Uzdevumi 10


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
10. nodarb%2łba
3x -1
1. piemrs. Atrast defin%2łcijas apgabalu funkcijai f (x) = 1- 2x + 3arcsin .
2
Pirmais saskaitmais ir defints, ja 1- 2x e" 0. Otrais saskaitmais ir defints, ja
3x -1
-1 d" d" 1, jo funkcijas sin x vrt%2łbu apgabals ir slgts intervls [-1;1], kura tpc ir
2
inverss funkcijas arcsin x defin%2łcijas apgabals. L%2łdz ar to dots funkcijas defin%2łcijas
apgabals ir iegkstams k neviend%2łbu sistmas
1- 2x e" 0
ż#
#
#-1 d" 3x -1 d" 1
#
# 2
atrisinjums. Atrisinsim ao sistmu:
1
ż#
1
ż# x d"
2x d" 1 #
ż#
#
x d"
2
! ! .
# # #
2
#- 2 d" 3x -1 d" 2 #-1 d" 3x d" 3 #- 1 d" x d" 1
#
# 3
1 1
Ą# ń#
Abas pdjs neviend%2łbas izpild%2łsies tad, ja x" ; , k tas ir pard%2łts 1. z%2łmjum.
ó#-
3 2Ą#
Ł# Ś#
- 1/3 1/2
1
1. z%2łm.
`is intervls ar%2ł ir dots funkcijas defin%2łcijas apgabals. Funkcijas grafiks ir pard%2łts
2.z%2łmjum.
10. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1
0.866
0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6
f(x)
1
2
- 3
3
- 0.32 x 0.5
2. z%2łm.
x
2. piemrs. Atrast defin%2łcijas apgabalu funkcijai f (x) = - sin x .
2 - x
`%2łs funkcijas defin%2łcijas apgabalu var iegkt, atrisinot neviend%2łbu sistmu
x
ż#
#
e" 0
.
# - x
2
#
sin x e" 0
#
Pirms neviend%2łbas skait%2łtjs ir 0, ja x = 0, bet saucjs ir 0, ja x = 2. Ac%2łm redzami, ka
da<a ir negat%2łva, ja x " (-";0) *" (2;") , bet pozit%2łva vai 0, ja x"[0;2).
+
2
0
3. z%2łm.
No funkcijas y = sin x %2łpaa%2łbm seko, ka t ir pozit%2łva vai 0, ja x "[2Ą n; 2Ą n + Ą ], n"Z.
Ttad, lai atrastu defin%2łcijas apgabalu, ir jatrod kop%2łgais apgabals intervliem
x "[0;2)
ż#
#x "[2Ą n; 2Ą n + Ą
].
#
10. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Ir redzams, ka kop%2łgais apgabals eksist tikai tad, ja n = 0, t.i, jatrod kop%2łgais apgabals
intervliem
x "[0;2)
ż#
#
]:
#x "[0;Ą
0
2
Ą
4. z%2łm.
`is kop%2łgais apgabals ir intervls x"[0;2). Tas ar%2ł ir dots funkcijas defin%2łcijas apgabals.
Funkcijas grafiks ir pard%2łts 5. z%2łmjum.
1
0.5
f( x)
0 0.5 1 1.5 2
0.5
x
5. z%2łm.
Nkoaaj uzdevum pard%2łts, k atrast funkcijas grafika krustpunktus ar
koordintu as%2łm. T k jebkur Oy ass punkt x = 0, tad funkcijas y = f(x) grafiks Oy asi
krusto punkt y = f(0). T k jebkur Ox ass punkt y = 0, tad funkcijas y = f(x) grafika
krustpunktus ar Ox asi atrod, atrisinot viendojumu f(x) = 0.
10. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
3. piemrs. Noteikt funkcijas f (x) = sin x + cos x krustpunktus ar koordintu as%2łm.
Apr7insim dots funkcijas vrt%2łbu punkt x = 0: f (0) = sin 0 + cos 0 = 0 +1 = 1.
Ttad rustpunkts ar Oy asi ir punkts (0; 1). Lai atrastu krustpunktus ar Ox asi, ir jatrisina
viendojums
sin x + cos x = 0 #: cos x
Ą
tg x + 1 = 0 ! tg x = -1 ! x = - + Ąn , n"Z.
4
Funkcijas grafiks ir pard%2łts 6. z%2łmjum.
2
1
f(x)
10 5 0510
1
2
x
6. z%2łm.
Da~reiz var rasties objekt%2łvas grkt%2łbas, atrodot krustpunktus ar Ox asi, jo nav
iespjams atrisint viendojumu f(x) = 0. Nkoaaj uzdevum ir pard%2łts, k ad
gad%2łjum aptuveni atrast ao krustpunktu.
4. piemrs. Noteikt funkcijas f (x) = 2- x - x grafika krustpunktu ar Ox asi.
Viendojumu 2- x - x = 0 nav iespjams prec%2łzi atrisint. Noteiksim intervlu, kur
atrodas viendojuma atrisinjums. Lai to izdar%2łtu, jatrod divas x vrt%2łbas x1 un x2, kuras
ir tdas, ka f(x1) un f(x2) z%2łmes ir ata7ir%2łgas. Mksu uzdevum f (0) = 20 - 0 = 1, bet
1
f (1) = 2-1 -1 = - . L%2łdz ar to grafika krustpunkts ar Ox asi atrodas intervl (0;1).
2
Tagad samazinsim intervlu, kur atrodas grafika krustpunkts ar Ox asi. Apr7insim
1
f(0.5) = 2-0.5 - 0.5 = - 0.5 H" 0.207 . T k f(0.5) > 0, bet f(1) < 0, tad grafiks Ox asi
2
10. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
krusto intervl (0.5;1). Tagad atrad%2łsim funkcijas vrt%2łbu intervla (0.5;1) viduspunkt.
H"
T ir f(0.75) = 2-0.75 - 0.75 -0.155. T k f(0.75) < 0 un f(0.5) > 0, tad krustpunkts
atrodas intervl (0.5; 0.75). Aptuvenais intervla viduspunkts ir x = 0.62. Apr7insim
H"
f(0.62) = 2-0.62 - 0.62 0.031. T k f(0.75) < 0 un f(0.62) > 0, tad krustpunkts atrodas
intervl (0.62; 0.75). Td veid turpinot, ir iespjams atrast funkcijas grafika
krustpunktu ar Ox asi ar jebkuru precizitti.
Jpiez%2łm, ka ad veid var atrast tikai vienu krustpunktu ar Ox asi, bet ir
iespjams, ka eksist ar%2ł citi krustpunkti. Ja tas ir t, tad ir jatrod cits intervls, kur
atrodas krustpunkts, un jr%2łkojas, k pard%2łts ieprieka. Apskatmajai funkcijai citu
krustpunktu ar Ox asi nav, jo ac%2łmredzams, ka f(x) < 0, ja x > 1, un f(x) > 0, ja x < 0.
Vien%2łgais krustpunkts atrodas intervl (0;1). Aprakst%2łto uzdevuma risinaanas metodi
sauc par bisekcijas metodi. Funkcijas f(x) = 2-x  x grafiks pard%2łts 7. z%2łmjum.
6
5
4
3
2
f(x) 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
x
7. z%2łm.
Nkoaaj uzdevum ir pard%2łts, k atrast parametriski uzdotas funkcijas grafika
krustpunktus ar koordintu as%2łm.
x = x(t)
ż#
Ja ir dota funkcija , tad, lai atrastu ts grafika krustpunktu ar Oy asi, r%2łkojas
#
#y = y(t)
adi:
" atrisina viendojumu x(t) = 0,
" ja viendojuma x(t) = 0 atrisinjums ir t = t1, tad grafiks krusto Oy asi punkt
y = y(t1).
Lai atrastu krustpunktus ar Ox asi, r%2łkojas adi:
" atrisina viendojumu y(t) = 0,
" ja viendojuma y(t) = 0 atrisinjums ir t = t2, tad grafiks krusto Ox asi punkt
x = x(t1), ja viendojumam y(t) = 0 ir vairki atrisinjumi, tad funkcijai ir
vairki krustpunkti ar Ox asi.
10. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
ż#
x = t3 +1
5. piemrs. Atrast funkcijas grafika krustpunktus ar koordintu as%2łm.
#
2
y = t
#
Krustpunkts ar Oy asi (x = 0).
t3 + 1 = 0 ! t3 = -1 ! t = -1. L%2łdz ar to y(-1) = (-1)2 = 1. Krustpunkts ar Oy asi ir
punkts (0;1).
Krustpunkts ar Ox asi (y = 0).
0 = t2 ! t = 0 un x(0) = 0 + 1 = 1. Krustpunkts ar Ox asi ir punkts (1;0).
Funkcijas grafiks ir pard%2łts 8. z%2łmjum.
5
6.712
3
1
y(t)
10 6 22 6 10
1
3
- 6.986
5
- 10 x(t) 10
8. z%2łm.
Parametriskais funkcijas uzdoaanas veids ir rts, lai aprakst%2łtu 7ermeFa kust%2łbu pa
sare~#%2łtu trajektoriju. Ja parametrs t ir laiks un (x(t),y(t)) ir punkta koordintas plakn
x = x(t)
ż#
laika moment t, tad funkcijas grafiks sakr%2łt ar 7ermeFa kust%2łbas trajektoriju
#
#y = y(t)
plakn.
10. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
3x2 + 4
6. piemrs. Noteikt, kda ir funkcija f (x) = + xtgx : pra vai nepra.
1- x6
Lai noteiktu, vai dot funkcija ir pra vai nepra, x viet ievietosim  x:
2
3(- x) + 4 3x2 + 4
f (- x) = + (- x)tg(- x) = + xtgx .
6
1- x6
1- (- x)
Eemot vr, ka tg(- x) = -tgx , ieguvm, ka f (- x) = f (x), ttad dot funkcija ir pra
funkcija.
7. piemrs. Noteikt, kda ir funkcija g(x) = 5x3 - x log2(x2 + 6): pra vai nepra.
Noteiksim g(- x) un sal%2łdzinsim ar doto funkciju:
3 2
g(- x) = 5 "(- x) - (- x)log2((- x) + 6)= -5x3 + x log2(x2 + 6)= -(5x3 - x log2(x2 + 6)).
T k g(- x) = -g(x), tad dot funkcija ir nepra funkcija.
8. piemrs. Noteikt, kda ir funkcija f (x) = 3x +1 - 2x : pra vai nepra.
Dotaj funkcij x viet ievietosim  x:
f (- x) = 3(- x)+1 - 2- x = 1- 3x - 2- x .
T k f (- x) `" f (x) un f (- x) `" - f (x), tad dot funkcija nav ne pra, ne nepra
funkcija.
9. piemrs. Noteikt funkcijas y = 3sin 5x periodu.
K zinms no skolas matemtikas kursa, funkcijas sin x periods ir T1 = 2Ą . T k
dotajai funkcijai sinusa arguments ir 5x, tad sinusa periods jizdala ar 5, t.i. dots
2Ą
funkcijas periods ir T = . Skaitlis 3 pirms sinusa funkcijas periodu neietekm, tas
5
palielina sinusa amplitkdu 3 reizes.
10. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
10. piemrs. Noteikt funkcijas y = 2cos 4x + ctg3x periodu.
Vispirms noteiksim periodu katram dots funkcijas saskaitmajam. T k cos x
2Ą Ą
periods ir 2Ą , tad funkcijas 2cos 4x periods ir T1 = = . ctgx periods ir Ą, ttad
4 2
Ą
funkcijas ctg3x periods ir T2 = . Dots funkcijas periods ir skait<u T1 un T2 mazkais
3
kop%2łgais dalmais, t.i. mazkais skaitlis, kas dals ar T1 un T2 veselos skait<os. `ds
skaitlis ir Ą, l%2łdz ar to ar%2ł dots funkcijas periods T = Ą .
x
11. piemrs. Noteikt funkcijas y = 3 - 2lg inverso funkciju, k ar%2ł abu funkciju
5
defin%2łciju apgabalus un vrt%2łbu kopas.
x
Dots funkcijas defin%2łcijas apgabals: > 0 ! x > 0 ! x "(0; + ");
5
vrt%2łbu kopa: y "(- "; + ").
y
Lai atrastu dots funkcijas inverso funkciju, x un y main%2łsim lomm, t.i. x = 3 - 2lg un
5
izteiksim y:
3-x 3-x
y y 3 - x y
2 2
2lg = 3 - x , lg = , = 10 , y = 5"10 .
5 5 2 5
Dots funkcijas defin%2łcijas apgabals k<kst par inverss funkcijas vrt%2łbu kopu un otrdi 
dots funkcijas vrt%2łbu kopa k<kst par inverss funkcijas defin%2łcijas apgabalu, ttad
inverss funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; + "), vrt%2łbu kopa - y "(0; + ").
12. piemrs. Noteikt funkcijas y = arccos 2x + 5 inverso funkciju, k ar%2ł abu funkciju
defin%2łciju apgabalus un vrt%2łbu kopas.
2x + 5 e" 0
ż#
Dots funkcijas defin%2łcijas apgabalu nosaka neviend%2łbas . T k
#
#-1 d" 2x + 5 d" 1
neviend%2łba -1 d" 2x + 5 izpilds jebkurai relai x vrt%2łbai, to varam atmest.
2x + 5 e" 0
ż#
Neviend%2łbas 2x + 5 d" 1 abas puses kpinsim kvadrt, iegksim ,
#
#2x + 5 d" 1
2x e"
ż# -5 x e" -2,5
ż#
. Ttad x "[- 2,5; - 2]. Dots funkcijas vrt%2łbu kopa sakr%2łt ar
#2x d" -4 , #
x d" -2
# #
funkcijas arccos x vrt%2łbu kopu, t.i. y "[0; Ą ].
10. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Noteiksim inverso funkciju:
x = arccos 2y + 5 ! 2y + 5 = cos x ! 2y + 5 = cos2 x ! 2y = cos2 x - 5
1
! y = (cos2 x - 5).
2
Pc dots funkcijas noteikt defin%2łcijas apgabala un vrt%2łbu kopas seko, ka inverss
funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "[0; Ą], vrt%2łbu kopa - y "[- 2,5; - 2].
13. piemrs. Izmantojot funkcijas y = x grafiku, uzz%2łmt funkciju y = x + 3 un
y = x + 3 grafikus.
Sal%2łdzinot ar funkcijas y = x grafiku, funkcijas y = x + 3 grafiks ir par 3 vien%2łbm
pab%2łd%2łts pa kreisi, bet funkcijas y = x + 3 grafiks  pa 3 vien%2łbm uz augau. 9.
z%2łmjum attlot sarkan l%2łnija ir funkcijas y = x grafiks, zil l%2łnija  funkcijas
y = x + 3 grafiks, sarkan l%2łnija  funkcijas y = x + 3 grafiks.
y
6
5
4
3
2
1
x
-2 2 4 6
9. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
14. piemrs. Izmantojot funkcijas y = cos x grafiku, uzz%2łmt funkciju y = cos 2x un
y = 2cos x grafikus.
Funkcijas y = cos 2x periods ir divreiz mazks nek funkcijas y = cos x periods, l%2łdz
ar to a%2łs funkcijas grafiks bks it k divreiz saspiests pa Ox asi. Funkcijas y = 2cos x
amplitkda ir divreiz lielka nek funkcijas y = cos x amplitkda, tpc ts grafiks bks it k
divreiz izstiepts pa Oy asi. 10. z%2łmjum ar sarkano l%2łniju attlots funkcijas y = cos x
grafiks, ar zilo l%2łniju  funkcijas y = cos 2x grafiks un ar za<o l%2łniju  funkcijas
y = 2cos x grafiks.
y
2
1
x
-6 -4 -2 2 4 6
-1
-2
10. z%2łm.
10. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 3
Uzdevumi 8
Uzdevumi 9
Uzdevumi 6
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi#
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi!
Uzdevumi

więcej podobnych podstron