mechanika1 (podrecznik)9

20

20

cos (a, b)

a_rb_r =f- a„b„

_ 3-3 + 2-2 + (-l)-0 ₌ j13

yi4-yi3 ~ V 14'

d) określić wektor c, leżący na płaszczyźnie yz, który jest prostopadły do wektora a.

Ponieważ wektor c jest komplanamy z ortami j oraz k, więc możemy go przedstawić jako agregat tych wektorów:

c = c_y • j + c_z ■ k.

Jeśli wektory a i c mają być do siebie prostopadłe, to iloczyn skalarowy tych wektorów musi się równać zeru

a ■ c = (3i + 2j - k)(c_y ■ j + c. ■ k)~ = 0.

Pamiętając o zależnościach (1.5) i (1.6) otrzymujemy

i stąd

(a)

Warunek (a) dostarcza tylko jeden związek między dwiema niewiadomymi c, i c_y. Gdy zostanie narzucony dodatkowy warunek, np. |c| = 1, wówczas otrzymamy drugi związek

c) + cl = 1.    (b)

Rozwiązaniem układu równań (a) i (b) jest wartość c_y= + 1/^/i lub c_y = -i/<A co prowadzi do pełnej postaci wektora c

lub

Jfc.

¹ . 2

c = —_T j + —_P fc

V5 ^5

2. Wektor a z poprzedniego zadania przedstawić w nowym układzie współrzędnych, który uzyskamy, obracając stary układ odniesienia o kąt tc/2 dookoła osi y (rys. 1.23).

Porównując nowy i stary układ, widzimy, że między ich ortami zachodzą relacje: i = k', j = /, k =-i', zatem

a = 3i + 2j — k = 3k' + 2j' + i'.

Rys. 1.23    .

Rozwiązanie ogólne tego prostego przypadku jest oparte na równaniu (1.22). Z rysunku widać, że spełnione są warunki

M?, i) = Mi'J) = ■£(/'. i) =

= MJ',k) = Mk',j) = Mk',k) =

oraz

MfJ) = Mk', i) = 0 i^(i',fc) = 7r,.

aj, = a_x • 0 + a_y • 0 + a_(-1) = -a. = 1,

aj, = a_x ■ 0 + a_y ■ 1 a. • 0 = a_y = 2,

a'_z - a_x ■ 1 + a_y ■ 0 + a. • 0 + = a_x = 3,

a = a^ • i' + a; • / + al • k = i' + 2/ + 3k

i wynik ten jest identyczny z otrzymanym poprzednio.

3. Dane są wektory e = -i + 3fc, f — 2i- 3j - k. Obliczyć g = e x/. Na podstawie (1.13)

i	J fc		i ; fc.
e*	^e=	=	-1 0 3	= 9i + 5j + 3 k
/*	fy f.		2 -3 -1	—