egzamin matma1

M atem atyka 2011/12 (zima)

Przy Radowe typy zadań i pytaj! na egzamin.

1.    Podaj definicję iniekcji. Sprawdź czy jest injekcją funkcja / : M.....> IR, f(x) — x".

2.    Podaj definicję injekcji. Wyznacz dziedzinę i sprawdź czy jest injekcja funkcja f(x) - ln    ■

3. Podać definicję funkcji różnowar(ościowej (injekcji) i sprawdzić czy funkcja / : A ■ > Y jest różnowartościowa, jeśli przyjmujemy, że: A — R \ {1}, Y :ł i

.    2;/; ■ 3

./(*)= ........ y

4.    Dana jest funkcja / ze zbioru X w zbiór Y (/ : A • •> Y). Podać definicję funkcji odwrotnej do funkcji /. W przypadku gdy A" — &, Y (l.oo) oraz y = f(x) — y/2e* + b znaleźć przepis na funkcję odwrotną.

5.    Obliczyć wartości:

logs

f(x) — arcsin

(1 Dany jest przepis funkcji

a)    Wyznaczyć dziedzinę dla przepisu tej funkcji.

b)    Wykazać, że funkcja / jest injekcja.

c)    Wyznaczyć przepis lia funkcję odwrotną do /.

7.    Oblicz arccos(co.s'(|?r)).

8.    Oblicz sin(arceos(l/5)).

9.    Oblicz wartość

• •^,F>71 \ \ arclgpgf ■■ )).

10.    Rozwiąż równanie: cos.r - sin27: — 0.

11.    Rozwiąż nierówność:    > 1.

r+8

12.    Rozwiąż nierówność: ;( j > X.

13.    Rozwiąż równanie kwadratowe: ,Y' + A.r 5 — 0 i narysuj wykres paraboli y — x² I 4x 5.

14.    Sformułować twierdzenie o koniecznym na istnienie ekstremum lokalnego dla funkcji różniczkowałnej.

15.    Czy funkcja f(x) =- 3x 2sina: jest rosnąca na całym zbiorze liczb rzeczywistych?

16. Podaj wzór na pochodną iloczynu i ilorazu dwóch funkcji różniczkowalnycli oraz na pochodną funkcji złożonej.

17. Podaj wzór na pochodną funkcji odwrotnej i wyprowadź wzór na pochodną funkcji y arcsin(x).

18.    Podać definicje pochodnej funkcji w punkcie.

Korzystając z definicji, oblicz pochodną funkcji f(x) = sinrr w punkcie xo - 0.

19.    Podać wzór na pochodną dla funkcji złożonej i obliczyć pochodną funkcji złożonej:

F(x) = ln(sin :a).

20.    Sformułować twierdzenie o wypukłości i wklęsłości dla funkcji dwukrotnie różniczkowa!nej. Czy funkcja f(x) = x² jest wypukła?

1