mechanika1 (podrecznik)4

10

Wektory a, b, c nazywamy bazą albo podstawą. Jeżeli moduły wektorów a, b, c są równe jedności i wektory te są wzajemnie prostopadłe, to bazę taką nazywamy jednostkową ortogonalną, a wektory oznaczamy przez i,j, k. Wektory jednostkowe i, j, k są też nazywane ortami (rys. 1.13).

Wektory a_x a_y, a. leżące na osiach układu można wyrazić jako iloczyny składowych wektora u na osie i odpowiednich wektorów jednostkowych

a_x = aj; a_y = a_yj; a. = a.k.

• Wektor a jest sumą wektorową

a ⁼ a_I*+ a_y + a,,

stąd

(1.1)

a = aj + a_yj + a.k.

Wzór (1.1). przedstawia analityczną postać wektora.

Rys. 1.14

Gdy dane są współrzędne wektora, a„ a_y, a,, wówczas możemy wyznaczyć jego moduł ze wzoru

(1.2)

I a | = V+ a] + ol\ ,

a jego kierunek przez kąty kierunkowe a, /i, y takie, że

a_x = | a | cos a .

(1.3)

a_y = | a | cos P    ^%

a. = | a | cos y

gdzie cos a, cos fi, cosy są tzw. kosinusami kierunkowymi. -

Zwrot wektora jest też podany kątami a, fi, y, gdyż przy odmierzaniu kąta stosujemy umowę, zgodnie z którą za* dodatni uważamy kąt odmierzany od

•_    a-rńo/t-i zegara frvs. 1.14).

Z przedstawionych rozważań wynika, że trzy liczby a_x, a_y, a. określają jednoznacznie wektor.

Zauważmy jeszcze, że podnosząc do kwadratu i dodając stronami równania (1.3) otrzymamy

a_x + a² + aj — | a |²(cos²sc + cos²/? + cos²y) = | a |²,

skąd

cos²a + cos²/? + cos²y = 1.

Mamy więc tylko dwa niezależne kosinusy kierunkowe (dowolnie obieralne), trzeci wyznacza powyższa zależność, ale tylko co do modułu, a nie co do znaku.

1.11. Iloczyn skalarowy wektorów

W wyniku mnożenia skalarowego dwóch wektorów otrzymujemy skalar, zdefiniowany następująco:

« • b = |a| * |li| cos(a, b).    (1.4)

Zauważmy, że | b \ cos (a, b) = b_a jest równy modułowi rzutu wektora b na kierunek wektora a, stąd iloczyn skalarowy a • b = | a \ ■ b_a. Gdy wyznaczamy moduł rzutu wektora a na b jako |a | cos(a, b) = a_b, iloczyn skalarowy możemy zapisać w postaci a ■ b = | b | • a„.

Widać stąd, że iloczyn skalarowy dwóch wektorów sprowadza się do iloczynu dwóch liczb, z których jedna jest modułem wektora, druga zaś modułem rzutu (rys. 1.15) jednego z wektorów na kierunek drugiego.

Przypuśćmy więc, że mamy daną następującą zależność:

a ■ b = x,

w której dany jest wektor b i skalar x. Czy wektor a, spełniający to równanie, jest jednoznacznie określony?

Wektor a można rozłożyć na dwa wektory składowe:

- wektor prostopadły do wektora b a II - wektor- równoległy do wektora b, wówczas

a ■ b = (a_L + <i||) • b = a_N • b = x,

wektory a_± i b bowiem jako normalne dają iloczyn a_x • b = 0. Wobec tego a_{| = x/6, a_x zaś jest dowolne. Łatwo zauważyć, że zbiór wektorów a_L, a₂,... , których końce leżą na płaszczyźnie przechodzącej przez koniec a_{| i prostopadłej do tego wektora (rys. 1.15) spełniają wyjściową relację i wynik określenia wektora a nie jest