mechanika1 (podrecznik)5

12

Rys. 1.15

1.11.1. Iloczyny skalarowe wektorów jednostkowych •

Korzystając ze wzoru (1.4) możemy stwierdzić, że

i ■ j = | i | • | j f • cos (i, j) = 1 • 1 • cos 90° = 0,

natomiast

i i = |i| • |i| • cos (i, i) = 1 • 1 • cos 0° = 1.

Podobnie można obliczyć iloczyny innych wektorów jednostkowych. Iloczyny skalarowe dwóch wektorów jednostkowych wzajemnie prostopadłych są równe zeru

ij = i- k= j‘k = 0.    •    (1.5)

Iloczyny skalarowe dwóch wektorów jednostkowych wzajemnie równoległych są równe jedności

i • i = j • j = k ■ k = 1.    (1.6)

Jeżeli wektory a i b wyrazi się w postaci (1.1), to ich iloczyn skalarowy można źapisać następująco: •

a • b = (a_xi + a_yj + a.k) ■ (b_xi + b_yj + b.k) =

(1.7)

= a_xb_xi ■ i + a_xb_yi j + a_xb.i • k +

+ a_ybj • i + a_yb_yj ■ j + a_yb.j ■ k +

+ a.b.k ■ i + a_zb_yj • k + a,b,k ■ k.

Po wykorzystaniu (1.5) i (1.6) iloczyn skalarowy zapiszemy ostatecznie wzorem

ab — a_xb_x + a_yb_y + a,b.

(1.8)

1.1 U. Warunek prostopadłości dwóch wektorów

Jeżeli iloczyn skalarowy a ■ b = 0, to niezerowe wektory a i b są do siebie prostopadłe. Wynika to z definicji iloczynu skalarowego

| a | • |i| cos (a, b) = 0 to cos(a, b) = 0.

1.12. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów

Umawiamy się, że wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest wektor

def    ,

ć = a x b.

(1-9)

a

Rys. 1.17

Rys. 1.16

Moduł wektora c jest równy iloczynowi modułów wektorów a i b i sinusa kąta zawartego między nimi

c | = | a x b | = | « | • | b | sin (a, b). (1.10)