MATEMATYKA FINANSOWA - wykłady, MATEMATYKA FINANSOWA - prof


MATEMATYKA FINANSOWA - prof. Zawadzki

WYKŁAD 1

Egzamin pisemny - 5 zadań rachunkowych

Symbol sumowania

C - zbiór liczb całkowitych

C = {0,+-1,+-2,…}

Dla dowolnych dwóch liczb n, p 0x01 graphic
C takich, że p ≤ n, symbol sumowania

0x01 graphic

Gdzie:

i - bieżący wskaźnik sumowania

p - dolna granica sumowania

n - górna granica sumowania

a) 0x01 graphic

b) dla każdego r 0x01 graphic
C, że p ≤ r < n

0x01 graphic
0x01 graphic

c) 0x01 graphic

d) 0x01 graphic

Symbol mnożenia

0x01 graphic
0x01 graphic

a) dla każdego r 0x01 graphic
C, p ≤ r < n

0x01 graphic

b) dla dowolnej liczby rzeczywistej C

0x01 graphic

Ciąg geometryczny

Ciąg (an) nazywamy geometrycznym jeśli istnieje liczba q0x01 graphic
0 taka dla każdego n

0x01 graphic

Przykład:

(1,2,4,8,16) a=1, q=2

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdy 0x01 graphic
to:

0x01 graphic

Ciąg arytmetyczny

Ciąg nazywamy arytmetycznym jeśli istnieje liczba r taka, że dla każdego n

0x01 graphic

Przykład:

(2,4,6,8) a1=2, r=2

Dla każdego ciągu arytmetycznego zachodzą wzory:

0x01 graphic

0x01 graphic

Liczba „е” i logarytm naturalny

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartość pieniądza w czasie

Zmiana wartości pieniądza czasie powoduje konieczność porównania kwot pieniężnych pochodzących z różnych okresów

Punkt odniesienia:

- przyszła wartość pieniądza [future value, FV]

- bieżąca wartość pieniądza [prezent value, PV]

Z porównywanie wiąże się:

  1. Oprocentowanie - wyznaczanie przyszłej wartości na podstawie znajomości wartości obecnej

  2. Dyskontowanie - wyznaczanie aktualnej wartości na podstawie znajomości przyszłej wartości

Przyszła wartość pieniądza

Odsetki Z - [ang. interest] - są opłatą za prawo użytkowania kapitału pieniężnego.

Dla wierzyciela są dochodem otrzymanym za odstąpienie prawa do dysponowania posiadanym kapitałem.

Dla dłużnika są kosztem uzyskania pożyczki.

Wartość przyszła:

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
- wartość przyszła

0x01 graphic
- wartość początkowa

Odsetki:

0x01 graphic

Wysokość odsetek zależy od:

- wysokości pożyczonej kwoty

- długości okresu spłaty

- ryzyka niewypłacalności dłużnika

- ogólnej sytuacji panującej na rynku finansowym

Przedmiotem umowy może być:

  1. stopa procentowa

  2. sposób obliczania procentu

  3. sposób płacenia odsetek

  4. sposób spłaty kapitału

Sposoby spłacania odsetek:

- wypłacane na koniec okresu

- wypłacane na początku okresu

- wypłacane w podokresach

Sposoby spłaty kapitału:

- kapitał spłacany na końcu okresu

- kapitał spłacany w ratach

Stopa procentowa r - stosunek odsetek do początkowej wartości kapitału

Stopa procentowa:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- czynnik procentowy q

0x01 graphic
- zawsze dotyczy ustalonego czasu [okresu stopy procentowej]

Oprocentowanie złożone [składane]

Oprocentowanie złożone stosuje się w transakcjach średnio- i długoterminowych.

Odsetki o które powiększa się po każdym okresie kapitał obliczane są od całego dotychczas zgromadzonego kapitału.

0x01 graphic
- kapitał początkowy

0x01 graphic
- czas oprocentowania w latach

0x01 graphic
- roczna stopa procentowa

0x01 graphic
kapitał końcowy - wartość kapitału po upływie czasu n

0x01 graphic
- odsetki po upływie czasu n

Wartość kapitału końcowego

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całkowite odsetki:

0x01 graphic

0x01 graphic

WYKŁAD 2

Dokończenie wykładu 1:

Jak widać ze wzoru przy oprocentowaniu złożonym, przyszła wartość kapitału…

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

UWAGA: Zamiast logarytmu naturalnego możemy dać dowolny logarytm.

Przykład 1:

Ile lat musi upłynąć, aby podwoił się kapitał złożony w banku, jeśli przyjmiemy że roczna stopa procentowa r=0,03 (3%) i nie ulega ona zmianie.

0x01 graphic

0x01 graphic

Kapitalizacja w podokresach - kapitalizacja śródroczna

Załóżmy, że podstawowy okres oprocentowania [rok] podzielona na m równych podokresów. W każdym podokresie nagromadzony dotychczas kapitał zostaje powiększony zgodnie ze stopą procentową [względna stopa procentowa]

0x01 graphic
0x01 graphic

Wzór na kapitał 0x01 graphic
po k podokresach (k=1,2,3…):

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
UWAGA: Zwiększenie m, czyli skracanie podokresów kapitalizacji odsetek zwiększa przyszłą wartość kapitału

Przykład 2:

Kapitał 0x01 graphic
złożono na lokacie w banku, który oferuje roczną stopę kapitału r=3%. Oblicz wartość tego kapitału po 4 latach w przypadku kapitalizacji rocznej, półrocznej, kwartalnej, miesięcznej.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 3:

VW Bank oferuje lokatę „overnight Plus”. Minimalna wpłata wynosi 500 000 zł, a oprocentowanie 3%.

0x01 graphic

Kapitalizacja ciągła

Kapitalizacja ciągła - jest to graniczny przypadek kapitalizacji w podokresach, gdy liczba podokresów m, na które został podzielony rok dąży do nieskończoności.

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład:

Dla danych z przykładu 2

0x01 graphic

Równoważność warunków oprocentowania złożonego

Często spotykamy sytuację, gdy:

dla A: 0x01 graphic

dla B: 0x01 graphic

Odp. Lepsza jest oferta banku B.

Można też obliczyć:

A 0x01 graphic

B 0x01 graphic

Zachodzi więc potrzeba porównania wariantów

P.S. Dwa warianty oprocentowania złożonego są równoważne, gdy dla obu wariantów ten sam kapitał początkowy 0x01 graphic
osiąga po tym samym czasie identyczną wartość !!!

Dwa warianty oprocentowania złożonego są równoważne, gdy:

0x01 graphic
czyli

0x01 graphic

Efektywna stopa oprocentowania

Przy kapitalizacji w podokresach wartość kapitału końcowego jest rosnącą funkcją liczby podokresów n

Dla każdego n oraz m=1,2,4,12 prawdziwa jest nierówność:

0x01 graphic

0x01 graphic
- jest to efektywna stopa. Efektywną stopą nazywamy stopę procentową 0x01 graphic
równą stopie 0x01 graphic
. Może ona być wykorzystywana do porównywania różnych wariantów oprocentowania złożonego

Wzór na efektywną stopę oprocentowania:

0x01 graphic

0x01 graphic

W Excelu można to zrobić za pomocą formuły: EFFECT(stopa_nominalna;npery)

Przeciętna stopa procentowa

Obliczając wartość końcową kapitału musimy uwzględnić ewentualne zmiany warunków procentowania

Założenia:

0x01 graphic

Wartość kapitału w kolejnych latach nie będzie ciągiem geometrycznym !!!

0x01 graphic
- stopa przeciętna

0x01 graphic
można wyliczyć z:

0x01 graphic

Wyraża się ona wzorem:

0x01 graphic

lub:

0x01 graphic

„Uśredniony” czynnik procentowy 0x01 graphic
jest średnią geometryczną czynników procentowych 0x01 graphic
, …, 0x01 graphic

Inflacja - wzór Fishera

Duża inflacja może spowodować, że rzeczywista wartość złożonego na lokacie bankowej kapitału zamiast rosnąć, będzie maleć.

Oznaczenia:

0x01 graphic
nominalna stopa procentowa

0x01 graphic
stopa inflacji [względny przyrost ceny]

0x01 graphic
rzeczywista [realna] stopa procentowa uwzględniająca zjawisko inflacji

0x01 graphic
kapitał początkowy

0x01 graphic
początkowa cena wzorcowego koszyka dóbr

0x01 graphic
siła nabywcza kapitału 0x01 graphic

Gdyby nie było inflacji dla 0x01 graphic
siła nabywcza 0x01 graphic
byłaby równa:

0x01 graphic

W przypadku inflacji siła nabywcza będzie równa:

0x01 graphic

Stopa wzrostu siły nabywczej:

0x01 graphic

Wzór na realną stopę inflacji ma zatem postać:

0x01 graphic

Dodatkowo dla niewielkiego 0x01 graphic
zachodzi równość: 0x01 graphic

0x01 graphic
wzór Fishera:

0x01 graphic

Łączna stopa inflacji w k-okresach wynosi: 0x01 graphic

Przeciętna stopa inflacji: 0x01 graphic

Oprocentowanie proste

O oprocentowaniu prostym mówimy wtedy, gdy odsetki obliczane są jedynie od początkowej wartości kapitału 0x01 graphic

Oprocentowanie to stosuje się przy obliczaniu odsetek an czas krótszy od okresu ich kapitalizacji.

Oznaczenia:

0x01 graphic
kapitał początkowy

0x01 graphic
czas oprocentowania

0x01 graphic
roczna stopa procentowa

0x01 graphic
wartość kapitału końcowego

0x01 graphic
odsetki skumulowane

0x01 graphic

Przyszła wartość kapitału:

0x01 graphic

Wzór na odsetki skumulowane: 0x01 graphic

Porównanie oprocentowania prostego i złożonego

Oprocentowanie proste stosuje się przy obliczaniu odsetek za czas krótszy od okresu ich kapitalizacji.

Dla każdego 0x01 graphic
zachodzi:

0x01 graphic

0x01 graphic
czas oprocentowania kapitału w latach [nie musi być liczbą całkowitą!]

0x01 graphic
największa liczba całkowita nie większa niż 0x01 graphic
(np. dla 1,5 = 1 dla 2,1 =2 dla 5=5)

0x01 graphic
cześć ułamkowa liczby 0x01 graphic

W przypadku gdy 0x01 graphic
nie jest liczbą całkowitą, obliczanie przyszłej wartości odbywa się dwuetapowo:

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

0x01 graphic

Natomiast gdyby w całym okresie 0x01 graphic
obowiązywało oprocentowanie złożone to 0x01 graphic
byłoby równe:

0x01 graphic

Ponieważ dla 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
zachodzi 0x01 graphic
to:

0x01 graphic

WYKŁAD 3

Dyskontowanie

Z porównywaniem wartości pieniądza w czasie wiążą się dwie operacje finansowe:

Oprocentowanie - polega na obliczeniu kwoty do jakiej wzrośnie po określonym czasie początkowy kapitał

Dyskontowanie - jest operacją odwrotną do oprocentowania. Polega na wyznaczeniu bieżącej wartości pieniądza na podstawie przyszłej wartości.

W przypadku oprocentowania złożonego:

0x01 graphic

Lub

0x01 graphic

0x01 graphic
- roczna stopa procentowa 0x01 graphic
- roczny czynnik dyskontujący

różnica

0x01 graphic

Nazywa się dyskontem złożonym przy stopie procentowej 0x01 graphic

Ze wzoru na wartość kapitału końcowego przy kapitalizacji w podokresach otrzymujemy:

0x01 graphic
lub 0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
- lata

0x01 graphic
- podokresy kapitalizacji

W przypadku kapitalizacji ciągłej otrzymujemy formułę:

0x01 graphic

Dyskontowanie pozwala na porównywanie kapitałów w różnych momentach czasu.

Równoważność kapitałów w różnych momentach czasu:

0x01 graphic

Czyli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
są równoważne gdy bieżące wartości tych kapitałów obliczone na ten sam moment są sobie równe !

Przykład 1

Pan X chce sprzedać dom i zgłosiło się do niego dwóch potencjalnych kupców.

Jeden z nich jest gotowy zapłacić natychmiast 400 000 zł, a drugi proponuje 405 000 zł za 3 miesiące - będąc przy tym wiarygodnym.

Która z ofert jest dla Pana X korzystniejsza jeśli przyjąć:

Rozwiązanie:

Bieżąca wartość 2 oferty: 0x01 graphic

Wartość przyszła 1 oferty: 0x01 graphic

Odp. Propozycja pierwszego kupującego jest korzystniejsza.

Strumienie pieniędzy i ich wartość bieżąca

Cash flow - wpływy i wypływy pieniędzy, które mają miejsce w jednakowych odstępach czasu np. spłaty kredytów, regularne wpłaty na lokatę bankową, renty, przychody osiągane w kolejnych latach przez inwestora

0x08 graphic
0x01 graphic

Gdzie:

CF0 - płatność [przychód lub wydatek] w chwili początkowej

CFi (i=1,2,3…n) - płatność przypadająca na koniec i-tego okresu

Wartość bieżąca strumienia pieniędzy

Musimy każdy element tego strumienia sprowadzić do chwili obecnej [zdyskontować] a następnie zsumować otrzymane w ten sposób wielkości.

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
- stopa procentowa

UWAGA !!!

0x01 graphic
rozumiemy tu jako wielkość która mówi o ile procent wzrasta zaangażowany kapitał na koniec każdego okresu niezależnie od przyczyny tego wzrostu np. oprocentowanie lokaty, rentowność przedsięwzięcia, stopa zysku

Przykład 2

Pan LM wygrał na loterii 1 000 000 $. Zgodnie z regulaminem kwota została wypłacona w 9 ratach:

Rozwiązanie:

0x01 graphic

Otrzymujemy:

0x01 graphic

Cash flow z jednakowymi strumieniami płatności

Wzór na bieżącą wartość strumienia:

0x01 graphic

0x01 graphic

Która wyraża aktualną wartość strumienia jednostkowych płatności dokonywanych w momentach 1,2,3…n przy stopie procentowej 0x01 graphic
.

Wzór możemy zapisać w postaci

0x01 graphic

Analogicznie dla strumienia 0x01 graphic
jednakowych płatności „z góry”

0x01 graphic
0x01 graphic

Otrzymujemy wzór:

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Zachodzi wzór:

0x01 graphic

Definicja:

Przy oprocentowaniu złożonym dwa strumienie płatności nazywamy równoważnymi, gdy ich wartości aktualne obliczone na ten sam, dowolny moment są sobie równe.

Przykład 3

Strumień płatności złożonych z 12 rat po 200 zł chcemy zastąpić równoważnym mu strumieniem 4 rat kwartalnych przy oprocentowaniu rocznym 12%. Obliczyć wielkość rat kwartalnych

Rozwiązanie:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ponieważ:

0x01 graphic

To aktualna zdyskontowana wartość strumienia 12 rat wynosi:

0x01 graphic

Raty kwartalne:

0x01 graphic

Z definicji równoważności strumieni płatności otrzymujemy:

0x01 graphic

Ten sam wynik otrzymalibyśmy wybierając inny moment aktualizacji

Dynamiczne metody oceny inwestycji

Metoda NPV [wartość bieżąca netto]

Gdzie:

0x01 graphic
- liczba rozważanych okresów czasu - czas zużycia ekonomicznego inwestycji

0x01 graphic
- jest stała

0x01 graphic
- nakłady, które musimy ponieść aby uruchomić inwestycję

0x01 graphic
- przewidywane przychody lub wydatki w kolejnych okresach

Definicja

Wartość bieżąca netto inwestycji:

0x01 graphic

Czyli wartość bieżąca strumienia przepływów pieniężnych 0x01 graphic

Jeśli 0x01 graphic
to inwestycja jest opłacalna

Jeśli 0x01 graphic
to inwestycja jest nieopłacalna

Przy porównywaniu kilku wariantów inwestycji stosujemy zasadę maksymalizacji NPV tzn. realizujemy projekt, dla którego NPV przyjmuje największą wartość dodatnią.

Przykład 4

Planujemy zakup nowego urządzenia. Przepływy podane są w tabelce.

Stopa procentowa [kwartalna] jest równa r=0,01. Stosując NPV oceń opłacalność inwestycji.

Nr kwartału

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CFi

-10

-5

-1

-1

-1

-1

7

8

9

10

12

0x01 graphic

Odp. Ponieważ 0x01 graphic
można zdecydować się na kupno nowego urządzenia.

Przykład 5

Oprócz zakupu nowej maszyny bierzemy pod uwagę modernizację posiadanego urządzenia. Oceń opłacalność inwestycji.

Nr kwartału

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

CFi

-5

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0x01 graphic

Odp. Stosując maksymalizację NPV powinniśmy wybrać pierwszy wariant, czyli zakup nowego urządzenia.

Metoda IRR [wewnętrzna stopa zwrotu]

Jest to stopa % przy której w zakładanym okresie eksploatacji inwestycji zwróci się zainwestowany kapitał. Przy założeniu, że przepływy środków pieniężnych są realizowane wg stopy IRR.

IRR jest stopa spełniającą równanie:

0x01 graphic

Kryterium:

(k- koszt uzyskania kapitału Np. oprocentowanie pożyczki bankowej]

Wzór stosowany do obliczenia przybliżonej wartości IRR:

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
- wyznaczane są za pomocą metody prób i błędów wartości stopy procentowej dla których 0x01 graphic
i 0x01 graphic

W Excelu liczymy to z pomocą formuły IRR(wartość;wynik)

Przykład 6

Dla danych z przykładów 4 i 5

0x01 graphic

0x01 graphic

Odp. W tym przypadku zgodnie z kryterium maksymalizacji IRR należałoby wybrać wariant modernizacji urządzenia, podczas gdy z NPV wynikałoby, ze należy zakupić nowe urządzenie.

WYKŁAD 4

Podstawy wyceny obligacji

Akcje i obligacje są podstawowymi instrumentami rynku kapitałowego.

Obligacja [ang. Bond] - papier wartościowy potwierdzający nabycie przez jego posiadacza prawa do otrzymywania w określonym terminie sumy pieniężnej określonej w obligacji.

Termin wykupu - dzień, od którego poczynając obligacja podlega wykupowi.

Wartość nominalna [face value] - wartość, którą posiadacz otrzymuje od emitenta po upływie terminu wykupu.

Obligacje o stałym oprocentowaniu

Wycena obligacji pozwala na:

Cena obligacji zależy głownie od wielkości odsetek.

Dwa rodzaje cen obligacji:

Cena brudna = cena czysta + odsetki

Cena brudna 0x01 graphic
cena czysta

0x01 graphic

Cena czysta i brudna obligacji 3-letnich o wartości nominalnej 100 i oprocentowaniu 10%

Notowania giełdowe cen obligacji podawane są zazwyczaj jako ceny „czyste” w procentach ceny nominalnej.

Podstawowy wzór stosowany do wyceny obligacji:

0x01 graphic

Gdzie:

P - wartość obligacji

Ct- dochód uzyskany w okresie t-tym

r - wymagana stopa dochodu inwestora

n - liczba okresów, które pozostały do terminu wykupu obligacji

Wymagana stopa dochodu inwestor r ustalana jest na podstawie stóp dochodu obligacji podobnego typu, podawanych w środkach masowego przekazu.

Wartość obligacji P jest tzw. „wartością wewnętrzną” obligacji. Porównuje się ją z wartością rynkową [ceną] obligacji i dokonuje zakupu gdy jest większa niż cena lub sprzedaży, gdy jest mniejsza.

Przykład 1

Dana jest obligacja o stałym oprocentowaniu z 3-letnim terminem wykupu o wartości nominalnej 100, a odsetki płacone są co roku. Oprocentowanie wynosi 10% a zatem roczne odsetki wynoszą 10.

Wiedząc, że wymagana stopa dochodu inwestora wynosi 8% oblicz wartość obligacji.

0x01 graphic

Odp. Inwestor może kupić obligacje, gdy jej cena nie przekracza 105,15

Stopa dochodu w okresie od wykupu [YTM].

Jest ona dodatnim rozwiązaniem równania:

0x01 graphic

Jest to stopa dochodu obligacji przy znajomości wartości rynkowej obligacji

YTM jest szczególnym przypadkiem IRR dla inwestycji polegającej na kupnie obligacji.

YTM -jest to stopa dochodu jaką otrzyma inwestor, który zakupi obligacje po cenie P.

Przykład 2

Dana jest obligacja z 2-letnim terminem wykupu o wartości nominalnej 100 i cenie 92 i oprocentowaniu 10%. Przy czym odsetki płacone są co roku. Oblicz YTM.

0x01 graphic

0x01 graphic

W przypadku kiedy odsetki są wyznaczane częściej niż raz w roku to YTM wyznacza się wzorem:

0x01 graphic

Renty

Renta [annuity] - ciąg płatności okresowych długoterminowych. To ciąg wpłat lub wypłat płaconych w równych odstępach czasu.

Rodzaje rent:

    1. Renty pewne - wypłacane przez uzgodniony z góry okres, niezależnie od tego czy rentobiorca żyje

    2. Renty życiowe - wypłacane do momentu śmierci rentobiorcy

  1. Renty czasowe - gdy liczba rat jest skończona

  2. Renty wieczyste - gdy liczba rat jest nieskończona

  1. Renty proste - kapitalizacja jest równoczesna z wypłatami renty

  2. Renty uogólnione - okresy płatności są krótsze lub dłuższe od okresów kapitalizacji odsetek

  1. Renty płatne natychmiast

  2. Renty odroczone

  1. Renty płatne z dołu

  2. Renty płatne z góry

Renty pewne n-letnie [czasowe, proste, różne]

Renty wypłacane z dołu [coroczne w stałej wysokości równej R]

Wzór na obecną i przyszłą wartość takie renty:

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
oznacza przyszłą wartość strumieni n-jednakowych wpłat [z dołu przy stopie procentowe r]

Między funkcjami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
zachodzi związek:

0x01 graphic

Renty wypłacane z góry [coroczne i w stałej wysokości równej R]

Wzór na obecną i przyszłą wartość takiej renty:

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic

0x01 graphic

Zachodzi wzór:

0x01 graphic

Uwagi

Renty wieczyste

Renty wieczyste to ciąg płatności dokonywanych okresowo na rzecz rentobiorcy.

Ze wzorów 0x01 graphic
i 0x01 graphic
wynika, że gdy 0x01 graphic
to wartość aktualna renty wieczystej

wypłacanej z dołu wynosi:

0x01 graphic

A wypłacanej z góry wynosi:

0x01 graphic

Wniosek: Jeśli dysponujemy kapitałem rentowym w wysokości S to wysokość rat

wypłacanych z dołu:

…………………………………

Wypłacanych z góry:

0x01 graphic

Renty tworzące ciąg asymetryczny

0x01 graphic

0x01 graphic

Wartość aktualna takiej renty jest równa:

0x01 graphic

Renty tworzące ciąg geometryczny

0x01 graphic

dla 0x01 graphic

0x01 graphic

dla 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Renta pewna n-letnia, płatna m-razy w roku

W przypadku, gdy 0x01 graphic
to mamy do czynienia ze śródroczną kapitalizacją odsetek

Gdy renta wypłacana jest z dołu w wysokości 0x01 graphic
wtedy wzór na aktualną wartość takiej renty wynosi:

0x01 graphic

Stopa:

0x01 graphic

Która dla 0x01 graphic
przybiera postać 0x01 graphic

WYKŁAD 5

Rozliczenia związane ze spłatą długów

Spłata długu - jest to spłata kredytu lub pożyczki

Kredyt:

Pożyczka:

S- wielkość zaciągniętego długu

N - liczba rat

r - roczna stopa procentowa

1+r lub (q) - czynnik procentowy

Dług został spłacony jeśli w określonym czasie suma spłaconych rat jest równa zaciągniętej kwocie wraz z odsetkami z tytułu użytkowania wypożyczonego kapitału

Oznaczenia:

An- wysokość n-tej raty

Tn - kwota długu zawarta w n-tej racie

Zn - odsetki spłacane w n-tej racie

Sn - reszta długu, która została dopłacenia po wpłacie n-tej raty

Z - suma wszystkich odsetek [odsetki skumulowane]

Wzór na wysokość n-tej raty:

0x01 graphic

Raty mogą być spłacane:

Istnieje wiele różnych planów spłaty długu

(An), (Tn), (Zn), (Sn)

Oraz

0x01 graphic

Ciągi powyższe nie są niezależne!!!

Schematy spłaty długów

Schemat 1

Znane są wysokości rat 0x01 graphic

Pozostałe elementy planu spłaty długu wyznacza się z poniższych wzorów:

0x01 graphic
- reszta długu która pozostała do zapłacenia po wpłacie n-tej raty

0x01 graphic
0x01 graphic
- odsetki

0x01 graphic
- kwota długu zawarta w n-tej racie

0x01 graphic
- suma wszystkich odsetek

Schemat 2

Znany jest ciąg 0x01 graphic

Wtedy:

0x01 graphic
- reszta długu, która pozostała do zapłacenia po wpłacie n-tej raty

0x01 graphic
- odsetki

0x01 graphic
- wysokość n-tej raty

0x01 graphic
- suma wszystkich odsetek

Problem 1

Dług S mamy spłacić w N ratach.

Zakładamy, że wysokość rat: 0x01 graphic
zostały uzgodnione z wierzycielem. Obliczyć wysokość 0x01 graphic
ostatniej raty oraz ciąg.

Przykład 1 [będzie na egzaminie]

Wyznaczyć plan spłaty kredytu konsumpcyjnego w wysokości S=100 000 zł zaciągniętego na okres 5 lat znając wysokość 4 pierwszych rat.

0x01 graphic

I wiedząc, ze oprocentowanie wynosi 10%.

Pominąć koszty prowizji i ubezpieczenia.

Rozwiązanie:

Mamy:

N= 5 lat

r=0,1 (10%)

q lub 1+r =1,1

0x01 graphic
oznaczamy 0x01 graphic
= 100 [tysięcy]

Korzystając ze wzorów ze schematu 1 otrzymujemy:

0x01 graphic
[tysięcy zł]

0x01 graphic
[tysięcy zł]

0x01 graphic
[tysięcy zł]

Odp. Do spłacenia zostało 70 000 zł

0x01 graphic
[tysięcy zł]

0x01 graphic
[tysiące zł]

0x01 graphic
[tysięcy zł]

0x01 graphic
[tysiąca zł]

0x01 graphic
[tysiąca zł]

0x01 graphic
[tysiąca zł]

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Tabelka

n

An

Tn

Zn

Sn

1

2

3

4

5

40

30

20

20

16,357

30

23

15,3

16,83

14,87

10

7

4,7

3,17

1,487

70

47

31,7

14,87

0

suma

126,357

100

26,357

Problem 2

Raty o równych częściach długu. Dług S chcemy spłacić w N ratach, z których każda zawiera równą [jednakową] cześć długu

0x01 graphic

Przypadek 1

[spłaty zgodne z okresem stopy procentowej i okresem kapitalizacji]

Ciągi 0x01 graphic
można wyznaczyć posługując się wzorami ze schematu II

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przypadek 2

spłaty w podokresach stopy procentowej. Rok został podzielony na 0x01 graphic
równych podokresów.

Dług S ma być spłacony w mN ratach

w tym przypadku:

0x01 graphic
gdzie (k=1,2,3…., mN)

Każdy z pozostałych ciągów:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
również liczby mN elementów.

W zależności od sposobu w jaki doliczane są odsetki otrzymujemy różne plany spłaty długów. Odpowiednio mamy:

Plan 1

Odsetki doliczane SA w podokresach

- zamiast 0x01 graphic
przyjmujemy 0x01 graphic

- zamiast 0x01 graphic
otrzymujemy 0x01 graphic

- liczba rat jest równa 0x01 graphic

Dla każdego 0x01 graphic
otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdy m=1 wzory powyższe są takie same jak w przypadku 1

Dla m>1 natomiast

0x01 graphic

Dokładne [skumulowane odsetki]: 0x01 graphic

Przykład 2

Kredyt 70 000 zł ma być spłacony w ciągu 10 lat w miesięcznych ratach zawierających równą część długu. Roczna stopa r=0,06 (6%) oraz odsetki doliczane są wg opisanego wyżej planu.

Obliczyć wysokość skumulowanych odsetek

Rozwiązanie:

S= 70 000 ZŁ

N=10

m=12

R=0,06

Ze wzoru otrzymujemy:

0x01 graphic

Problem 3

Raty o równych wysokościach. Dług chcemy spłacić w równej wysokości np. A

Spłata zgodna z okresem stopy procentowej i okresem kapitalizacji:

0x01 graphic

W którym wystarczy przyjąć:

0x01 graphic

Otrzymujemy równanie:

0x01 graphic

0x01 graphic

Otrzymujemy:

0x01 graphic

Pozostałe elementy planu:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Spłaty w podokresach stopy procentowej.

Rok dzielimy na 0x01 graphic
podokresów i w każdym z tych podokresów dokonuje się spłaty długu w równych ratach i wielkości a. Łączna liczba rat wynosi mN.

  1. odsetki doliczane są zgodnie z okresem stopy procentowej, raty spłacane z góry:

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. odsetki doliczane są w podokresach na postawie stopy procentowej. Raty spłacane są z góry.

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdzie: 0x01 graphic

WYKŁAD 6

Elementy matematyki ubezpieczeniowej

Rozkład czasu trwania życia - zakłada się, ze czas życia ludzkiego jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym

(x) - osoba, która obecnie ma x lat

(0) - noworodek

X- długość życia ludzkiego

W - maksymalny czas trwania życia dla danej generacji

0x01 graphic

Funkcja trwania życia [funkcja przeżycia]: 0x01 graphic

Czas dalszego trwania życia: 0x01 graphic
0x01 graphic

Prawdopodobieństwo, ze x-latek dożyje wieku x+1 lat: 0x01 graphic

Prawdopodobieństwo, ze x-latek nie osiągnie wieku x+t lat: 0x01 graphic

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, ze x-latek umrze w ciągu roku

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo, ze x-latek przeżyje kolejny rok

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo, że x-latek przeżyje t lat i umrze w ciągu następnych u lat:

0x01 graphic

Intensywność umieralności

Prawdopodobieństwo zgonu dokładnie w wieku x lat: 0x01 graphic

Siła życia: 0x01 graphic

0x01 graphic

Hipotezy dotyczące rozkładu trwania życia ludzkiego

Hipoteza de Maivera:

0x01 graphic
0x01 graphic

Hipoteza Kompertza:

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic

Hipoteza W.M. Makehama:

0x01 graphic

0x01 graphic

Całkowity czas trwania życia: 0x01 graphic
liczba pełnych lat jakie przeżyje x-latek

Rozkład zmiennej skokowej K(x)

Dla k=0,1,2,……

0x01 graphic

Dystrybuanta zmiennej k(x)

0x01 graphic
dla k=0,1,2,3,…..

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Tablice trwania życia [wymieralności]:

0x01 graphic
- przeciętna liczba zgonów w przedziale lx-lx+1

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo zgonu w przeciągu roku

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo przeżycia roku przez x-latka

0x01 graphic
- przeciętna liczba osób dożywających wieku 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ubezpieczenie na życie

Ubezpieczeniem na życie nazywamy umowę [kontrakt ubezpieczeniowy] miedzy ubezpieczonym, a ubezpieczycielem, w której:

Rodzaje ubezpieczeń na życie:

Składka ubezpieczeniowa brutto i netto

Składka ubezpieczeniowa brutto jest sumą:

Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci - ubezpieczenie, którym płatność sumy ubezpieczenia na rzecz spadkobierców występujących w umowie ubezpieczeniowej następuje po śmierci ubezpieczonego

WYKŁAD 7

Osoba ubezpieczona ma w momencie zawierania umowy ubezpieczeniowej x lat [wiek wstępny]

Suma ubezpieczenia zostaje wypłacona na końcu roku w którym nastąpi śmierć osoby ubezpieczonej

Suma wypłaty wynosi 1 jednostkę pieniężną (1jp) [suma ubezpieczenia]

S- zmienna losowa określająca wysokość przyszłych świadczeń zdyskontowana na moment zawierania ubezpieczenia [aktualna wartość przyszłych świadczeń]

Jednorazową składkę netto obliczamy przyjmując, ze jest ona równa wartości oczekiwanej zmiennej losowej S

Ax - jednorazowa składka

0x01 graphic

Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wysokość składki Ax można obliczyć także za pomocą liczb komutacyjnych, które można znaleźć w tablicach ubezpieczeniowych: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład 1

Obliczyć jednostkową składkę netto w ubezpieczeniu na wypadek śmierci na kwotę 10 000 zł mężczyzny 50-letniego z miasta.

Przyjmując, ze r=0,1 (10%)

0x01 graphic

0x01 graphic

Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci

Czasowym [n-letnim] ubezpieczeniem na wypadek śmierci nazywamy umowę na mocy, której wypłata sumy ubezpieczenia na rzecz spadkobierców dokonuje się po śmierci ubezpieczonego, jeśli nastąpi ona n-lat od momentu ubezpieczenia.

Jeśli ubezpieczony przeżyje n-lat wówczas ubezpieczyciel nie wypłaca sumy ubezpieczenia. - wypłata sumy ubezpieczenia może w ogóle nie nastąpić!!!

0x01 graphic
gdy k=0,1,2,…,n-1

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Czyste ubezpieczenie na dożycie

Jest to ubezpieczenie, w którym suma ubezpieczenia jest wypłacana w końcu n-tego roku, jeżeli ubezpieczony będący w wieku x-lat w momencie zawierania ubezpieczenia dożyje wieku x+n lat

0x01 graphic
gdy k=0,1,2,,… n-1

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ubezpieczenie na dożycie [n-letnie]

Jest to ubezpieczenie na mocy którego suma ubezpieczenia wypłacana jest w wypadku śmierci ubezpieczonego jeśli nastąpi ona w ciągu n-pierwszych lat od momentu zawarcia ubezpieczenia lub na koniec roku n, jeśli ubezpieczony będący w wieku x- lat dożyje x+n lat

0x01 graphic
gdy k=0,1,2,…,n-1

0x01 graphic
gdy 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

26

wydatki

przychody

CF1

CF0

CF2

CFn-1

CFn



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Prawo Finansowe prof Lemmonier id 386615
Opracowanie z prawa finansowego, Prawo finansowe - prof
Podstawy Audytu Finansowego prof UE dr hab J Pfaff
Prawo Finansowe prof Lemmonier id 386615
ANATOMIA wykład 7 układ limfatyczny; prof Łakomy
Wykład 1 - Terapia Manualna (prof. Śliwiński), fizjo
Metodologia - wykład 5.12.2010 - prof. Urbaniak - Zając, Metodologia nauk społecznych
Biomedyczne wyklady dawne lata prof J Cieslik, biomedyczne podstawy rozwoju i wychowania ( Anita Szw
ochrona zdrowia wykład, ISNS, od prof Hrynkiewicz
Wyklady ochrona srodowiska prof Gollinger, Study, Ochrona srodowiska, ochrona środowiska
WYKLAD~1, FIZYKA (W1 prof
notatki z wykładów - 2013-2014 - prof. Dąbrowski - KOMPARATYSTYKA, wprowadzenie do komparatystyki
03 134356 Negocjacje w biznesie (wyklady), Negocjacje w biznesie Prof
ANATOMIA wykład 6 układ krwionośny; prof Łakomy

więcej podobnych podstron