WYKŁAD 11

DRGANIA PUNKTU MATERIALNEGO

Drgania swobodne nietłumione

Drganie ruch drgający punktu materialnego jest to ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej x

A 0 m B

A, B położenia krańcowe punktu materialnego m

0 punkt położenia równowagi stałej

Drgania swobodne drgania zachodzące pod działaniem

sił sprężystych

Drgania swobodne nietłumione drgania swobodne bez

działania sił oporu (np. tarcia, oporu powietrza itd.)

Przypomnienie z Wytrzymałości Materiałów

Belka zginana P

(a)

l P = kf =kcP k = 1/c

Sprężyna rozciągana

D P = 0

Rys.16 f

P

(b)

k sztywność sprężyny

k = 1/c (b1)

Koniec Wytrzymałości Materiałów

Przypadek gdy drga masa m zawieszona na sprężynie (17) o sztywności k (rys.16).

W położeniu równowagi na punkt materialny

działają siły:

Q siła ciężkości, S₀ = kλ_st reakcja sprężyny (c)

z równania (c) wydłużenie sprężyny λ_st = S₀/k = Q/k =mg/k

Początek układu współrzędnych

przyjęto w położeniu równowagi

punktu materialnego.

Siły działające na punkt material- S₀

-ny wychylony z położenia równo-

-wagi przedstawiono na rys.17.

Dynamiczne równanie różniczkowe Q x S

ruchu punktu materialnego ma Rys.17

postać
x Q

(d)

dzieląc stronami (d) oraz przenosząc -kx na prawą stronę

otrzymujemy

(19)

rozwiązaniem (19) jest funkcja

przy przyjęciu że
,
mamy że:

(20)

bo

Z równania (20) wynika, że rozważany punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym prostym, przy czym częstość drgań własnych ω₀ równa się częstości kołowej.

Stąd okres drgań wynosi

(21)

Określenie C₁, C₂, *₀

(e)

(e₁)

gdzie: A amplituda drgań

*₀ faza początkowa

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków

początkowych. Dla przykładu dla t = 0, wychylenie punktu

materialnego z położenia równowagi wynosiło x₀,

Równania ruchu i prędkości mają postaci

(22)

(22a)

dla t = 0 mamy: C₁ = x₀ , C₂ = V₀/ω₀

równanie (22) ma postać

(f)

Na podstawie zależności (e)

(g)

Okres drgań określamy ze wzoru (21), a częstotliwość

(h)

Przykład 12

Określić równanie ruchu masy m = 20kg, zawieszonej na sprężynie, jeśli dla t = 0, x₀ = 5mm, V₀ = 30mm/s. Dane sprężyny: D = 100mm, d = 5mm, G = 8⋅10⁴MPa, i = 20.

Rozwiązanie

Z zależności (b) i (b1)

Z zależności (19)

ω₀ = 3.95 /s z równania (f) równanie ruchu ma postać

Drgania swobodne tłumione

Przypadek gdy na punkt materialny m działają siły:

S = kx proporcjonalna do wychylenia

R = -cV_x opór którego wartość jest proporcjonalny do

pierwszej potęgi prędkości (rys.18)

Dynamiczne równanie różniczkowe

ruchu punktu ma postać

(23)

Po uporządkowaniu i oznaczeniu

m

Równanie (23) przyjmuje postać x

(i)

Aby rozwiązać (i) podstawiamy x Rys.19

(j)

Po zróżniczkowaniu (j)
,
(k)

Po podstawieniu (k) do (i)

(l)

Pierwiastki równania (l)

(m)

gdzie

W zależności od wartości wyróżnika równanie charakterystyczne (l) może mieć trzy różne rozwiązania:

a. Przypadek tłumienia nadkrytycznego (n>ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest większy od

zera, pierwiastki równania charakterystycznego są

rzeczywiste i oba ujemne, a rozwiązanie ogólne równania

(i) ma postać

(n)

Jest to przypadek silnego tłumienia, ruch aperiodyczny.

b. Przypadek tłumienia krytycznego (n = ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest równy zeru

Rozwiązaniem jest jeden ujemny pierwiastek podwójny

(o)

Rozwiązanie równania (i) ma postać

(p)

c. Przypadek tłumienia podkrytycznego (n < ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest mniejszy

od zera, równanie (l) ma wtedy dwa pierwiastki

zespolone i rozwiązanie ogólne równania (i) ma postać

(r)

gdzie
jest częstością drgań tłumionych

Charakter ruchu przedstawiono na rys.20. Ruch ma charakter o amplitudzie r₀e^-nt stale malejącej

x

t₁ t₂ t T = t₂ - t₁

T Rys.20 Drgania swobodne tłumione

(tłumienie podkrytyczne)

Drgania wymuszone nietłumione

Jeśli poza siłą ciężkości i siłą sprężystą na punkt materialny działa okresowo zmienna w czasie siła wymuszająca, to powstające wtedy drgania nazywamy

wymuszonymi. 26dyn

Na punkt materialny S

działa siła zewnętrzna m

(rys.21), mg

oraz mg i S = kx P x Rys.21

Dynamiczne równanie różniczkowe ruchu

(s)

Równanie (s) jest liniowym równaniem różniczkowym niejednorodnym, rozwiązaniem jest
(u)

x₁ rozwiązanie równania jednorodnego

x₂ rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

(w)

Po podstawieniu (w) do (s) i przyrównaniu współczynników przy tych samych funkcjach trygonometrycznych znajdujemy wartość stałej A. Patrz poniżej:

,

stąd
(z)

Aby określić C₁ i C₂ przyjmujemy

dowolne warunki początkowe (dla t = 0, x = x₀,
)

Patrz poniżej: z (u) mamy

x = x₁ + x₂ =

dla t = 0, x = x₀ = C₁ C₁ = x₀

Po podstawieniu C₁, C₂, A do (u) otrzymujemy

27dyn

Wykres A w funkcji A

ω/ω₀ (rys.22)

P₀/(mω₀²)

Rys.22 0 1 2 3 ω/ω₀

21dyn

22dyn

23dyn

24dyn

25dyn

---