mechanika1 (podrecznik)8

18

Rys. 1.20 a    Rys. 1.20b

Po zmianie układu xyz prawoskrętnego na lewoskrętny yxz, iloczyn ten wynosi (rys. 1.20b)

i j k

= —abk.

a x b =

-a 0 0 0 b 0

Wektor, który powstał z iloczynu wektorowego dwóch wektorów a i b o stałej orientacji w przestrzeni, zmienia swój znak w razie zmiany skrętności układu współrzędnych. Należy nadmienić, że lewoskrętny układ można otrzymać tylko przez zwierciadlane odbicie układu prawoskrętnego (transformacji obrotowej układu prawoskrętnego w lewoskrętny przeprowadzić nie można, tak jak np. nie można założyć rękawiczki z ręki prawej na lewą).

wektor osiowy (prędkość kątowa)

poie./O/

Rys. 1.22

Wektor biegunowy jest obiektem niezmiennym w przestrzeni - jego zwrot jest określony znaczeniem fizycznym wićlkości, np. wektor siły. Wektor osiowy zmienia swój znak w przestrzeni w zależności od przyjętego układu odniesienia; jego zwrot jest określony umownie, np. prędkość kątowa (rys. 1.22) zależy od przyjętego kierunku obiegu pola, a więc od skrętności.

1.14. Składowe wektora przy zmianie układu współrzędnych

Zajmiemy się jedynie prostym przypadkiem obrotu układów współrzędnych. Przypuśćmy, że mamy w przestrzeni dwa ortogonalne, prostoliniowe układy współrzędnych U i U' o bazach (i, j, k) i (i',/, k'). Oznaczmy kosinusy kierunkowe między ortami układów U i U' następująco:

cos (i', i) = a_u;    cos (/', ») = a₂₁;    cos {k\ k) = a₃₁,

cos(i',j) = a₁₂;    cos (j',j) = a₂₂;    cos (k',j) = a₃₂,

cos(ij, k) = a₁₃;    cos(/', k) = a₂₃;    cos(k', łc) = a₃₃.

Jeżeli składowe wektora a w układzie [/ oznaczymy przez a._x, a_y, a., a w układzie U’ przez aj., aj, aj, to można dowieść, że

aj = a_xcos(i', i) + a_ycos(i',j) + a.cos(i', fc) =

= ^fl*^all + ^ay^al2 + ^a;^aU

aj = a_xcos(j', i) + a_ycos(j',j) + a.cos(/, k) =

= ^ax^a21 + ^ay^a22 + ^az^a 23

aj = a_xcos(fc', i) + a_xcos{k',j) + a.cosjfc', k) =

^{= a}x^a31 "b ^ay^a32 "b ^a3^a33i

co krócej zapisujemy w postaci macierzowej

-dx ■		" ^all ^a12 ^a13‘		~^ax '
aj	=	^a21 ^a22 ^a23
X-		- ^a31 ^32 ^a33-		- ^a: -

W mechanice często korzysta się z zależności (1.22), pamiętając o zasadach rachunku macierzowego.

Przykłady

1. W układzie współrzędnych opisanym bazą (i, j, k) dany jest wektor a = 3i + 2j - k.

a)    wyznaczyć moduł wektora a, korzystamy ze wzoru (1.2)

a = V3² + 2² + (-l)² = V⁹ + 4 + 1 = yH-

b) podać rzut wektora a na płaszczyznę xy, jest to wektor b = 3 i + 2j.

c) obliczyć kosinus kąta, jaki tworzy wektor a z płaszczyzną xy. Jest to kąt między wektorami a i b, co wynika z rozważań geometrycznych; stosując zależności (1.4)_L(1.8)_bezpośrednio uzyskujemy