Uzdevumi 18


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
18. nodarb%2łba
1. piemrs. Atrast prliekuma punktus un intervlus, kuros funkcijas
y = x4 -12x3 + 48x2 -110 grafiks ir izliekts un kuros ieliekts.
2 2
Vispirms atrad%2łsim prliekuma punktus, risinot viendojumu y = 0:
2
y = 4x3  36x2 + 96x ,
2 2
y = 12x2  72x + 96 = 0 x2  6x + 8 = 0 x1 = 2, x2 = 4.
Tdu main%2łg x vrt%2łbu, kuros funkcijas otrais atvasinjums neeksisttu, nav, ttad
atrastie x1 = 2, x2 = 4 ir vien%2łgie iespjamie pliekuma punkti. Lai prliecintos, ka tie
tieam ir prliekuma punkti, jprbauda, vai tajos mains funkcijas grafika liekums. Lai
to izdar%2łtu, aos punktus atz%2łmsim uz skait<u ass un atrod%2łsim funkcijas otr atvasinjuma
vrt%2łbas pa labi un pa kreisi no punktiem x1 = 2, x2 = 4:
x
2 4
Redzam, ka
2 2
y (0) = 96 > 0 , ttad funkcijas grafiks intervl (-ś; 2) ir ieliekts,
2 2
y (3) = -12 < 0, ttad funkcijas grafiks intervl (2; 4) ir izliekts,
2 2
y (5) = 30 > 0 , ttad funkcijas grafiks intervl (5; +ś) ir ieliekts.
Varam secint, ka punkti x1 = 2 , x2 = 4 tieam ir prliekuma punkti, jo tajos
mains funkcijas grafika liekums. Atrad%2łsim funkcijas vrt%2łbas prliekuma punktos:
y(2) = 24 -12 " 23 + 48 " 22 -110 = 16 - 96 +192 -110 = 2 ,
y(2) = 44 -12 " 43 + 48 " 42 -110 = 256 - 768 + 768 -110 = 146 .
Apkoposim iegktos rezulttus tabul:
x (-ś; 2) 2 (2; 4) 4 (4; +ś)
2 2
y
+ 0 - 0 +
y ieliekts 2 izliekts 146 ieliekts
Funkcijas y = x4 -12x3 + 48x2 -110 grafiks ir pard%2łts z%2łmjum:
18. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
200
150
100
50
x
-1 1 2 3 4 5
-50
-100
3
2. piemrs. Atrast prliekuma punktus un intervlus, kuros funkcijas y = 4x3 -12x
grafiks ir izliekts un kuros ieliekts.
2 2
Vispirms atrad%2łsim prliekuma punktus, risinot viendojumu y = 0 :
2 2
1 - -
3 3
2
y = (4x3 -12x) (12x2 -12)=(4x3 -12x) (x2 -1)" 4 ,
3
5 2
# 2 - ś# -
3 3
2 2
y = 4ś#- (4x3 -12x) ź#(12x2 -12)(x2 -1)+ (4x3 -12x) " 2x " 4 =
ś# ź#
3
# #
2 2
- 32(x2 -1) 8x - 32(x2 -1) + 8x(4x3 -12x)=
= + =
5 2 5
3 3 3
(4x3 -12x) (4x3 -12x) (4x3 -12x)
- 32x4 + 64x2 - 32 + 32x4 - 96x2 - 32x2 - 32 x2 +1
= = = -32" .
5 5 5
3 3 3
(4x3 -12x) (4x3 -12x) (4x3 -12x)
Redzam, ka neeksist tdas x vrt%2łbas, pie kurm funkcijas otrais atvasinjums k<kst
viends ar nulli, jo x2 + 1 +" 0. Ttad prliekuma punkti vartu bkt tikai pie tdiem x,
kuros funkcijas otrais atvasinjums nav defints. Funkcijas otrais atvasinjums nav
defints, ja
18. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
5
3
(4x3 -12x) = 0 ! 4x3  12x = 0 ! 4x(x2  3) = 0 ! x1 = - 3 , x2 = 0, x3 = 3 .
Pati funkcija visos aajos punktos ir definta.
Tagad noteiksim funkcijas otr atvasinjuma z%2łmi intervlos starp iespjamajiem
prliekuma punktiem:
x
0
- 3 3
" Intervls (-ś; - 3 )
5 160
2 2
Apr7inm y (-2) = -32 " = > 0 , ttad funkcijas grafiks intervl
5
3
32
(- 32 + 24)
(-ś; - 3 ) ir ieliekts.
" Intervls ( - 3 ; 0)
5 64
2 2
Apr7inm y (-1) = -32" = - = -2 < 0 , ttad funkcijas grafiks intervl
5
3
32
(- 4 +12)
( - 3 ; 0) ir izliekts.
" Intervls (0; 3)
2 64
2 2
Apr7inm y (1) = -32" = - = 2 > 0 , ttad funkcijas grafiks intervl
5
3
(4 -12)- 32
(0; 3 ) ir ieliekts.
" Intervls ( 3 ; +ś)
5 160
2 2
Apr7inm y (2) = -32" = - < 0 , ttad funkcijas grafiks intervl
5
3
32
(32 - 24)
( 3 ; +ś) ir izliekts.
Atrad%2łsim funkcijas vrt%2łbas intervlu galapunktos:
3
3 3
y(- 3)= 4(- 3) +12 3 = -12 3 +12 3 = 0 ,
3
y(0) = 4 " 03 -12 " 0 = 0,
3
3 3
y( 3)= 4( 3) - 2 3 = 12 3 -12 3 = 0 .
18. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Tagad iegktos rezulttus apkoposim tabul:
x 0
(-ś; - 3 ) - 3 ( - 3 ;0) (0; 3 ) 3 ( 3 ;+ś)
2 2
y
+  + 
y ieliekts 0 izliekts 0 ieliekts 0 izliekts
Redzam, ka, t k punktos x1 = - 3 , x2 = 0, x3 = 3 funkcijas grafika liekums mains,
3
tie ir prliekuma punkti. Funkcijas y = 4x3 -12x grafiks ir pard%2łts z%2łmjum.
4
3
2
1
3
4"x3-12"x
3 2.25 1.5 0.75 0 0.75 1.5 2.25 3
1
2
3
4
x
Zim. 2.
3. piemrs. Noteikt funkcijas y = x4(12ln x - 7) prliekuma punktus, ieliekuma un
izliekuma intervlus.
Dots funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(0; + "), jo logaritms eksist tikai no
pozit%2łviem skait<iem. Noteiksim funkcijas otrs krtas atvasinjumu:
1
2
y = 4x3(12ln x - 7)+ x4 "12 " = 48x3 ln x - 28x3 +12x3 = 48x3 ln x -16x3 ;
x
1
2 2
y = 144x2 ln x + 48x3 " - 48x2 = 144x2 ln x + 48x2 - 48x2 = 144x2 ln x .
x
Otrs krtas atvasinjumu piel%2łdzinsim nullei un noteiksim otrs krtas kritiskos
punktus:
18. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
144x2 ln x = 0 ! x = 0 vai ln x = 0 .
T k punkts x = 0 nepieder funkcijas defin%2łcijas apgabalam, tad
ln x = 0 , x = 1.
`is punkts ir vien%2łgais otrs krtas kritiskais punkts. Atz%2łmsim to uz skait<u ass un
noteiksim otrs krtas atvasinjuma z%2łmi iegktajos intervlos:
funkcija nav definta
x
0 1
y(1) = 14 "(12ln1- 7) = 12 " 0 - 7 = -7 .
Ttad funkcijas grafiks ir izliekts, ja x "(0; 1); ieliekts, ja x "(1; + "); un funkcijas
grafika prliekuma punkts ir (1; - 7).
Funkcijas grafiks pard%2łts z%2łmjum:
y
10
5
x
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
-5
-10
4. piemrs. Atrast funkcijas y = x - sin x prliekuma punktus un intervlus, kuros
funkcijas grafiks ir ieliekts un kuros ir izliekts.
2 2
Lai to izdar%2łtu, vispirms atrisinsim viendojumu y = 0 . Atrad%2łsim funkcijas
y = x - sin x otro atvasinjumu:
2
y = 1- cos x ,
2 2
y = sin x = 0 x = Ą n , nS Z.
18. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y(Ą n) = Ą n - sin(Ą n) = Ą n .
T k nav tdu punktu, kuros funkcijas pirmais atvasinjums neeksisttu, tad prliekuma
punkti vartu bkt tikai punktos (Ą n; Ą n), nS Z.
Ievrosim, ka pati funkcija y = x - sin x nav periodiska, bet ts otrais
2 2
atvasinjums y = sin x ir periodiska funkcija ar periodu 2Ą . T k prliekuma punktu
eksistenci nosaka tikai otr atvasinjuma vrt%2łbas, tad varam apskat%2łt tikai vienu periodu.
Apskat%2łsim intervlu x "[0; 2Ą ], kura sakr%2łt ar funkcijas otr atvasinjuma vienu
periodu. `aj intervl atrodas tr%2łs punkti, kuri vartu bkt ptliekuma punkti. Tie ir (0; 0),
(Ą ; Ą ) un (2Ą ; 2Ą ). Apskat%2łsim katru no aiem punktiem atsevia7i un noteiksim funkcijas
otr atvasinjuma z%2łmes ao punktu apkrtn:
1. Punkts (0; 0).
PieFemsim, ka  > 0 ir mazs skaitlis. Tad
2 2 2 2 2 2 2 2
y (0 -  )= y (- )=sin(-  )< 0 , y (0 + )= y ( )= sin()> 0 .
T k punkt (0; 0) funkcijas otrais atvasinjums maina z%2łmi, tad aaj punkt
funkcijas grafikam ir prliekuma punkts. Pa kreisi no a%2ł punkta funkcijas grafiks ir
izliekts, pa labi ieliekts.
2. Punkts (Ą ; Ą ).
2 2 2 2
y (Ą -)=sin(Ą - )= sin > 0 , y (Ą + )=sin(Ą +  )= -sin < 0 .
Ar%2ł punkt (Ą ; Ą ) funkcijas otrais atvasinjums maina z%2łmi, un aaj punkt
funkcijas grafikam ir prliekuma punkts. Pa kreisi no a%2ł punkta funkcijas grafiks ir
ieliekts, pa labi izliekts.
3. Punkts (2Ą ; 2Ą ).
`o punktu varam neapskat%2łt funkcijas otr atvasinjuma periodiskuma d<.
Funkcijas otrais atvasinjums punkta (2Ą ; 2Ą ) apkrtn sakr%2łt ar funkcijas otro
atvasinjumu punkta (0; 0) apkrtn.
Iegktos rezulttus apkopojot iegkstam:
" prliekuma punkti ir (Ą n; Ą n), nS Z,
" intervlos (2Ą n; Ą + 2Ą n), nS Z funkcijas grafiks ir ieliekts,
" intervlos (Ą + 2Ą n; 2Ą + 2Ą n) = (Ą + 2Ą n; 2Ą(n +1)), nS Z funkcijas
grafiks ir izliekts.
Funkcijas grafiks ir pard%2łts z%2łmjum:
18. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
10
7.5
5
2.5
x
-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-2.5
-5
-7.5
-10
2x - 3x2
5. piemrs. Noteikt funkcijas y = grafika asimptotas.
x +1
Dotajai funkcijai ir viens prtraukuma punkts x = -1. Apr7insim vienpusjs robe~as
un noteiksim prtrukuma veidu:
2
2x - 3x2 2 "(-1)- 3"(-1) - 5
lim = = = -" ,
x-1+0
x +1 -1+ 0 +1 + 0
2
2x - 3x2 2 "(-1)- 3"(-1) - 5
lim = = = +" .
x-1-0
x +1 -1- 0 +1 - 0
Punkts x = -1 ir otr veida prtrukuma punkts, l%2łdz ar to taisne x = -1 ir dots funkcijas
grafika vertikl asimptota.
Noteiksim sl%2łps asimptotas. T k dot funkcija ir da<veida racionla funkcija,
robe~as, kad x +" un x -" sakrit%2łs:
18. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2x - 3x2 2
- 3
f (x) x(2 - 3x) 2 - 3x "
# ś#
x +1 x
k = lim = lim = lim = lim = = lim = -3;
ś# ź#
xą" xą" xą" xą" xą"
1
x x (x +1)x x +1 "
# #
1+
x
# - 3x2 ź# 2x - 3x2 + 3x2 + 3x 5x "
ś#
2x
# ś#
b = lim ( f (x)- kx) = lim ś# + 3xź# = lim = lim = =
ś# ź#
ś#
xą" xą" xą" xą"
x +1 x +1 x +1 "
# #
# #
5
= lim = 5 .
xą"
1
1+
x
Ievietojot a%2łs vrt%2łbas taisnes viendojum y = kx + b , iegksim sl%2łps asimptotas
viendojumu y = -3x + 5 . Funkcijas grafiks (sarkan l%2łnija) un t asimptotas (zils
l%2łnijas) pard%2łtas z%2łmjum:
y
30
20
10
x
-4 -2 2 4
-10
-20
6. piemrs. Noteikt funkcijas y = (x + 2)e- x grafika asimptotas.
T k dot funkcija ir neprtraukta, ts grafikam nav vertiklu asimptotu. Noteiksim
sl%2łps asimptotas:
(x + 2)e- x 2
#1+ ś#e-x
k1 = lim = lim = 1" 0 = 0 ;
ś# ź#
x+" x+"
x x
# #
18. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
x + 2 "
# ś#
b1 = lim((x + 2)e-x - 0x)= lim (x + 2)e-x = (" " 0) = lim = = [pielietosim
ś# ź#
x+" x+" x+"
ex "
# #
1
Lopitla krtulu] = lim = 0 ;
x+"
ex
(x + 2)e- x 2
#1+ ś#e-x
k2 = lim = lim = 1" " = " .
ś# ź#
x-" x-"
x x
# #
Ttad dots funkcijas grafikam ir asimptota y = 0 , kad x +" , un nav asimptotas, kad
x -" . Dots funkcijas grafiks pard%2łts z%2łmjum:
y
10
x
-4 -2 2 4
-10
-20
-30
-40
-50
x3
7. piemrs. Noteikt funkcijas y = grafika asimptotas.
x - 2
Vispirms meklsim vertikls asimptotas. Lai to izdar%2łtu, noteiksim funkcijas
x3
defin%2łcijas apgabalu. Funkcija ir definta, ja izpilds neviend%2łba e" 0 , turklt x +" 2.
x - 2
x3
Main%2łg x z%2łme sakr%2łt ar x3 z%2łmi, tpc apskatm neviend%2łbai e" 0 ekvivalentu
x - 2
x
neviend%2łbu e" 0 . Ts grafiskais atrisinjums pard%2łts z%2łmjum:
x - 2
18. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
+ +
0 2 x
Ttad funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; 0]*" (2; + "). Vertikl asimptota
var bkt tikai uz defin%2łcijas apgabala robe~as. Pie x = 0 nevar bkt vertikl asimptota, jo
funkcija ir definta pie x = 0.
Apskat%2łsim robe~u no labs puses, kad x 2 (robe~a no kreiss puses neeksist):
ś#
x3 # 8
ś# ź#
lim = = " .
ś# ź#
x2+0
x - 2 2 + 0 - 2
# #
Punkts x = 2 ir dots funkcijas otr veida prtraukuma punkts, ttad taisne x = 2 ir
funkcijas grafika vertikl asimptota.
f (x)
Atgdinsim, ka sl%2łp asimptota ir taisne y = kx + b , kur k = lim un
x"
x
b = lim( f (x)- kx). `aj gad%2łjum
x"
x3
x3 " 1 1
# ś#
x - 2
k1 = lim = lim = = lim = = 1,
ś# ź#
x+" x+" x+"
2
x x2(x - 2) " 1- 0
# #
1-
x
# #
x3 ś# 1 x3 ś#
ś#
b1 = lim - xź# = (" - ") = lim xś# -1ź# =
x+"ś# ź# x+" ś# ź#
x - 2 x x - 2
# # # #
#
# ś#
x3 ś# x
= lim xś# -1ź# = lim xś# -1ź# = (" " 0) =
ź#
x+" ś#
(x - 2)x2 ź# x+" ś# x - 2
# #
# #
1 x - 2 - x
"
2
x x (x - 2)
-1 2 "
0
# ś#
x - 2 x - 2
= lim = = [pielieto Lopitla krtulu] = lim =
ś# ź#
x+" x+"
1 1
0
# #
-
x x2
# ś#
x - 2 1
ś#-
ź#
2
ś# ź#
x
(x - 2)
x - 2 2
# #
= lim = [t k lim = lim 1- = 1] =
x+" x+" x+"
1
x x
-
x2
18. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
# ś#
2 2
ś# ź#
x2 x 1 1
# ś# # ś#
ś# ź#
= lim = lim = lim = = 1.
ś# ź# ś# ź#
2
x+" x+" x+"
x - 2 ś#1- 2 ź#
(x - 2) # # #1- 0 #
ś# ź#
# x #
Ttad sl%2łp asimptota, kad x +" , ir y = x + 1.
Tagad meklsim sl%2łpo asimptotu, kad x -" :
x3
# ś#
x - 2
ś#- x3 ź# =
k2 = lim = [ievrojot to, ka x < 0] = lim
x-" x-"ś# ź#
x x2(x - 2)
# #
x3 " 1
# ś#
= - lim = = - lim = -1.
ś# ź#
x-" x-"
2
x3 - 2x2 "
# #
1-
x
# #
x3 ś# 1 x3 ś#
ś#
b2 = lim + xź# = (" - ") = lim xś# +1ź# = [ievrojot to, ka x < 0] =
x-"ś# ź# x-" ś# ź#
x - 2 x x - 2
# # # #
#
# ś#
x3 ś# x
ź#
= lim xś#- +1ź# = lim xś#1- = (" " 0) =
ź#
x-" ś#
(x - 2)x2 ź# x-" ś# x - 2
# #
# #
1 x - 2 - x
- "
2
x x (x - 2)
1- 2 "
0
# ś#
x - 2 x - 2
= lim = = [pielieto Lopitla krtulu] = lim =
ś# ź#
x-" x-"
1 1
0
# #
-
x x2
# ś#
x - 2 1
ś#-
ź#
2
ś# ź#
x
(x - 2)
x - 2 2
# #
= - lim = [t k lim = lim 1- = 1]=
x-" x-" x-"
1
x x
-
x2
2
# ś#
2
ś# ź#
x2 x 1
# ś#
ś# ź#
 = - lim = - lim = = -1.
ś# ź# - lim
2
x-" x-" x-"
x - 2 ś#1- 2 ź#
(x - 2) # #
ś# ź#
# x #
Ttad sl%2łp asimptota, kad x -" , ir y =  x  1.
18. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
x3
Funkcijas y = grafiks (sarkan l%2łnija) un t asimptotas (zils l%2łnijas) pard%2łtas
x - 2
z%2łmjum:
y
14
12
10
8
6
4
2
x
-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
sin x
8. piemrs. Atrast asimptotas funkcijas y = x + grafikam.
x
Funkcijas defin%2łcijas apgabals ir x "(- "; 0)*" (0; + "). T k funkcijas vertikl
asimptota var bkt tikai uz funkcijas defin%2łcijas apgabala robe~as, atrad%2łsim funkcijas
vienpusjs robe~as, kad x 0 . Iegksim
sin x
ś#
lim# x + = [ievrojot pirmo ievrojamo robe~u] = 0 + 1 = 1.
ś# ź#
x+0
x
# #
sin x
ś#
lim# x + = [ievrojot pirmo ievrojamo robe~u] = 0 + 1 = 1.
ś# ź#
x-0
x
# #
Secinm, ka punkts x = 0 ir funkcijas novraamais prtraukuma punkts un funkcijas
grafikam vertikls asimptotas nav.
Tagad atrad%2łsim funkcijas grafika sl%2łps asimptotas.
18. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
sin x
f (x) = lim x + x = lim ś# sin x
#1+ ś#
k1 = lim = [t k sin x ir ierobe~ota funkcija] =
ź#
x+" x+" x+"
x x x2
# #
=1+ 0 = 1,
sin x sin x
#
b1 = lim ( f (x)- kx) = lim x + - xś# = lim = 0 .
ś# ź#
x+" x+" x+"
x x
# #
sin x
Ttad funkcijas y = x + grafika sl%2łp asimptota, kad x +" , ir taisne y = x.
x
Ir ac%2łm redzams, ka tad, ja x -" ieprieka apskat%2łts robe~as nemains. Tpc
ar%2ł pie x -" funkcijas grafika sl%2łp asimptota ir y = x. Funkcijas grafiks un t
asimptota ir pard%2łti z%2łmjum. Redzam, ka funkcijas grafiks krusto asimptotu, tai
neierobe~oti tuvojoties.
y
10
7.5
5
2.5
x
-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10
-2.5
-5
-7.5
-10
18. nodarb%2łba. 13. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 3
Uzdevumi 8
Uzdevumi 9
Uzdevumi 6
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi#
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi!
Uzdevumi

więcej podobnych podstron