Uzdevumi 17


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
17. nodarb%2łba
1. piemrs. Noteikt funkcijas y = x 1- x2 monotonittes intervlus.
Vispirms noteiksim dots funkcijas defin%2łcijas apgabalu:
1- x2 e" 0 ! x2 d" 1 ! x d" 1 ! -1 d" x d" 1.
Atvasinsim doto funkciju:
2
1 1 1
# ś# 1 - x2
2 2 2
2
y = ś# x "(1- x2) ź# = (1- x2) + x " (1- x2) "(- 2x) = 1- x2 - =
ś# ź#
2
# # 1- x2
1- x2 - x2 1- 2x2
= = .
1- x2 1- x2
Atvasinjumu piel%2łdzinsim nullei un noteiksim kritiskos punktus:
1 1
ż#x2 = ż#x = ą
ż#
1- 2x2 1- 2x2 = 0
# #
= 0 ! ! !
# # 2 #
2
1- x2 `" 0
1- x2
#
# #
x2 `" 1 x `" ą1
# #
Kritiskos punktus atz%2łmsim uz skait<u ass un noteiksim atvasinjuma z%2łmi iegktajos
intervlos:
funkcija nav definta funkcija nav definta
x
1 1
-1 1
-
2 2
# 1 1 ś#
No z%2łmjuma redzams, ka funkcija aug, ja x " ś#- ; ź# , dilst, ja
2 2
# #
# 1 ś# # 1 ś#
x " ś#-1; - ź# *" ś# ; 1ź# .
2 2
# # # #
Dots funkcijas grafiks redzams nkoaaj z%2łmjum:
17. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
0.4
0.2
x
-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1
-0.2
-0.4
2. piemrs. Noteikt funkcijas y = x - ex monotonittes intervlus.
Funkcija ir definta visiem reliem skait<iem. Ts atvasinjums
2
y = 1- ex .
Noteiksim kritiskos punktus:
1- ex = 0 , ex = 1, ex = e0 , x = 0 .
Dotajai funkcijai ir viens vien%2łgs kritiskais punkts x = 0. Atz%2łmsim to uz skait<u ass un
noteiksim atvasinjuma z%2łmi iegktajos intervlos:
x
0
Ttad funkcija aug, ja x "(- "; 0), dilst, ja x "(0; + ").
Dots funkcijas grafiks redzams nkoaaj z%2łmjum:
y
x
-4 -2 2 4
-1
-2
-3
-4
-5
17. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
x2 -1
3. piemrs. Pierd%2łt, ka funkcija y = aug jebkur intervl, kas nesatur punktu
x
x = 0.
Atcersimies, ka, ja funkcija kd intervl aug, ts atvasinjums aaj intervl ir
x2 -1
visur pozit%2łvs. Ttad mums ir jpierda, ka funkcijas y = pirmais atvasinjums ir
x
pozit%2łvs pie jebkura x, atskaitot x = 0. Atrad%2łsim funkcijas atvasinjumu:
2x " x -(x2 -1)= 2x2 - x2 +1 x2 +1
2
y = = .
x2 x2 x2
x2 +1 x2 -1
Un tieam > 0 visiem x, kas apmierina nosac%2łjumu x `" 0 . Funkcijas y =
x2 x
grafiks ir pard%2łts z%2łmjum:
y
4
2
x
-4 -2 2 4
-2
-4
17. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
4. piemrs. Atrast funkcijas y = x 2 - x2 ekstrmus.
Atrad%2łsim funkcijas defin%2łcijas apgabalu. T k jizpilds 2 - x2 e" 0 , tad, no
2 - x2 = 0 iegkstot x1=  2 un x2= 2 , izmantojot nkoao z%2łmjumu, secinm, ka
x "[- 2; 2].
x
- 2 2
Atrad%2łsim funkcijas pirmo atvasinjumu
- 2x 2 - x2 - x2 1- x2
2
y = 2 - x2 + x " = = 2 " .
2 2 - x2 2 - x2 2 - x2
Tagad noteiksim funkcijas kritiskos punktus. Atcersimies, ka tie ir punkti, kuros:
2
" y = 0 vai
2
" y neeksist.
Mksu gad%2łjum:
2
" y = 0 ! 1  x2 = 0 ! x1 =  1 , x2 = 1;
2
" y neeksist ! 2  x2 = 0, x3 =  2 , x4 = 2 .
Punkti x3=  2 , x4 = 2 nevar bkt ekstrma punkti, t k atrodas uz defin%2łcijas apgabala
robe~m. Atliek prbaud%2łt punktus x1 =  1, x2 = 1. Atliksim tos uz skait<u ass un noteiksim
atvasinjuma z%2łmes:
funkcija nav definta funkcija nav definta
x
-1 1
- 2 2
Redzam, ka punkts x = 1 ir maksimuma punkts un punkts x =  1 ir minimuma punkts.
Apr7insim funkcijas vrt%2łbu aajos punktos:
2
y(-1) = -1" 2 - (-1) = -1" 1 = -1, y(1) = 1" 2 -12 = 1" 1 = 1.
Ttad ymin( 1) =  1, ymax(1) = 1. Funkcijas y = x 2 - x2 grafiks pard%2łts z%2łmjum.
17. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
1
0.5
x
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-0.5
-1
x
5. piemrs. Noteikt funkcijas y = ekstrmus un monotonittes intervlus.
ln x
Vispirms noteiksim dots funkcijas defin%2łcijas apgabalu:
x > 0 x > 0
ż# ż#
! ! x "(0; 1)*" (1; + ").
# #
x `" 1
#ln x `" 0 #
Atvasinsim doto funkciju:
1
1" ln x - x "
ln x -1
x
2
y = = .
ln2 x ln2 x
Noteiksim kritiskos punktus:
ln x
ż# ż#
ln x -1 ż# -1 = 0 ln x = 1 x = e
= 0 ! !
# #ln x `" 0 ! #x `" 1
ln2 x ln2 x `" 0
# # #
Ttad funkcijai ir 2 kritiskie punkti x = 1 un x = e . Atz%2łmsim tos uz skait<u ass un
noteiksim atvasinjuma z%2łmi kritiskajos punktos:
funkcija nav definta
x
01e
K redzam no z%2łmjuma funkcija dilst, ja x "(0; 1)*" (1; e), aug, ja x "(e; + "), un tai ir
e e
minimums punkt x = e . Apr7insim minimumu: ymin (e) = = = e .
ln e 1
17. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Funkcijas grafiks pard%2łts sekojoa z%2łmjum.
y
5
4
3
2
1
x
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
1
6. piemrs. Noteikt funkcijas y = arctg x - ln(1+ x2) ekstrmus un monotonittes
2
intervlus.
Dots funkcijas atvasinjums:
1 1 1 1- x
2
y = - " " 2x = .
1+ x2 2 1+ x2 1+ x2
Noteiksim kritiskos punktus:
1- x
= 0 .
1+ x2
T k jebkurai relai x vrt%2łbai 1+ x2 `" 0 , tad
1- x = 0, x = 1.
17. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Tas ir vien%2łgais kritiskais punkts. Noteiksim, vai tas ir ekstrms.
x
1
No z%2łmjuma redzams, ka funkcija aug, ja x "(- "; 1); dilst, ja x "(1; + "). Funkcijai ir
1 Ą 1
viens ekstrms  maksimums ymax(1) = arctg1- ln(1+12)= - ln 2 . Tas redzams ar%2ł no
2 4 2
funkcijas grafika.
y
2
1
x
-4 -2 2 4 6
-1
-2
-3
-4
7. piemrs. Atrast funkcijas y = x - 2 x vislielko un vismazko vrt%2łbu slgt intervl
[0; 4].
Atcersimies, ka, ja funkcija ir neprtraukta slgt intervl, tad t savu vislielko
un vismazko vrt%2łbu aaj intervl sasniedz vai nu intervla galapunktos vai intervla
iekaien esoaajos ekstrmu punktos. Funkcija y = x - 2 x ir neprtraukta intervl [0;4].
Vispirms atrad%2łsim kritiskos punktus:
1 1 x -1
2
y =1- ! 1- = 0 ! = 0 ! x -1 = 0 ! x = 1.
x x x
Vl viens kritiskais punkts ir x = 0, jo aaj punkt funkcijas pirmais atvasinjums neeksist.
Ttad funkcijas vislielko un vismazko vrt%2łbu intervl [0; 4] iegksim, sal%2łdzinot
funkcijas vrt%2łbas y(0), y(1) un y(4). Iegkstam
y(0) = 0 - 2 0 = 0 , y(1) = 1- 2 1 = -1, y(4) = 4 - 2 4 = 0 .
Redzam, ka funkcijas vismazk vrt%2łba intervl [0; 4] ir punkt x = 1, un t ir vienda ar
 1, bet vislielk vrt%2łba ir punktos x = 0 un x = 4, un t ir vienda ar 0. Funkcijas
y = x - 2 x grafiks ir pard%2łts z%2łmjum.
17. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
0.5
0.25
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.25
-0.5
-0.75
-1
-1.25
-1.5
8. piemrs. Atrast funkcijas y = -3x4 + 6x2 vislielko un vismazko vrt%2łbu slgt
intervl [- 2; 2].
Atvasinsim funkciju un noteiksim kritiskos punktus:
2
y = -12x3 +12x , -12x3 +12x = 0 , -12x(x2 -1)= 0 , x = 0, x = ą1.
Ttad dotajai funkcijai ir 3 kritiskie punkti un tie visi atrodas intervl [- 2; 2]. Noteiksim
funkcijas vrt%2łbu aajos punktos:
4 2
y(0) = -3" 04 + 6 " 02 = 0 , y(1) = -3"14 + 6 "12 = 3 , y(-1) = -3"(-1) + 6 "(-1) = 3 .
Funkcijas vrt%2łba intervla galapunktos:
4 2
y(- 2) = -3"(- 2) + 6 "(- 2) = -24 , y(2) = -3" 24 + 6 " 22 = -24 .
Ttad dots funkcijas vislielk vrt%2łba ir y(-1) = y(1) = 3, vismazk vrt%2łba -
y(- 2) = y(2) = -24 .
Funkcijas grafiks pard%2łts z%2łmjum:
y
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-5
-10
-15
-20
17. nodarb%2łba. 8. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
3
9. piemrs. Atrast funkcijas y = (x2 - 2x) vislielko un vismazko vrt%2łbu slgt
intervl [0; 3].
Atvasinsim doto funkciju un noteiksim kritiskos punktus:
2
2 1
# ś# 2 - 4(x -1)
3 3
2
y = ś#(x2 - 2x) ź# = (x2 - 2x) "(2x - 2) = .
ś# ź#
3
# # 33 x2 - 2x
4(x
ż#
4(x -1) ż# -1) = 0 x = 1
= 0 !
#33 x2 2x `" 0 ! #x `" 0, x `" 2
-
33 x2 - 2x # #
Funkcijai ir 3 kritiskie punkti. T k visi aie punkti atrodas intervl [0; 3], japr7ina
funkcijas vrt%2łba aajos punktos, k ar%2ł intervla galapunktos:
2 2
2
3 3 3
3
y(1) = (12 - 2 "1) = (-1) = 1, y(0) = (02 - 2 " 0) = 02 = 0 ,
2 2
3 3 3 3
3
y(2) = (22 - 2 " 2) = 02 = 0 , y(3) = (32 - 2 " 3) = 32 = 9 .
3
Sal%2łdzinot redzam, ka funkcijas vislielk vrt%2łba ir y(3) = 9 , vismazk -
y(0) = y(2) = 0 . Tas redzams ar%2ł no funkcijas grafika.
y
2
1.5
1
0.5
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3
17. nodarb%2łba. 9. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
10. piemrs. Apr7int tilpumu vislielkajam cilindram, ko var ievietot lod ar rdiusu R.
Lodes un cilindra aksila7lums ir pard%2łts z%2łmjum. Lodes tilpumu apr7ina pc formulas
4
VL = Ą R3 , cilindra tilpumu apr7ina pc formulas
3
VC =Ą r2h, kur r  cilindra rdiuss, h  t augstums.
h
No "AOC seko, ka OC = , AC = r un pc Pitagora
O 2
2 2
teormas ir spk sakar%2łba AC = OA2 - OC jeb
R
h2
r2 = R2 - . Ievietojot pdjo izteiksmi cilindra tilpuma
4
C
formul, iegkstam
AB
# ś# h3
h2
ś#
VC = Ą R2 - ź#
ś# ź#h jeb VC = Ą R2h - Ą 4 .
4
# #
Rezultt esam ieguvuai lod ar rdiusu R ievilkta cilindra tilpumu k t augstuma funkciju.
Jatrod a%2łs funkcijas vislielk vrt%2łba. Lai to izdar%2łtu, jatrisina viendojums VC2 = 0 .
h3
Atvasinsim funkciju VC = Ą R2h - Ą pc main%2łg h:
4
3Ą h2
VC2 = Ą R2 - .
4
3Ą h2 3Ą h2 4Ą R2 2R
No Ą R2 - = 0 seko, ka = Ą R2 ! h = = .
4 4 3Ą
3
No "AOC seko, ka
h2 1 4R2 2R2 2
r2 = R2 - jeb r2 = R2 - " = ! r = " R .
4 4 3 3 3
2R 2 h3
Esam atraduai, ka pie h = un r = R funkcijai VC = Ą R2h - Ą , kas izsaka lod
3 4
3
ievilkta cilindra tilpumu k t augstuma funkciju, ir ekstrms. Vl jpamato, ka ais ekstrms
3Ą h
ir maksimums. Ac%2łm redzami VC3 = - < 0 , jo h > 0 un pc otrs ekstrmu eksistences
2
pietiekams paz%2łmes seko, ka atrastais punkts ir maksimuma punkts. Vl apr7insim
vislielak cilindra tilpumu:
2
# ś#
2 2R 4Ą R3
2
ś#
VC = Ą r h = Ą " " Rź# " = .
ś# ź#
3
3 3 3
# #
17. nodarb%2łba. 10. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
11. piemrs. Ku#a degvielas patriFa ir proporcionls t truma kubam. Ir zinms, ka pie
truma 10 km/h vienas stundas laik tiek patrta degviela 30 Ls vrt%2łb. Prjie
izdevumi, kuri nav atkar%2łgi no ku#a truma, ir 480 Ls/h. Ar kdu trumu jprvietojas
ku#im, lai kopjo izdevumu summa bktu vismazk? Kda ir a%2ł miniml summa vienas
stundas laik?
Apz%2łmjot ar A stundas laik iztrts degvielas vrt%2łbu, ac%2łm redzami ir spk sakar%2łba
A = kv3, kur v  kust%2łbas trums, k  proporcionalittes koeficients. T k stundas laik
tiek patrta degviela 30 Ls vrt%2łb, ja trums ir 10 km/h, tad ir spk sakar%2łba
30
30 = k"103 ! k = = 0.03 .
1000
L%2łdz ar to varam rakst%2łt y = 0.03v3 + 480, kur y  kopjie izdevumi stundas laik.
s
Apz%2łmjot ar s ce<a garumu, ir spk sakar%2łba t = , kur t  laiks, kas jpavada
v
ce<. Kopjie izdevumi aaj laik ir
s 480
ś#.
z = yt = (0.03v3 + 480) jeb z = s#0.03v2 +
ś# ź#
v v
# #
Lai atrastu trumu, pie kura kopjie izdevumi bktu vismazkie, jatrisina viendojums
2
zv = 0 . `aj gad%2łjum
480 480 480 km
ś#
2
z = s#0.06v - ź#
= 0 ! 0.06v = ! v3 = = 8000 ! v = 20 .
ś#
v2 # v2 0.06 h
#
Lai prliecintos, ka pie atrast truma v izdevumi bks minimli nevis maksimli,
2 2
r%2łkosimies k iepriekaj uzdevum. Atrad%2łsim z (20) un apskat%2łsimies t z%2łmi. Ttad
960 960
ś# ś#
2 2 2 2
z = s#0.06 + ! z (20)= s#0.06 + > 0 , jo s > 0.
ś# ź# ś# ź#
v3 # 8000
# # #
km
Redzam, ka trums v = 20 nodroaina minimlos izdevumus. Miniml izdevumu
h
summa stundas laik ir
y(20) = 0.03"203 + 480 = 720 Ls/h.
12. piemrs. Jizgatavo cilindriska veida trauks bez vka, kura tilpums ir V. Kdiem ir
jbkt cilindra augstumam un pamata rdiusam, lai trauka izgatavoaanai vajadztu
vismazk materila?
Ttad jatrod ir tds cilindra augstums un rdiuss, lai cilindra tilpums bktu V, bet t
snu virsmas laukuma un viena pamata laukuma summa bktu iespjami vismazk.
17. nodarb%2łba. 11. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
2
Cilindra tilpumu apr7ina pc formulas V = Ą r h , kur r  pamata rdiuss, h 
cilindra augstums. Pilnas virsmas laukums cilindram bez viena pamata apr7inms pc
formulas s = 2Ą rh + Ą r2.
Tagad izteiksim pilnas virsmas laukumu k viena main%2łg rdiusa funkciju
V
(cilindra tilpums V tiek uzskat%2łts par konstanti). Ac%2łm redzami h = . Ievietojot ao
Ą r2
V
izteiksmi pilnas virsmas apr7inaanas formul, iegkstam S = 2Ą r " +Ą r2 !
Ą r2
2V
S = +Ą r2 . Tagad atrad%2łsim tdu r, lai S vrt%2łba bktu vislielk. `im nolkkam atrad%2łsim
r
funkcijas S atvasinjumu pc main%2łg r un piel%2łdzinsim to nullei:
2V V
3
2
S = - + 2Ą r = 0 !  2V + 2Ą r3 = 0 ! r = .
r2 Ą
V 2V
3
Esam atraduai, ka pie r = funkcijai S = + Ą r2 ir kritiskais punkts.
Ą r
Prliecinsimies, ka aaj punkt funkcijai ir minimums. Atrad%2łsim funkcijas S otro
4V V
3
2 2 2 2
atvasinjumu: S = + 2Ą . Redzam, ka S > 0 , ttad pie r = funkcijai tieam ir
r3 Ą
minimums.
Cilindra augstums pie apr7ints r vrt%2łbas ir
V V V
3
h = = = .
Ą r2 # V ś#2 Ą
3
ś# ź#
Ą
ś# ź#
Ą
# #
V V
3 3
Ttad pie rdiusa r = un augstuma h = cilindrisk trauka izgatavoaanai vajadzs
Ą Ą
vismazk materila.
17. nodarb%2łba. 12. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 3
Uzdevumi 8
Uzdevumi 9
Uzdevumi 6
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi#
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi!
Uzdevumi

więcej podobnych podstron