Wpływ doboru regulator całkującego na zakłócenia w stanie ustalonym
Przyk ad:
w!poni"szym!uk adzie!okre#li$!wp yw!skokowych!zak óce%!na!wyj#cie!uk adu!
w stanie ustalonym
D1(s)
U(s)
1
k
R(s)=0 Y(s)
(s + 2)
s
_
D2(s)
s
Gd y (s) = d1(t) = 1(t) � y(t � Ą) = 0
1
s2 + 2s + k
k
Gd y (s) = -
d2 (t) = 1(t) � y(t � Ą) = -1
2
s2 + 2s + k
174
Inżynieria systemów dynamicznych
Stan ustalony - przykład
Przyk ad: Powró$my!do!przyk adu!sprzed!kilku!tygodni...
P
gorąca
ciecz
T
TIN T
zimna
ciecz
TIN(s)
G2(s)
P(s) G1(s) T(s)
T(s) b T(s) a
MCP 1
G1(s) = = G2(s) = =
a = b =
gdzie
P(s) s + a TIN (s) s + a
C C
175
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
M
ETODY OPISU UKA
ADÓW
Stan ustalony - przykłady
Zadanie 1: zaprojektowa! uk"ad regulacji temperatury cieczy na wyj#ciu
zbiornika
Zadanie 2: jaki b$dzie ustalony uchyb sterowania w przypadku zastosowania
regulatora proporcjonalnego w przypadku, gdy warto#ci% zadan% temperatury
na wyj#ciu b$dzie 50�C? Za"o&y!, &e temperatura cieczy na wlocie wynosi
0�C.
Zadanie 3: jaki b$dzie ustalony uchyb sterowania w przypadku zastosowania
regulatora ca"kuj%cego w przypadku, gdy warto#ci% zadan% temperatury na
wyj#ciu b$dzie 50�C? Za"o&y!, &e temperatura cieczy na wlocie wynosi 0�C.
Jaka b$dzie wtedy moc dostarczona do grza"ki?
Zadanie 4: o ile zmieni si$ w stanie ustalonym moc dostarczona do grza"ki,
je#li temperatura na wlocie skokowo zmieni si$ z 0�C na 10�C w uk"adzie z
regulatorem ca"kuj%cym?
176
Inżynieria systemów dynamicznych
Odpowiedz
przejściowa układu
Dany jest uk"ad o transmitancji
P(s) P(s)
G(s) = =
gdzie: pi  bieguny jednokrotne
n
Q(s)
an �(s - pi )
i=1
Odpowied' tego uk"adu na pobudzenie R(s)
P(s) P(s)
Y (s) = R(s)G(s) = = R(s) =
n
Q(s)
an �(s - pi )
i=1
k1 kn
= + + + Cr (s)
s - p1 s - pn odp .wymuszona
Cn(s)-odp .naturalna
1 n
y(t) = k1ep t + + knep t + cr (t)
177
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODY OPISU UKA
ADÓW
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
Odpowiedz
przejściowa układu
Przyk ad:
Wyznacz!odpowied"!skokow#!uk adu!o!transmitancji
Y(s) 1
G(s) = =
R(s) (10s +1)(s +1)
1
r(t) = 1(t) � R(s) =
s
10 1
1
9 9
Y(s) = R(s)G(s) = - +
s s + 0,1 s +1
10 1
�- e-t /10 + e-t ł1(t)
y(t) = 1(t) +
ę ś
9 9
� �
odp .wymuszona
odp .naturalna
178
Inżynieria systemów dynamicznych
Odpowiedz
przejściowa układu
10 1
�- e-t /10 + e-t ł1(t)
y(t) = 1(t) +
ę ś
9 9
� �
odp .wymuszona
odp .naturalna
0
(-10/9)e-t/10
-1
-2
0 10 20 30 40 50
0.2
(1/9)e-t
0.1
0
0 10 20 30 40 50
2
1(t)
1
0
0 10 20 30 40 50
1
y(t)
0.5
0
0 10 20 30 40 50
t
179
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
Odpowiedz
przejściowa układu
Przyk ad:
Wyznacz!odpowied"!skokow#!uk adu!o!transmitancji
Y(s) 30 30
G(s) = = =
R(s) (s +10)(s2 + 2s + 5) (s +10)(s +1- 2 j)(s +1+ 2 j)
1
r(t) = 1(t) � R(s) =
s
3 � 3 48 39 ł
ć �e-t �1(t)
y(t) = �1(t) +
ę- 85 e-10t - � 85 �cos 2t + 85 �sin 2t � ś
5
Ł ł
� �
odp .wymuszona
odp .naturalna
3
cr (t) = �1(t)
5
3
48 39
�e-t
cn1(t) = - e-10t �1(t)
cn2(t) = -ć �cos 2t + �sin 2t �1(t)
� �
85
85 85
Ł ł
180
Inżynieria systemów dynamicznych
Odpowiedz
przejściowa układu
0
cn1(t)
3
-0.02
cn1(t) = - e-10t �1(t)
85
-0.04
0 1 2 3 4 5
0.5
cn2(t)
0
48 39
�e-t
cn2(t) = -ć �cos 2t + �sin 2t �1(t)
� �
-0.5
85 85
Ł ł
-1
0 1 2 3 4 5
2
cr(t)
1
3
0
cr (t) = �1(t)
-1
5
0 1 2 3 4 5
1
y(t)
y(t) = cr (t) + cn1(t) + cn2(t)
0.5
odp .wymuszona
odp .naturalna
0
0 1 2 3 4 5
t
181
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
Odpowiedz
przejściowa układu
Przyk ad:
Wyznacz!odpowied"!o!transmitancji
Y(s) 1
G(s) = =
R(s) (10s +1)(s +1)
na sygnał: r(t) = sint �1(t)
1
r(t) = sin t �1(t) � R(s) =
s2 +1
11 9 100 1
�- cos t - sin tł1(t) + � ł1(t)
/10
y(t) =
ę ś ę909 e-t - 18 e-t ś
202 202
� � � �
odp .wymuszona odp .naturalna
11 9
�- cos t - sin tł �1(t)
cr (t) =
ę ś
202 202
� �
100
1
cn1(t) = e-t /10 �1(t)
cn2(t) = - e-t �1(t)
909
18
182
Inżynieria systemów dynamicznych
Odpowiedz
przejściowa układu
0.2
cn1(t)
100
0.1
cn1(t) = e-t /10 �1(t)
909
0
0 5 10 15
0
cn2(t)
1
-0.02
cn2(t) = - e-t �1(t)
-0.04
18
-0.06
0 5 10 15
0.1
cr(t)
11 9
�- cos t - sin tł �1(t)
0
cr (t) =
ę ś
202 202
� �
-0.1
0 5 10 15
0.2
y(t)
y(t) = cr (t) + cn1(t) + cn2(t)
0
odp .wymuszona
odp .naturalna
-0.2
0 5 10 15
t
183
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
Odpowiedz
przejściowa układu
Wnioski:
-o odpowiedzi przej!ciowej uk"adu decyduj# jego bieguny
-sk"adniki przej!ciowe zanikaj# tym szybciej, im dalej bieguny znajduj# si$ na
lewo od osi urojonej
W pewnych przypadkach mo%emy zast#pi& model wysokiego rz$du
modelem ni%szego rz$du w taki sposób, %e otrzymamy dobr# aproksymacj$
jego podstawowych charakterystyk.
184
Inżynieria systemów dynamicznych
Odpowiedz
przejściowa układu
Im
b a
Re
b
> 5
a
bieguny bieguny
bieguny odleg"e od osi bieguny !rednio
blisko osi niestabilne
urojonej, odpowied' odleg"e od osi
urojonej
szybko zanika, mo%na urojonej
pomin#&
Argumenty:
-prostsze projektowanie cz"onów ni%szego rz$du
-dobrze uzasadnione parametry modeli rzedu I i II
185
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE UKA
ADOM REGULACJI
Aproksymacja transmitancją II rzędu
Tn  czas narastania odpowiedzi
2
Y(s) kwn
Td  czas ustalania (d  najcz !ciej"w"procentach)
G(s) = =
2
U (s) s2 + 2zwns +wn TP  czas maksymalnego przeregulowania
MP  maksymalne przeregulowanie
y(t)
MP
2dk
k
0.9k
0.1k
t
TP
Td
Tn
186
Inżynieria systemów dynamicznych
Aproksymacja transmitancją II rzędu
Tn  czas narastania odpowiedzi
1,8
Tn =
wn
Td  czas ustalania (d  najcz !ciej"w"procentach)
4 3
T2% = , T5% =
zwn zwn
TP  czas maksymalnego przeregulowania
p
TP =
2
wn 1-z
MP  maksymalne przeregulowanie
-zp
ć �
2
1-z �
M = k�1+ e
P
� �
Ł ł
lub w procentach:
-zp
2
MP - k
1-z
M = �100% = e �100%
P%
k
187
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
Projektowanie układów II rzędu - przykład
Przyk ad:
Dany!jest!uk ad!regulacji!po o"enia!wa u!silnika!jak!na!poni"szym!rysunku.!
Wyznacz!warto#ci!a i k tak, aby czas narastania odpowiedzi skokowej
wynosi !0,45sek natomiast dwuprocentowy czas ustalania 2sek. Dla
wyznaczonych!warto#ci!wspó czynników!wykre#l!przebieg!napi$cia!
steruj%cego!u(t).
E (s)
U(s)
E (s)
1
R(s)
k
_ Y(s)
_ s(s + 2)
as
Odp.
k = 16 [V/rad]
a = 1/8 [s]
188
Inżynieria systemów dynamicznych
Projektowanie układów II rzędu - przykład
16
G(s) =
s2 + 4s +16
Step Response
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time (sec)
189
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
Amplitude
Projektowanie układów II rzędu - przykład
R(s) 16s(s + 2)
GRU (s) = =
U(s) s2 + 4s +16
Step Response
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time (sec)
190
Inżynieria systemów dynamicznych
Projektowanie układów II rzędu - wpływ ograniczeń
Przyk ad:
W!poprzednim!przyk adzie!rozwa"y#!wp yw!ograniczenia!wielko$ci!napi%cia!
steruj&cego!u(t).
schemat w Simulinku:
191
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
Amplitude
Projektowanie układów II rzędu - przykład
... i wynik symulacji
20
15
10
5
0
-5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
192
Inżynieria systemów dynamicznych
Projektowanie układów II rzędu  redukcja rzędu modelu poprzez odrzucenie "szybkiego" bieguna
Y(s) 1
G(s) = =
U(s) (0.2s +1)(s +1)(2s +1)
Y(s) 1
G1(s) = =
U(s) (s +1)(2s +1)
Porównanie odpowiedzi skokowej
1
0.9
0.8
h1(t)
0.7
0.6
0.5
h(t)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 5 10 15
t [sek]
Istniej! bardziej wyrafinowane metody redukcji rz"du modelu...
193
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
u(t)
y(t)
Projektowanie układów II rzędu  wpływ położenia biegunów na parametry odpowiedzi skokowej
2
Y(s) kwn
G(s) = =
2
U (s) s2 + 2zwns +wn
2 j arccos(-z )
0 < z <1 � s12 = -zwn ą jwn 1-z = wne
s12 = wn
Im
a = arccos z
2
wn 1-z
wn
a
-zwn
Re
194
Inżynieria systemów dynamicznych
Projektowanie układów II rzędu  wpływ położenia biegunów na parametry odpowiedzi skokowej
Problem 1:
Na płaszczyz
nie zespolonej wyznacz położenie biegunów układu II rzędu
zapewniające czas narastania odpowiedzi skokowej Tn1,8
1,8
Tn = < tn0
wn >
wn
tn0
Im
1,8
tn0
Re
195
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
Projektowanie układów II rzędu  wpływ położenia biegunów na parametry odpowiedzi skokowej
Problem 2:
Na p!aszczy"nie zespolonej wyznacz po!o#enie biegunów uk!adu II rz$du
zapewniaj%ce 5& czas regulacji T5%3
2
0 < z <1 � s12 = -zwn ą jwn 1-z
T5% = < tR
zwn
Im
3
-zwn < -
tR
3
-
Re
tR
196
Inżynieria systemów dynamicznych
Projektowanie układów II rzędu  wpływ położenia biegunów na parametry odpowiedzi skokowej
Problem 3:
Na p!aszczy"nie zespolonej wyznacz po!o#enie biegunów uk!adu II rz$du
zapewniaj%ce przeregulowanie MP%-zp
2
1
1-z
MP% = e �100%
0.8
M
- lnć P0% �
� � 0.6
Ł100% ł
z >
0.4
M
2
p + ln2ć P0% �
� �
Ł100% ł 0.2
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Mp%
80
60
40
a = arccosz
20
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Mp%
197
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
z
a
[�]
Projektowanie układów II rzędu  wpływ położenia biegunów na parametry odpowiedzi skokowej
Im
Re
198
Inżynieria systemów dynamicznych
Wprowadzenie
Problem:
Okre l,!jak!zmienia!si"!po#o$enie!biegunów!uk#adu!zamkni"tego!w!
zale$no ci!od!warto ci!wzmocnienia!regulatora!(k>0)
1
R(s)=0 Y(s)
k
s(s + 4)
_
k
G(s) =
s2 + 4s + k
199
Inżynieria systemów dynamicznych
M
ETODA BIEGUNÓW DOMINUJ
CYCH
L
INIE PIERWIASTKOWE
Wprowadzenie
1
R(s)=0 Y(s)
k
s(s + 4)
_
k
G(s) =
Im
s2 + 4s + k
k � Ą
k=0 k=4
k=0
0
-2
-4 Re
k � Ą
200
Inżynieria systemów dynamicznych
Wprowadzenie
taki sam rezultat uzyskamy korzystaj!c z Matlaba:
clear all; close all; clc;
clear all; close all; clc;
k=0:0.25:20;
s1=-2-sqrt(4-k);
s2=-2+sqrt(4-k);
plot(real(s1),imag(s1),'.');
hold on;
4
plot(real(s2),imag(s2),'.');
xlabel('Re(s)');
3 ylabel('Im(s)');
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
Re(s)
201
Inżynieria systemów dynamicznych
L
INIE PIERWIASTKOWE
L
INIE PIERWIASTKOWE
Im(s)
Wprowadzenie
wp yw!po o"enia!biegunów!na!kszta t!odpowiedzi!skokowej
1.4
k=20
k=10
1.2
1
0.8
k=4 k=2,5
Im
0.6 k=1
0.4
k � Ą
0.2
0
k=0 k=4
k=0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
0
-2
-4 Re
k � Ą
202
Inżynieria systemów dynamicznych
Definicja
Linie pierwiastkowe  miejsca!geometryczne!na!p aszczy#nie!zespolonej,!
pierwiastków!równania!charakterystycznego!uk adu!zamkni$tego!otrzymane,!
gdy!zmienia!si$!jeden!z!parametrów!uk adu.
m
N(s) sm + bm-1sm-1 + + b0 P(s - zi )
i=1
GP (s) = = =
n
D(s) sn + an-1sn-1 + + a0 P(s - pi )
i=1
R(s)=0 GP (s) Y(s)
k
_
transmitancja!uk adu!zamkni$tego!(zauwa"my,!"e!zera!uk adu!otwartego!s%!równie"!zerami!uk adu!
zamkni$tego)
kGP (s) kN(s)
G(s) = =
1+ kGP (s) D(s) + kN(s)
równanie!charakterystyczne!uk adu!zamkni$tego
D(s) + kN(s) = 0
1+ kGP (s) = 0
punkt s1 le"y!na!linii!pierwiastkowej,!je&li!spe nia!równanie:
1+ kGP (s1) = 0
203
Inżynieria systemów dynamicznych
L
INIE PIERWIASTKOWE
L
INIE PIERWIASTKOWE
y(t)
Linie pierwiastkowe - własności
m
N(s) sm + bm-1sm-1 + + b0 P(s - zi )
i=1
GP (s) = = =
n
D(s) sn + an-1sn-1 + + a0 P(s - pi )
i=1
m
P (s - zi )
N(s)
i=1
GP (s) = =
n
D(s)
P (s - pi )
i=1
1
1+ kGP (s) = 0 � GP (s) = -
k
warunek amplitudy :
1
GP (s) =
k
warunek fazy (k>0):
arg(GP(s))= p ą 2lp, l = 0,1,2,...
204
Inżynieria systemów dynamicznych
Linie pierwiastkowe  warunek fazy
m
N(s) sm + bm-1sm-1 + + b0 P(s - zi )
i=1
GP (s) = = =
n
D(s) sn + an-1sn-1 + + a0 P(s - pi )
i=1
m n
arg(GP(s))=
�arg(s - zi ) -�arg(s - pi ) = p ą 2lp
i=1 i=1
Im
k(s - z1)
q1 = arg(s1 - z1)
kGP(s) =
s1
(s - p1)(s - p2)
q2 = arg(s1 - p1)
q3 = arg( s1 - p2)
q1 -q2 -q3 = p ą 2lp
q3
q2
q1
Re
z1
p1 p2
205
Inżynieria systemów dynamicznych
L
INIE PIERWIASTKOWE
L
INIE PIERWIASTKOWE
Linie pierwiastkowe  zasady wykreślania
m
N(s) sm + bm-1sm-1 + + b0 P(s - zi )
i=1
GP (s) = = =
n
D(s) sn + an-1sn-1 + + a0 P(s - pi )
i=1
1. Gdy parametr k zmienia si! od 0 do ", bieguny uk"adu zamkni!tego tworz# na p"aszczy$nie
zespolonej n linii pierwiastkowych, symetrycznych wzgl!dem osi liczb rzeczywistych.
2. Linie pierwiastkowe pokrywaj# si! z osi# liczb rzeczywistych na tych jej odcinkach, od których na
prawo suma wszystkich rzeczywistych zer i biegunów jest nieparzysta.
3. Linie pierwiastkowe zaczynaj# si! w biegunach (k=0) , a ko%cz# w zerach (k= ") uk"adu
otwartego, zaliczaj#c do zer, zera le&#ce w niesko%czono'ci. Do niesko%czono'ci d#&y ą=n-m
linii pierwiastkowych wzd"u& asymptot
ą=n-m Asymptoty
0 brak
1 180�
2 90�, -90�
3 60�, -60�,180�
Asymptoty przetn# si! na osi liczb rzeczywistych w punkcie:
n m
pi -
� �zi
i=1 i=1
d =
n - m
206
Inżynieria systemów dynamicznych
Linie pierwiastkowe  zasady wykreślania
4. Zjawisko rozchodzenia si! lub schodzenia linii pierwiastkowych zwi#zane jest z biegunem
wielokrotnym. W punkcie tym zachodzi
D(s)N'(s) - D'(s)N(s) = 0
5. Miejsce przeci!cia si! linii pierwiastkowych z osi# liczb urojonych znajdujemy korzystaj#c z
kryterium Routha. Procedura jest nast!puj#ca:
-znajdujemy k, dla którego pierwiastki równania charakterystycznego znajd# si! na osi urojonej (w
tablicy wyst#pi rz#d samych zer)
-z wielomianu pomocniczego odczytujemy warto'ci biegunów urojonych
...lub rozwi#zuj#c równanie:
Re(M ( jw))= 0
�
M ( jw) = D( jw) + kN( jw) = 0 �
�
(M
�Im ( jw))= 0
207
Inżynieria systemów dynamicznych
L
INIE PIERWIASTKOWE
L
INIE PIERWIASTKOWE
Linie pierwiastkowe  zasady wykreślania
Przyk ad:
Wykre!li"#linie#pierwiastkowe#dla#uk adu#obj$tego#sprz$%eniem#zwrotnym
k
kGP(s) =
(s -1)(s + 2)(s + 3)
208
Inżynieria systemów dynamicznych
L
INIE PIERWIASTKOWE