ĆWICZENIE 5
BADANIE DRGAC
UKA
ADU DWÓCH SPRZ
ŻONYCH WAHADEA

Opis układu pomiarowego
W skład układu służącego do badania zjawiska sprzężenia dwóch wahadeł wchodzą:
" dwa wahadła fizyczne, z których każde złożone jest z walca o masie m =2,33ą0,01 kg i
w
długości l =0,11ą0,01m oraz przytwierdzonego do niego i zaopatrzonego w podziałkę
w
milimetrową pręta o masie m =0,404ą0,01 kg i długości l =0,82ą0,01 m.
p p
W górnej części pręt posiada zawieszenie zrealizowane za pomocą metalowej krawędzi
pryzmatycznej,
" sprężyna sprzęgająca wahadła z możliwością zmiany jej punktu zamocowania,
" stoper do pomiaru czasu określonej liczby wahnięć.
Takie wahadło fizyczne do celów obliczeń można zamodelować wahadłem matematycznym o
masie równej sumie mas składników umieszczonej w środku ciężkości wahadła fizycznego.
ĆWICZENIE 5
Przebieg ćwiczenia
1.Zmierzyć czas 10 wahnięć pojedynczego wahadła bez sprzężenia. Pomiarów dokonać dla
obu wahadeł.
2.Dokonać sprzężenia wahadeł za pomocą sprężyny w odległości a = 20 cm od osi wahadeł.
3.Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje pierwsze drgania
normalne (zgodnie w fazie).
4.Zmierzyć czas 10 wahnięć jednego z wahadeł, gdy układ wykonuje drugie drganie
normalne ( przeciwnie w fazie).
5.Zmierzyć czas 2 dudnień, gdy układ jest sprzężony jak poprzednio zaś pobudzony do drgań
przez wychylenie tylko jednego z wahadeł (dudnienia).
6.Pomiary według punktów 3-5 powtórzyć dla zamocowań sprężyny a od 25 cm do 60 cm co
5 cm.
7.Ustalić wartości stałych i parametrów niezbędne do opracowania ćwiczenia.
Określić niepewności standardowe lub maksymalne wielkości mierzonych.
Opracowanie wyników pomiarów
1.WiedzÄ…c, że É = 2 Ä„ / T obliczyć É - okres drgaÅ„ wÅ‚asnych (bez sprzężenia) dla obu
o
wahadeł jako średnią z pomiarów oraz wyznaczyć ich niepewności standardowe bezwzględne
n
2
u(É )
(É - É )
" i 0
(É )
oraz wzglÄ™dne u = É 0 .
r 0
i= 1
u(É ) =
0 0
(n - 1) n
U(x) = k Å" u(x)
2.Wyznaczyć zgodnie z zależnością niepewności rozszerzone dla obu wartości
É przyjmujÄ…c do obliczeÅ„ współczynnik rozszerzenia k=2. Sprawdzić czy przedziaÅ‚y
o
É Ä… U(É )
nie są rozłączne. Uzasadnić, czy do dalszych analiz należy przyjąć średnią z obu
0 0
pomiarów, czy jeden z nich odrzucić.
É É
3.Obliczyć częstości drgań dla pierwszego i drugiego drgania normalnego oraz
1 2
dudnieÅ„ É d dla wszystkich stosowanych sprzężeÅ„ oraz ich niepewnoÅ›ci analogicznie do
punktu 1.
4.Sprawdzić, czy É zależy od sprzężenia postÄ™pujÄ…c analogicznie jak w punkcie 2 
1
sprawdzając czy odpowiednie przedziały nie są rozłączne. Wyciągnąć wnioski.
5.Sprawdzić relacjÄ™ É oraz É postÄ™pujÄ…c analogicznie jak w punkcie 2  sprawdzajÄ…c czy
1 o
odpowiednie przedziały nie są rozłączne. Wyciągnąć wnioski.
6.Sprawdzić sÅ‚uszność relacji teoretycznej É d = É 2 - É 1 postÄ™pujÄ…c analogicznie jak w
punkcie 2  sprawdzając czy odpowiednie przedziały nie są rozłączne. Wyciągnąć wnioski.
2
7.Wykonać wykres É = f (a2 ) , który teoretycznie powinien być liniÄ… prostÄ…. Przeprowadzić
2
aproksymację metodą najmniejszych kwadratów Gaussa prowadząc przez punkty pomiarowe
prostÄ… y = ax + b , gdzie :
ĆWICZENIE 5
n n n
n
xi yi - n (xi yi )
1 n
" " "
2
à = µ
" i
i= 1 i= 1 i= 1 a
2
a = n n
n - 2
i= 1 ëÅ‚ öÅ‚
2
n n
ëÅ‚ öÅ‚ n xi2 - ìÅ‚ ÷Å‚
xi
" "
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - n xi2
xi
" "
i= 1 íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚ i= 1
n n n n
n
xi xi yi - yi xi2 xi2
" " " "
"
n
1
i=1 i=1 i=1 i=1 2 i= 1
b = Ã = µ
" i
b
2 2
n n n n
n - 2
ëÅ‚ öÅ‚ i= 1 ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - n xi2 n xi2 - ìÅ‚ ÷Å‚
xi xi
" " " "
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ i=1 Å‚Å‚ i=1 i= 1 íÅ‚ i= 1 Å‚Å‚
n n n n
2
µ = yi2 - a xi yi - b yi .
oraz
" i " " "
i=1 i=1 i=1 i=1
8.Sprawdzić czy wartość pokrywa się w granicach błędu ze zmierzoną doświadczalnie
b
czÄ™stotliwoÅ›ciÄ… É postÄ™pujÄ…c analogicznie jak w punkcie 2  sprawdzajÄ…c czy odpowiednie
1
przedziały nie są rozłączne. Wyciągnąć wnioski.
m = mp + mw
9.Wyznaczyć masę wahadła matematycznego , jej niepewności złożoną
2
2
ëÅ‚
uc(m)
ëÅ‚
" m " m
ìÅ‚ ÷Å‚
uc,r(m) =
bezwzglÄ™dnÄ… ìÅ‚ ÷Å‚ oraz wzglÄ™dnÄ… .
uc(m) = u(mp )öÅ‚ + u(mw )öÅ‚
ìÅ‚
m
" mp ÷Å‚ ìÅ‚ " mw ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0,5 l mp + (0,5 lw + l ) mw
p p
10.Wyznaczyć długość wahadła matematycznego l = , jego
mp + mw
uc(l)
uc,r(l) =
niepewności złożoną względną oraz bezwzględną
l
2 2
2 2
ëÅ‚ ëÅ‚
ëÅ‚ ëÅ‚
" l " l " l " l
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ .
uc(l) = u(mp )öÅ‚ + u(mw )öÅ‚ + u(l )öÅ‚ + u(lw )öÅ‚
ìÅ‚
" mp ÷Å‚ ìÅ‚ " mw ÷Å‚ ìÅ‚ " lp p ÷Å‚ ìÅ‚ " lw ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
É - É
2 1 2
11.Wykorzystując uzyskane parametry wyznaczyć stałą sprężyny k = ml ,
2a2
uc(k)
uc,r(k) =
jej niepewność złożoną względną oraz bezwzględną
k
2 2
2 2
ëÅ‚ ëÅ‚
" k " k " k " k
ëÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ .
uc(k) = u(É )öÅ‚ + u(É )öÅ‚ + u(m)öÅ‚ + u(l)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" É " É " m " l
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ 1 Å‚Å‚ íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Zestawić wyniki, przeanalizować uzyskane rezultaty (także wykresy), wyciągnąć wnioski.
Stwierdzić czy cele ćwiczenia:
" wyznaczenie parametrów wahadła matematycznego;
" wyznaczenie sztywności sprężyny;
" potwierdzenie zależności teoretycznych wiążących częstości: pierwszego drgania
normalnego, drugiego drgania normalnego, dudnienia,
zostały osiągnięte.