Analiza niedokładności wyników pomiarów.

Pomiary bezpośrednie

W pomiarach bezpośrednich niedokładność wyniku zależy od niedokładności urządzenia pomiarowego. Wskaźnikiem niedokładność urządzenia pomiarowego jest wskaźnik klasy urządzenia ၤ_kl [%].

Przykład:

ၤ_kl% = 0,05%

Δ_R = ၤ_kl% 10^-2 R, gdzie R - zakres

Pomiary pośrednie (przenoszenie błędów)

W pomiarach pośrednich całkowitą niedokładność uzyskiwanego wyniku należy określić stosując prawo propagacji (przenoszenia) niedokładności poszczególnych wielkości występujących w określonym równaniu przetwarzania wiążącym wielkości mierzone bezpośrednio.

Prawo propagacji niedokładności:

W praktyce stosowanie prawa propagacji niedokładności składowych na całkowity wynik pomiaru polega na:

1. rozwinięciu równania przetwarzania w szereg Taylora (z reguły wystarcza ograniczenie do wyrazu I rzędu)

2. wykonaniu działań na liczbach tolerowanych.

W obu przypadkach najpierw złożone równanie przetwarzania przekształcamy na sumę lub różnicę lub inne działanie typowych funkcji pomiarowych.

1) rozwinięcie w szereg Taylora

2) działania na liczbach tolerowanych

Aby porównać wyniki pomiarów uzyskane różnymi metodami w różnych warunkach i różną aparaturą konieczne jest dysponowanie wartościami błędów względnych.

Jeśli równanie przetwarzania jest funkcją mnożeni, dzielenia lub potęgowania to liczymy wypadkową niedokładności względnych.

Pomiary przyrządami elektromechanicznymi

Rozdzielczość każdego urządzenia analogowego określa się jako wartość odpowiadającą ½ elementarnej działki na danym zakresie pomiarowym.

Przykład:

Woltomierz, zakres - 150V, liczba działek - α_max = 300dz

1 działka: 0,5V

Δ_rozdz =
0,5V = 0,25V

Wskaźnik klasy przyrządu analogowego elektromechanicznego wyznacza graniczny błąd względny pomiaru wielkości o wartości równej końcowi zakresu pomiarowego.

Błąd pomiaru dla wskazań bliskich zeru na danym zakresie dąży do nieskończoności.

Pomiary przyrządami cyfrowymi

Bezwzględny błąd pomiaru przyrządu pomiarowego jest stały na danym zakresie i jest sumą dwóch składników. Zależy od zakresu i rozdzielczości.

Przykład:

Rozdzielczość: U_wsk (rdg), Czułość: ၤ1% = 0,01%, Dokładność: k = 3

Δ_pomU = ±(0,01% · 10^-2 145,8 + 3 · 0.1) mV = ±(10^-4 · 145,8 + 0,3) mV

Δ_pomU = ±(0,01485 + 0,3) mV ≈ 0,4mV

Serie małoliczne

Przy ocenie posługujemy się analizą statystyczną i stosujemy rozkład prawdopodobieństwa Studenta-Fishera:

Serie liczne

Przy ocenie posługujemy się analizą statystyczną i stosujemy rozkład prawdopodobieństwa Gaussa (Normalny):

Statystyczna ocena wyników uzyskiwanych w seriach pomiarowych

Seria wyników pomiarów może być obarczona błędami aparaturowymi (graniczne błędy przyrządu) lub błędami przypadkowymi (spowodowanymi najczęściej nieznanymi źródłami zakłóceń).

W celu wyboru rodzaju obliczenia niedokładności wyniku uzyskanego w serii pomiarowej, przeprowadza się procedurę badania niedokładności.

Serie pomiarowe dzielimy na:

- małoliczne

- liczne

Aby określona liczba odczytów dawała serię wyników obarczonych wpływem błędów przypadkowych, to odczytane wartości mogą się różnić na ostatnich miejscach znaczących. Odrzucamy wyniki serii obarczone błędami nadmiernymi.

1° Ocena niedokładności spowodowanej rozrzutem wyników serii. Przyjmujemy poziom ufności α, istotności q = 1 - α, liczba pomiarów n, liczba stopni swobody k = n - 1:

-wyznaczanie miary skupienia (średnia arytmetyczna):

-wyznaczanie miary rozrzutu.

odchylenie pojedynczego pomiaru:

średnie odchylenie kwadratowe:

odchylenie standardowe (dla poj. pomiaru):

odchylenie standardowe (dla średniej):

niedokładność bezwzględna:

-obliczanie błędów granicznych dla obu wariantów:

ME

Δ_gr = ၤ_kl ∙10^-2 ∙ zakres

CYF

Δ_gr = ၤ_kl ∙ 10^-2 ∙ zakres + Δz

2° Badanie dominacji niedokładności.

W prawidłowo skonstruowanym układzie pomiarowym najlepsza powinna być dokładność, potem czułość (reakcja na zmiany wartości).

Poziom i przedział ufności

Prawdopodobieństwo, że określona wartość napięcia U mieści się w wyznaczonym przedziale wynosi α (poziom ufności).

Prostokąty błędów

Zapis i zaokrąglanie surowych wyników pomiarów

Cyfrą znaczącą jest każda z wyjątkiem 0 na początku liczby dziesiętnej.

Zaokrąglanie dotyczy wyników surowych, których zarówno wartości zmierzonej lub obliczonej p jaki określającej niedokładność Δp lub δp występuje niekiedy bardzo znaczna liczba cyfr znaczących.

Poza wszelkimi regułami dotyczącymi zaokrąglania należy przede wszystkim stosować zasadę „zdrowego rozsądku”.

Zaokrąglając wyniki pomiaru należy pozostawiać w pomiarach technicznych nie więcej niż dwie cyfry po przecinku. W pomiarach laboratoryjnych pozostawiamy ich więcej, a o liczbie pozostawianych cyfr decyduje cel pomiaru i zastosowana aparatura.

W obliczonej czy zmierzonej wartości i określającej jej niedokładności winna być ta sama liczba cyfr znaczących.

Przy liczeniu wypadkowej niedokładności pomiaru bezpośredniego wypadkowa wartość nie może być zaokrąglana do większej liczby cyfr znaczących niż najsłabiej określony element równania przetwarzania.

Przykład 1:

Sumowanie oporów.

R1 = 134,58 Ω

R2 = 100,3458 Ω

R = R1 + R2

Rsur = 234,9258 Ω

Rzaokr = 234,93 Ω

Przykład 2:

Kolejne etapy zaokrąglania.

U = (3,1458213 ± 0,412110) V

U = (3,145821 ± 0,41212) V

U = (3,14582 ± 0,4122) V

U = (3,1458 ± 0,413) V

U = (3,146 ± 0,413) V

U = (3,15 ± 0,42) - pomiary cyfrowe

U = (3,2 ± 0,5) - pomiary analogowe

U = (3 ± 1) - wynik jest zbyt zgrubny

Zasady zaokrąglania wyników

Zaokrąglania wyników pomiaru dokonujemy na końcu analizy niedokładności określonego zadania pomiarowego pozostawiając w końcowym zapisie uzasadnioną liczbę cyfr znaczących.

Uzyskana wartość wielkości mierzonej i określającej ją niedokładności bezwzględnej muszą być podane z taką samą liczbą cyfr znaczących.

Przykład 1:

źle: p = 3,4185 ± 0,49

dobrze: p = 3,42 ± 0,49

W pomiarach pośrednich wynik mnożenia, dzielenia, dodawania itd. nie może być podany z większą liczbą cyfr znaczących niż najsłabiej określona wielkość składowa.

Przykład 2:

p = p1 + p2 = (3,481 ± 0,42) + (1,4213 ± 0,131)

źle: p = (4,9023 ± 0,551)

dobrze: p = (4,90 ± 0,56) lub p = (4,9 ± 0,6)

Przy odrzucaniu cyfr znaczących w trakcie zaokrąglania stosujemy następujące reguły:

1) liczba określająca niedokładność - zawsze w górę

2) liczba określająca wartość zmierzoną lub obliczoną - cyfra odrzucana mniejsza od pięciu: zaokrąglamy w dół; liczba odrzucana większa o pięciu: w górę. Jeśli zaokrąglana liczba jest równa piątce: zaokrąglamy w górę jeśli poprzedzająca liczba jest nieparzysta i zaokrąlamy w dół jeśli poprzedzająca jest parzysta.

Przykład 3:

3,4585 = 3,458

3,4575 = 3,458

3,4505 = 3,450

W wyniku należy pozostawić odpowiednio więcej cyfr znaczących jeśli błąd zaokrąglania przekroczy 10 %:

1

4

8

5

X-Δx

X

X+Δx

Y

Y-Δy

Y+Δy

---