Uzdevumi 8


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
8. nodarb%2łba
1. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums x2 + y2 + 8x - 6y = 0 .
Uzz%2łmt to.
Risinjums.
Doto viendojumu prveidosim kanonisk veid, sagrupjot saskaitmos pc
main%2łgajiem un papildinot l%2łdz pilnajam kvadrtam:
(x2 + 8x)+ (y2 - 6y)= 0
(x2 + 8x +16)+ (y2 - 6y + 9)-16 - 9 = 0
2 2
(x + 4) + (y - 3) = 25
Viendojums apraksta riF7a l%2łniju ar centru punkt C(- 4; 3) un rdiusu R = 5 . T ir
pard%2łta sekojoa z%2łmjum:
y
3
C
-4 O x
2. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums
4x2 + 9y2 -16x +18y -11 = 0 . Uzz%2łmt to.
Risinjums.
Doto viendojumu prveidosim kanonisk veid:
8. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
4(x2 - 4x)+ 9(y2 + 2y)-11 = 0
4(x2 - 4x + 4)+ 9(y2 + 2y +1)-11-16 - 9 = 0
2 2
4(x - 2) + 9(y +1) = 36
2 2
(x - 2) (y +1)
+ = 1
9 4
No kanonisk viendojuma redzam, ka dotais viendojums apraksta elipsi ar centru
punkt C(2; -1) un pusas%2łm a = 9 = 3 , b = 4 = 2 . T ir pard%2łta sekojoa z%2łmjum:
y
O 2
x
-1
3. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums
x2 - 4y2 + 6x + 8y + 21 = 0 . Uzz%2łmt to.
Risinjums.
Doto viendojumu prveidosim kanonisk veid:
(x2 + 6x)- 4(y2 - 2y)+ 21 = 0
(x2 + 6x + 9)- 4(y2 - 2y +1)+ 21- 9 + 4 = 0
2 2
(x + 3) - 4(y -1) = -16
2 2
(x + 3) (y -1)
- = -1
16 4
Dot l%2łnija ir saist%2łt hiperbola ar centru punkt C(- 3; 1), imaginro pusasi a = 4 un
relo pusasi b = 2 . T pard%2łta sekojoa z%2łmjum.
8. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
1
-3 O
x
4. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums y2 + 4x - 4y -16 = 0 .
Uzz%2łmt to.
Risinjums.
T k dotais viendojums tikai vienu no main%2łgajiem satur otraj pakp, tad uzreiz
varam pateikt, ka tas apraksta parabolu. Lai noteiktu parabolas virsotni un foklo
parametru, doto viendojumu prveidosim kanonisk veid:
(y2 - 4y)+ 4x -16 = 0
(y2 - 4y + 4)+ 4x -16 - 4 = 0
2
(y - 2) = -4x + 20
2
(y - 2) = -4(x - 5)
No viendojuma redzams, ka parabolas virsotne ir punkt C(5; 2), foklais parametrs
p = -2 (jo 2 p = -4 ). T k viendojums ir form y2 = 2 px un p < 0 , tad parabolas
zari iet pa kreisi. No parabolas virsotnes pa kreisi (uz to pusi, uz kuru iet zari) atliekam
p
= 1 vien%2łbu, no iegkt punkta uz augau un uz leju atliekam p = 2 vien%2łbas un
2
velkam parabolu no virsotnes caur diviem pdjiem iegktajiem punktiem, k pard%2łts
z%2łmjum:
8. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
2 v.
2
1 v.
2 v.
O 5 x
5. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums y = -5 - 8 - x2 + 2x .
Uzz%2łmt to.
Risinjums.
Prveidosim doto viendojumu. Vispirms skaitli -5 prnes%2łsim uz viendojuma kreiso
pusi:
y + 5 = - 8 - x2 + 2x .
T k izteiksme viendojuma labaj pus jebkurai x vrt%2łbai ir nepozit%2łva, tad tds pats
nosac%2łjums attiecinms ar%2ł uz izteiksmi viendojuma kreisaj pus, t.i.
y + 5 d" 0 jeb y d" -5 .
Tagad abas viendojuma puses kpinsim kvadrt:
2
2
(y + 5) = (- 8 - x2 + 2x)
2
(y + 5) = 8 - x2 + 2x
Izteiksmei viendojuma labaj pus atdal%2łsim pilno kvadrtu:
2
(y + 5) = -(x2 - 2x - 8)
2
(y + 5) = -(x2 - 2x +1- 9)
8. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2 2
(y + 5) = -(x -1) + 9
2 2
(x -1) + (y + 5) = 9
Esam ieguvuai riF7a l%2łnijas kanonisko viendojumu. Pdjais viendojums apraksta riF7a
l%2łniju ar centru punkt C(1; - 5) un rdiusu R = 9 = 3. Eemot vr nosac%2łjumu y d" -5 ,
dabksim mints riF7a l%2łnijas apakajo pusi:
y
O 1 x
-5 C
3
6. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums x = -1+ 21- y2 - 4y .
5
Uzz%2łmt to.
Risinjums.
Prveidosim doto viendojumu. Vispirms skaitli -1 prnes%2łsim uz viendojuma kreiso
pusi:
3
x +1 = 21- y2 - 4y .
5
T k izteiksme viendojuma labaj pus jebkurai y vrt%2łbai ir nenegat%2łva, tad tds pats
nosac%2łjums attiecinms ar%2ł uz izteiksmi viendojuma kreisaj pus, t.i.
x +1 e" 0 jeb x e" -1.
Abas viendojuma puses kpinsim kvadrt:
2
3
2 # ś#
(x +1) = 21- y2 - 4y
ś# ź#
5
# #
8. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
9
2
(x +1) = (21- y2 - 4y)
25
Izteiksmei viendojuma labaj pus atdal%2łsim pilno kvadrtu:
9
2
(x +1) = - (y2 + 4y - 21)
25
9
2
(x +1) = - (y2 + 4y + 4 - 25)
25
9 9
2 2
(x +1) = - (y + 2) - "(- 25)
25 25
9
2 2
(x +1) + (y + 2) = 9
25
Viendojuma abas puses izdal%2łsim ar 9:
2 2
(x +1) (y + 2)
+ = 1
9 25
Iegktais viendojums ir elipses kanoniskais viendojums. Elipses centrs ir punkt
C(-1; - 2), pusasis - a = 9 = 3 , b = 25 = 5. Eemot vr, ka x e" -1, iegksim mints
elipses labo pusi. T ir attlota sekojoa z%2łmjum:
y
O
-1 x
C -2
8. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
1
7. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums y = 2 + x2 - 9 . Uzz%2łmt
3
to.
Risinjums.
Prveidosim doto viendojumu. Vispirms skaitli 2 prnes%2łsim uz viendojuma kreiso
pusi:
1
y - 2 = x2 - 9 .
3
T k izteiksme viendojuma labaj pus jebkurai x vrt%2łbai ir nenegat%2łva, tad tds pats
nosac%2łjums attiecinms ar%2ł uz izteiksmi viendojuma kreisaj pus, t.i.
y - 2 e" 0 jeb y e" 2 .
Abas viendojuma puses kpinsim kvadrt:
2
1
2 # ś#
(y - 2) = x2 - 9
ś# ź#
3
# #
1
2
(y - 2) = (x2 - 9)
9
x2
2
(y - 2) = -1
9
x2
2
(y - 2) - = -1
9
2
x2 (y - 2)
- = 1
9 1
Iegktais viendojums ir hiperbolas kanoniskais viendojums. Hiperbolas centrs ir punkt
C(0; 2), rel pusass a = 9 = 3 , imaginr pusass b = 1 = 1. Eemot vr, ka y e" 2 ,
iegksim mints hiperbolas augajo pusi. T ir attlota sekojoa z%2łmjum:
8. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
2 C
O 1 x
8. piemrs. Noteikt, kda veida l%2łniju apraksta viendojums x = 1- 3y +12 . Uzz%2łmt
to.
Risinjums.
Prveidosim doto viendojumu. Vispirms skaitli 1 prnes%2łsim uz viendojuma kreiso
pusi:
x -1 = - 3y +12 .
T k izteiksme viendojuma labaj pus jebkurai y vrt%2łbai ir nepozit%2łva, tad tds pats
nosac%2łjums attiecinms ar%2ł uz izteiksmi viendojuma kreisaj pus, t.i.
x -1 d" 0 jeb x d" 1.
Abas viendojuma puses kpinsim kvadrt:
2
2
(x -1) = (- 3y +12)
2
(x -1) = 3y +12
Koeficientu pirms y viendojuma labaj pus iznes%2łsim pirms iekavm:
2
(x -1) = 3(y + 4)
Iegktais viendojums ir parabolas viendojums. Ts virsotne ir punkt C(1; - 4), foklais
3
parametrs p = = 1,5. T k viendojums ir form x2 = 2 py un p > 0 , tad parabolas
2
zari iet uz augau. No parabolas virsotnes uz augau (uz to pusi, uz kuru iet zari) atliekam
8. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
p 3 3
= vien%2łbas, no iegkt punkta pa kreisi atliekam p = vien%2łbas (Femot vr, ka
2 4 2
x d" 1) un velkam parabolas vienu zaru no virsotnes pdjo atlikto punktu, k pard%2łts
z%2łmjum:
y
O 1 x
-4
8. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 3
Uzdevumi 9
Uzdevumi 6
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi#
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi!
Uzdevumi

więcej podobnych podstron