KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI

Autor:
Klasa: II gimnazjum
Dział tematyczny: Wyrażenia algebraiczne
Temat: Mnożenie sum algebraicznych
Program: Matematyka z plusem

Baza:
- Uczeń zna pojęcie jednomianu, wyrażenia algebraicznego, sumy algebraicznej
i wyrazów podobnych;
- Uczeń wie, jak wygląda prawidłowo uporządkowany jednomian;
- Uczeń wie jak mnoży się jednomiany przez siebie i jak mnoży się jednomian
przez sumę;
- Uczeń potrafi obliczyć wartośc wyrażenia algebraicznego dla danej wartości
niewiadomej;
- Uczeń potrafi redukować wyrazy podobne;

Cele:
- Uczeń wie, jak mnoży się sumy algebraiczne przez siebie;
- Uczeń ćwiczy umiejętność mnożenia sum algebraicznych w zadaniach ty-
powych;
- Uczeń potrafi rozwiązywać zadania tekstowe z wykorzystaniem umiejęt-
ności mnożenia sum algebraicznych;

Metody:
- Podająca (wytłumaczenie sposobu mnożenia sum algebraicznych);
- Poszukująca (samodzielne rozwiązywania zadań w zeszytach, udział w
poszukiwaniu sposobu mnożenia sum algebraicznych);
- Praktyczna (rozwiązywanie zadań);

Zasady:
- Trwałości wiedzy (zadanie zadania domowego);
- Świadomego i aktywnego udziału ucznia w procesie nauczania i uczenia się
(samodzielne rozwiązywanie zadań);
- Przystępności (przejście od liczenia pola prostokąta do mnożenia sum al-
gebraicznych);
- Systematyczności (przypomnienie wiadomości na początku lekcji);
- Poglądowości (wprowadzenie mnożenia sum algebraicznych na przykładzie
pola prostokąta);

1

Szczegółowy przebieg lekcji:

Czynności wstępne:

Przywitanie się z uczniami.
Sprawdzenie listy obecności i pracy domowej.
Zapisanie tematu lekcji: Mnożenie sum algebraicznych.

Część przypominająca:

Zadaję uczniom kilka pytań mających na celu przypomnienie wiadomości z
poprzednich lekcji. W nawiasach podaję przykłady poprawnych odpowiedzi:

- Co to jest wyrażenie algebraiczne?
(Wyrażenie, w którym obok liczb, znaków działań i nawiasów mogą wys-
tępować litery.)
- Co to jest jednomian?
(Wyrażenie, które jest pojedyczną literą, pojedynczą liczbą bądź iloczynem
liczb i liter.)
- Co to jest suma algebraiczna?
(Wyrażenie, które powstaje na skutek dodawania jednomianów.)
- Który z jednomianów jest poprawnie uporządkowany? Tu na tablicy podam
poniższe trzy pary jednomianów:

- 3a5b czy 15ab? (15ab)

- 5a

2

b czy 5aba? (5a

2

b)

- 2

√

2ab czy 2ab

√

2? (2ab

√

2)

- Jak mnożymy jednomiany przez sumy algebraiczne?
(Mnożymy jednomian przez każdy składnik sumy a następnie dodajemy
wymnożone składniki.)

Część wprowadzająca:

Mówię uczniom, że dzisiaj nauczymy się mnożyć sumy algebraiczne przez
siebie. Rysuję na tablicy prostokąt o bokach a + b i c + d:

d

c

a

b

2

Następnie proszę jednego ucznia o zapisanie na tablicy pola tego pros-

tokąta.
Oczekiwana odpowiedź: P = (a + b)(c + d)

Pytam uczniów, czy widać, że ten prostokąt jest złożony z czterech

mniejszych prostokątów. Proszę o zapisanie pola naszego dużego prostokąta
w postaci sumy pól tych mniejszych prostokątów.
Oczekiwana odpowiedź:

P = ac + ad + bc + bd

Pytam uczniów, czy między tymi polami mogę zapisać znak równości.

Oczekiwana odpowiedź: Tak, bo to jest pole tego samego prostokąta.
Zapisuję zatem na tablicy:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Następnie mówię, że równość ta pokazuje sposób w jaki możemy mnożyć

przez siebie sumy algebraiczne. Zwracam uwagę na to, że ten sposób polega
na mnożeniu każdego ze składników pierwszej sumy przez każdy ze skład-
ników drugiej sumy.
Pokazuję to w postaci strzałek na zapisanej przeze mnie równości:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Zapisuję również jednomiany po prawej stronie rownania w postaci odpowied-
nich iloczynów:
ac = a · c
ad = a · d
bc = b · c
bd = b · d

Następnie przechodzę do zadań:
Zadanie 1\82
Wykonaj mnożenie.
a) (a + 2)(y + 1) = ay + 2y + a + 2
b) (2a + 1)(3 − b) = 6a + 3 − 2ab − b
c) (a − 1)(a

2

− b

2

) = a

3

− a

2

− ab

2

+ b

2

Resztę przykładów z tego zadania zadaję do domu. Pytam tylko uczniów,
czy będą umieli zrobić przykład e) i f), gdzie jedna z sum składa się z trzech
jednomianów. Jeśli nie wiedzą, robimy jeszcze przykład e):
e) (x − y)(a − b + 9) = ax − ay − bx + by + 9x − 9y

Zadanie 2\82
Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne.
a) (x + 1)(x + 2) = x

2

+ x + 2x + 2 = x

2

+ 3x + 2

Resztę przykładów zadaję do domu.

3

Zadanie 3\82
Zapisz w postaci sumy algebraicznej pole:
Tutaj robimy tylko przykład b). Przykłady a) i c) zadaję do domu.
b) trójkąta o podstawie x + 3 i wysokości x − 3

P =

(x+3)(x−3)

2

=

x

2

+3x−3x−9

2

=

x

2

−9

2

=

1
2

x

2

−

9
2

Zadanie 5\83
Zapisz w postaci sumy algebraicznej.
a) (x + 3)

2

= (x + 3)(x + 3) = x

2

+ 3x + 3x + 9 = x

2

+ 6x + 9

Resztę przykładów zadaję do domu.

Zadanie 6\83
Która figura ma większe pole: kwadrat o boku a czy prostokąt o
bokach a − 1 i a + 1?

1

a

+

a

a

a

- 1

Kwadrat: P

kw

= a · a = a

2

Prostokąt: P

pr

= (a + 1)(a − 1) = a

2

+ a − a − 1 = a

2

− 1

Odpowiedź: Pole kwadratu jest większe.

Zadanie 7\83
Zapisz w postaci sumy algebraicznej wzór na pole zacieniowanej
figury, przedstawionej na rysunku obok.
Pole dużego trójkąta: P

d

=

(a+b)(x+y)

2

=

ax+bx+ay+by

2

Pole małego trójkąta: P

m

=

bx

2

Pole figury: P = P

d

−P

m

=

ax+bx+ay+by

2

−

bx

2

=

ax+bx+ay+by−bx

2

=

ax+ay+by

2

=

1
2

ax +

1
2

ay +

1
2

by

Odpowiedź: Pole zacieniowanej figury wynosi:

1
2

ax +

1
2

ay +

1
2

by

Zadanie 14 \84
Z prostokątnego arkusza kartonu o wymiarach 20 X 10 odcinamy
w rogach cztery jednakowe kwadraty o boku x i składamy pudełko.
a) Zapisz w postaci sumy algebraicznej wzór na objętośc pudełka.
V = (20−2x)(10−2x)x = (20−2x)(10x−2x

2

) = 200x−20x

2

−40x

2

+4x

3

=

200x − 60x

2

+ 4x

3

b) Oblicz tę objętość dla x = 2 i x = 4.
Dla x = 2: V = 200 · 2 − 60 · 4 + 4 · 8 = 400 − 240 + 32 = 192

4

Dla x = 4: V = 200 · 4 − 60 · 16 + 4 · 64 = 800 − 960 + 256 = 96
c) Oblicz wartość otrzymanej sumy algebraicznej dla x=5.

Zinterpretuj

wynik.
Dla x = 5: V = 200 · 5 − 60 · 25 + 4 · 125 = 1000 − 1500 + 500 = 0
Nie da się złożyć pudełka.

Zadanie 16\84
a) Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia
(x − 6)(x + 8) − 2(x − 25) jest dodatnia.
(x − 6)(x + 8) − 2(x − 25) = x

2

− 6x + 8x − 48 − 2x + 50 = x

2

+ 2 > 0

Przykład b) zadaję do domu dla chętnych

Jeżeli zdążę, robię z uczniami jeszcze następujące zadania:
Zadanie 19\86
Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
a) iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych, z których mniejszą jest n − 2
(n − 2)(n − 1) = n

2

− 2n − n + 2 = n

2

− 3n + 2

b) iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych, następujących po liczbie 2n
(2n + 2)(2n + 4) = 4n

2

+ 4n + 8n + 8 = 4n

2

+ 12n + 8

Przykład c) zadaję do domu.

Jeżeli wystarczy mi czasu, to mam przygotowane jeszcze następujące zada-
nia. Treści dyktuje do zeszytu:
Zadanie 1. Na pewne przedstawienie cyrkowe sprzedano a biletów
po b złotych. Następnego dnia ceny biletów obniżono o 2 złote,
a występ przyszło zobaczyć o 30 osób więcej niż dzień wcześniej.
Ile pieniędzy uzyskał cyrk ze sprzedaży biletów na oba przedstaw-
ienia?
Pierwszy dzień: ab
Drugi dzień: (b − 2)(a + 30) = ab − 2a + 30b − 60
Zysk cyrku: ab + ab − 2a + 30b − 60 = 2ab − 2a + 30b − 60
Odpowiedź:Cyrk zyskał 2ab − 2a + 30b − 60 złotych.

Zadanie 2. Wojtek ma x pudełek po x zapałek. Maciek ma o trzy
pudełka mniej, ale w każdym ma o jedną zapałkę więcej niż w
pudełku Wojtka. Ania ma o jedno pudełko więcej od Wojtka, ale
w każdym jej pudełku jest o trzy zapałki mniej niż w jego pudełku.
Ile zapałek ma Wojtek, ile Maciek, a ile Ania? Kto z nich ma na-
jwięcej zapałek?
Wojtek: x · x = x

2

Maciek: (x − 3)(x + 1) = x

2

− 3x + x − 3 = x

2

− 2x − 3

Ania: (x + 1)(x − 3) = x

2

+ x − 3x − 3 = x

2

− 2x − 3

Odpowiedź:Najwięcej zapałek ma Wojtek.

5

Zadanie 3. W sadzie rosło c rzędów drzew po d drzew w każdym.
Nowe drzewa posadzono tak, że w sadzie jest teraz o 10 rzędów
więcej, a w każdym rzędzie są o 3 drzewa więcej niż poprzednio.
Ile drzew posadzono?
Na początku: cd
Po posadzeniu: (c + 10)(d + 3) = cd + 10d + 3c + 30
Posadzono: cd + 10d + 3c + 30 − cd = 10d + 3c + 30
Odpowiedź:Posadzono 10d + 3c + 30 drzew

Zadanie domowe:

W domu uczniowie mają do dokończenia kilka przykładów zadawanych w
czasie lekcji. Wszystko w trakcie lekcji będę zapisywała z boku, na tablicy,
aby wszyscy zdążyli zapisać.

Zadanie 1\82
Wykonaj mnożenie.
d) (2x − 1)(y − 3) = 2xy − y − 6x + 3
f) (k

2

− 2k + 2)(t + 8) = k

2

t − 2kt + 2t + 8k

2

− 16k + 16

Zadanie 2\82
Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne.
b) (3a + 4)(a − 5) = 3a

2

+ 4a − 15a − 20 = 3a

2

− 11a − 20

c) (2t + 1)(1 − 3t) = 2t + 1 − 6t

2

− 3t = −6t

2

− t + 1

d) (3ab − 7)(3 − 7ab) = 9ab − 21 − 21a

2

b

2

+ 49ab = −21a

2

b

2

+ 58ab − 21

e) (−x + y)(5x + 6y) = −5x

2

+ 5xy − 6xy + 6y

2

= −5x

2

− xy + 6y

2

f) (x + 5y)(7x − y) = 7x

2

+ 35xy − xy − 5y

2

= 7x

2

+ 34xy − 5y

2

g) (2x

4

− y)(x

4

+ y) = 2x

8

− x

4

y + 2x

4

y − y

2

= 2x

8

+ x

4

y − y

2

h) (ab − a)(2ab + 6a) = 2a

2

b

2

− 2a

2

b + 6a

2

b − 6a

2

= 2a

2

b

2

+ 4a

2

b − 6a

2

Zadanie 3\82
Zapisz w postaci sumy algebraicznej pole:
a) prostokąta o bokach x + 5 i x − 2
P = (x + 5)(x − 2) = x

2

+ 5x − 2x − 10 = x

2

+ 3x − 10

c) trapezu o podstawach x, x + 2 i wysokości x + 1

P =

(x+x+2)(x+1)

2

=

(2x+2)(x+1)

2

=

2(x+1)(x+1)

2

= (x + 1)(x + 1) =

= x

2

+ x + x + 1 = x

2

+ 2x + 1

Zadanie 5\83
Zapisz w postaci sumy algebraicznej.
b) (a − 2)

2

= (a − 2)(a − 2) = a

2

− 2a − 2a + 4 = a

2

− 4a + 4

c) (2x + 5)

2

= (2x + 5)(2x + 5) = 4x

2

+ 10x + 10x + 25 = 4x

2

+ 20x + 25

6

Zadanie 16\84
b) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n(n + 2) − (n − 7)(n − 5)
jest podzielna przez 7.
n(n + 2) − (n − 7)(n − 5) = n

2

+ 2n − (n

2

− 7n − 5n + 35) = n

2

+ 2n − n

2

+

12n − 35 = 14n − 35 = 7(2n − 5)
Liczba (2n − 5) jest oczywiście liczbą całkowitą.

Zadanie 19\86
Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
c) iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych, poprzedzających liczbę 2n+1
(2n − 3)(2n − 1) = 4n

2

− 6n − 2n + 3 = 4n

2

− 8n + 3

7