u(d) uc ( f ) U ( f )
a d f
2
u(a) uc,r ( f )
[cm]
pomniej
[cm] [cm] [cm]
[cm] [cm]
[cm]
-szony
Metoda
u(c) u(d) uc ( f ) U ( f )
c d f
B
uc,r ( f )
Bessela
[cm] [cm] [cm]
[cm] [cm] [cm]
[cm]
u(b) u(a) uc ( f ) U ( f )
b =� DC a =� EC f
r
uc,r ( f )
[cm] [cm] [cm]
[cm] [cm] [cm]
[cm]
soczewka rozpraszająca
ĆWICZENIE 29
Optyka
Grupa & .......& ........................................................................................................................................................
3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych:
3.2 Należy potwierdzić na stanowisku wartości parametrów i ich niepewności:
3.3 Pomiary i uwagi do ich wykonania:
Punkt A Punkt B Punkt C
nr a d c c d c e d
1 2
[cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm] [cm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Niepewność
pomiaru
3.4 Data i podpis osoby prowadzącej.....................................................................................................................................