Uzdevumi 6


R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
6. nodarb%2łba
1. piemrs. Doti punkti A( 2, -1, 2 ), B( 3, 1, 0 ), C( 4, -2, 5 ), D( 5, 3, -1 ). Apr7int
trijstkra piram%2łdas ABCD tilpumu.
Risinjums.
Noteiksim trijstkra piram%2łdas malu vektora koordintas, Femot vektorus no viena punkta,
piemram, punkta C:
CA =( -2, 1, -3 ), CB =( -1, 3, -5 ), CD = (1, 5, - 6).
Trijstkra piram%2łdas tilpumu apr7insim, izmantojot triju vektoru jaukto reizinjumu
- 2 1 - 3
CA CB " CD = -1 3 - 5 = 36 - 5 +15 + 9 - 50 - 6 = -1.
1 5 - 6
Ttad
1 1 1
V = CA CB " CD = -1 = .
6 6 6
r r r
r r r r r
2. piemrs. Apr7int b(c + a)(b + 2c) , ja abc = 7 .
Risinjums.
Prveidosim doto izteiksmi, izmantojot jaukt reizinjuma %2łpaa%2łbas:
r r r r r r r r r s
r r r r r rr rr rr r r
b(c + a)(b + 2c) = bcb + bab + 2bcc + 2bac = 2bac = -2abc = -14
r r r r r
r r rr
Reizinjumi bcb, bab un bcc satur kolinerus vektorus, ttad viendi ar nulli
r
r r
( a,a un b ir komplanri jebkurai  vrt%2łbai).
3. piemrs. Apr7int tilpumu parallskaldnim, kuru veido vektori
r
r r
a = (4,2,0); b = (0,-3,1) un c = (0,2,3) .
Risinjums.
s
r r
ParallskaldFa tilpums ir viends ar abc absolkto vrt%2łbu.
s
r r
Apr7insim abc
4 2 0
r
r r
abc = 0 - 3 1 = -36 + 0 + 0 - 0 - 8 - 0 = -44 .
0 2 3
6. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
Ttad parallskaldFa tilpums ir viends ar 44 tilpuma vien%2łbm.
4. piemrs. Prbaud%2łt, vai dotie %0ńetri punkti A, B, C, D atrodas vien plakn, pretj
gad%2łjum apr7int tilpumu trijstkra piram%2łdai, kuras virsotnes ir punktos A(-1,0,5),
B(-3,-1,0), C(0,-2,0) un D(-2,1,7).
Risinjums.
Noteiksim vektorus AB, AC un AD :
AB = (- 2, -1, - 5), AC = (1, - 2, - 5), AD = (-1, 1, 2)
un apr7insim to jaukto reizinjumu
- 2 -1 - 5
AB AC " AD = 1 - 2 - 5 = 8 - 5 - 5 +10 -10 + 2 = 0 ,
-1 1 2
ttad punkti A, B, C, D atrodas vien plakn.
r
r r
5. piemrs. Noteikt, vai vektori a = (-2, 4, 6); b = (2, - 3, -1) un c = (1, - 3, - 8) ir
komplanri.
Risinjums.
Prbaud%2łsim vektoru komplanrittes paz%2łmi, apr7inot to jaukto reizinjumu:
- 2 4 6
r
r r
abc = 2 - 3 -1 = -48 - 4 - 36 +18 + 6 + 64 = 0 ,
1 - 3 - 8
ttad dotie vektori ir komplanri.
r r
r r r r r r r
6. piemrs. Prbaud%2łt, ar kdu nosac%2łjumu vektori m = a - b, n = b - c un p = c - a ir
komplanri.
Risinjums.
r rr
Vienkraosim izteiksmi mnp :
r r r r r r r r r r
r rr r r r r r r r r r r r r rrr rr
mnp = (a - b)(b - c)(c - a) = (ab - bb - ac + bc)(c - a) = abc - bbc - acc + bcc -
6. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
r r r r r r r r
r r r rrr rr r r rr r r r r
- aba + bba + aca - bca = abc - bca = abc - abc = 0 ,
r
r r r r r
Tdjdi vektori m, n un p ir komplanri vienmr, neatkar%2łgi no a, b, c .
7. piemrs. Uzrakst%2łt doto l%2łniju viendojumus polrajs koordints: a) x = 2 ;
b) x + y = 1; c) y = 1; d) 3 " y = x; x e" 0 .
Risinjums.
Izmantosim formulas x = r cos , y = r sin , tad
2
a) x = 2 ! r cos = 2 ! r = ;
cos
2
1
2
b) x + y = 1 ! r cos + r sin =1 ! r = ! r = ;
cos + sin Ą
ś#
sin# +
ś# ź#
4
# #
1
c) y = 1 ! r sin =1 ! r = ;
sin
3 Ą
d) 3 " y = x ! 3r sin = r cos ! tg = !  = .
3 6
8. piemrs. Uzrakst%2łt doto l%2łniju viendojumus Dekarta koordints: a) r = 2 ;
Ą 1
b)  = ; c) r = ; d) r = 2sin .
4 cos
Risinjums.
x y
Izmantosim formulas cos = , sin = , r = x2 + y2 , tad
r r
a) r = 2 ! x2 + y2 = 2 ! x2 + y2 = 4 ;
Ą sin y x y
b)  = ! tg = 1 ! = 1 ! : = 1 ! = 1 ! y = x ;
4 cos r r x
1
c) r = ! r cos = 1 ! x = 1;
cos
6. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Uzdevumu
risinjumu paraugi.
y
2
d) r = 2sin ! r = 2 " ! r = 2y ! x2 + y2 = 2y .
r
9. piemrs. Uzz%2łmt polraj koordintu sistm l%2łniju r = 2cos 2 .
Risinjums.
Eemsim patva<%2łgas  vrt%2łbas un apr7insim atbilstoas r vrt%2łbas:
Ą Ą Ą Ą 2Ą 3Ą 5Ą
0
 Ą
6 4 3 2 3 4 6
r 2 1 0 -1 -2 -1 0 1 2
Nav nepiecieaam%2łbas Femt Ą <  < 2Ą , jo cos ir pra funkcija un l%2łdz ar to l%2łnija ir
simetriska attiec%2łb pret Ox asi.
Eemsim starus no pola leF7i  un t atliksim r vien%2łbas. Gad%2łjumos, kad r < 0 ,
r vien%2łbas jatliek uz pretjo pusi.
Dots funkcijas grafiks pard%2łts 1. z%2łmjum.
2
1
-2 -1 1 2
-1
-2
1. z%2łm.
6. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Uzdevumi
Uzdevumi 5 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 4 2 sem
Uzdevumi 3
Uzdevumi 8
Uzdevumi 9
Uzdevumi 8 2 sem
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi
Uzdevumi
Uzdevumi 9 2 sem
Uzdevumi#
Uzdevumi 2 sem
Uzdevumi 1 2 sem
Uzdevumi!
Uzdevumi

więcej podobnych podstron