mechanika1 (podrecznik)7

16

znajdują się we wspólnym punkcie. Taki iloczyn ma znak plus, gdy wektory a, b, c tworzą układ prawoskrętny, znak minus natomiast, gdy tworzą układ lewoskrętny. Łatwo można sprawdzić, że iloczyn mieszany da się przedstawić w prostszej do zapamiętania formie wyznacznika.

16

Rys. 1.18

a ■ (b x c) =

		^a:
X	y
bx	by	bc
	^C>	cz

Ponieważ znak iloczynu a ■ (b x c) zależy od kolejności jego elementów, zatem iloczyn taki jest pseudoskalarem.

Warto zauważyć, że iloczyn mieszany trzech wektorów niezerowych a, b, c zeruje się tylko wtedy, gdy wektory te są komplanarne (leżą w jednej płaszczyźnie). Podwójny iloczyn wektorowy wektorów a, b, c

a x (b x c)

jest wektorem. Z rysunku 1.19 wynika, że wektory a x (b x c), b, c są komplanarne, gdyż wektor a x (b x c) jest prostopadły do a i do b x c. Wektor b x cLb i b x c JL c, a jednocześnie wektor a x (b x c) jest też prostopadły do b x c. Wektory b i c nie mogą być także kolinearne; w przeciwnym wypadku b x c = 0. W myśl twierdzenia o liniowej zależności trzech wektorów możemy zapisać, że

a x (b x c) = ab 4- /?c,

gdzie a i fi są pewnymi liczbami.

Przyjmijmy

a x d = ab + pc.

Rzut tego iloczynu na oś x wyniesie

(1.15)

(a x d)_x = ab_x + Pc_x Rozpiszmy lewą stronę równania (1.15)

(a x d)_x =

dy d.^

(1.16)

Wyrażając współrzędne wektora d, występujące w (1.16), przez współrzędne wektorów b i c

d, =

b x^y    y

y

b_x b.

C_x C_s

i po podstawieniu (1.17) do (1.16) oraz po uporządkowaniu, otrzymamy

(1.17)

dy ~ ~

= -b_xc_z + c_xb_z

(a x d)_x = a b_xc - a b c_x + a.b_xc, - a_zb.c. =

(1.18)

= b_x[ayCy + a.c.) - c_x{a_yb_y + a.b.).

Jeżeli do wyrażenia-(1.18) dodamy i odejmiemy a_xb_xc_x, to (1.18) przyjmie postać: (a x d)_x = b_x{a c + a.c_z) - c_x(a b + a.b,) +

(1.19)

+ ^axb_xc_x - a_xb_xc_x = b_x(a ■ c) - c_x{a ■ b).

Porównując wyrażenie (1.19) z (1.15) otrzymamy:

a — a • c, P = a ■ b. ’    (1-20)

Po podstawieniu (1.20) do (1.14) ostatecznie otrzymujemy

a x (fc x c) = b(a • c) - c(a ■ b).    (1.21)

Stwierdziliśmy już, że znak iloczynu mieszanego a • (b x c) zależy od tego, czy układ współrzędnych jest lewoskrętny, czy prawoskrętny. Podobnie istnieją też wektory, których znak zależy od skrętności układu.

Obliczmy na przykład iloczyn wektorowy wektorów a = a i oraz b = bj; w wyniku otrzymamy (rys. 1.20a)

i j k

a x b =

= abk.

a 0 0 0 6 0