R. Rempała. Materiały dydaktyczne

1

Wykład 1b-2. Teoria konsumenta (kontynuacja)

Teoria konsumenta c.d.

Założenie: konsument zachowuje się racjonalnie. Wybiera najlepszy

koszyk na jaki go stać.

Wiemy już co znaczy „na jaki go stać”

Pytanie :

co znaczy „najlepszy”?

Konsument dokonując wyborów wyraża swoje preferencje.

Czy można je opisać? Jakie mają własności?

Relacje dwuargumentowe w zbiorze.

X

= ustalony zbiór.

r = relacja dwuargumentowa w

X

r opisuje

łączenie w uporządkowane pary elementów

X

;

Oznaczenie x

r

y - czytaj element x jest w relacji r z elementem y (x

jest w parze z elementem y).

Dokładniej:

r

jest podzbiorem

produktu kartezjańskiego:

}

,

:

)

,

{(

X

y

X

x

y

x

X

X









)

Typy relacji:

1.

relacja jest zwrotna

def



dla każdego

X

x



, x

r

x,

2.

relacja jest symetryczna

def



dla każdych dwu elementów

X

y

x



,

, jeśli x

r

y, to y

r

x,

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

2

3.

relacja jest przechodnia

def



dla

każdych trzech elementów

X

z

y

x



,

,

, jeśli x

r

y i y

r

z to x

r

z,

4.

relacja jest zupełna (całkowita)

def



dla każdych elementów

X

y

x



,

, jeśli x



y to x

r

y lub y

r

x,

5. relacja jest

relacją równoważnością

def



jeśli jest zwrotna ,

symetryczna i przechodnia.

Przykład 1.

X-

zbiór mieszkańców Warszawy.

x

r

y

def



x jest wyższy niż y.

(Wysokość podajemy z dokładnością do centymetra)

.

Relacja ta

1) nie jest zwrotna,

2) nie jest symetryczna,

3) jest przechodnia,

4)

nie jest zupełna (dwie różnie osoby mogą mieć identyczny wzrost),

5)

nie jest równoważnością

Przykład 2

X=R

+

, x

r

y

def



x

y



.

Relacja

ta

1) jest zwrotna ( x



x),

2) nie jest symetryczna (7



2 ale 2



7)

3) jest przechodnia (( x



y i y



z)



x



z)

4) jest zupełna (dla dowolnej pary liczb (x,y) mamy x

y



lub y



x .

5) nie jest relacją równoważności.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

3

Przykład 3

X= {0,1,2,3,......}, x

r

y

def



x i y mają tę samą resztę przy

dzieleniu przez 2.

Relacja ta jest

równoważnością.

Przykład 4

X = ucz

niowie wybranej szkoły podstawowej

x

r

y

def



x jest w tej samej klasie co y.

(1) x

r

x (x jest w tej samej klasie co x)- prawda,

(2) jeśli x

r

y to y

r

x (jeśli x jest w tej samej klasie co y to y

jest w tej samej klasie co x)- prawda,

(3) jeśli x

r

y i y

r

z to x

r

z (jeśli x jest w tej klasie co y, y jest

w tej samej klasie co z to x jest w tej klasie co z)- prawda.

Wniosek. Relacja jest

równoważnością.

Klasy równoważności : klasa 1, klasa 2,.klasa 3, klasa 4, klasa

5, klasa 6.

Własność relacji równoważności - zasada abstrakcji.

Dowolna relacja równoważności w zbiorze niepustym wyznacza

podział tego zbioru na rozłączne, niepuste podzbiory.

Podzbiorami tymi są klasy równoważności tej relacji.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

4

Teoria konsumenta c.d.



X=Z-

zbiór konsumpcyjny. Zakładamy, że przy danych

koszykach x i y konsument potrafi określić relacje między

nimi według swojego stopnia pożądania (upodobania).

x

r

y

def



koszyk x jest lepszy lub tak samo dobry jak y

innymi słowy - x nie jest gorszy niż y,

-

x jest słabo preferowany względem y

Definicja. Relację r, oznaczaną dalej przez ” nazywamy

relacją

słabej preferencji (lub preferencji) jeśli spełnia następujące

aksjomaty:

Aksjomaty

: Relacja słabej preferencji („ ”) jest

1. zwrotna (tzn. x

x) dla każdego x

2. przechodnia (tzn.

dla każdych trzech elementów

Z

z

,

y

,

x



, jeśli x y i y z to x z)

3.

zupełna. ( jeśli

Z

y

,

x



to x y lub y x).



Relacja słabej preferencji (

) wyznacza relację

silnej (ścisłej) preferencji () i relację

indyferencji (~).

Inna nazwa relacji indyferencji -

relacja obojętności.

Definicja . Koszyk x j

est indyferentny (obojętny) względem

y (co zapisujemy

x ~ y) jeśli x y i y x.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

5

Definicja .

Koszyk x jest ściśle preferowany wobec y

(zapis: x

 y) jeśli x y i nie jest prawdą, że x ~ y.

Można wykazać, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie

.

R

elacja ścisłej preferencji „” jest

przechodnia, relacja indyferencji

„~” jest relacją

równoważności (tzn. zwrotna, symetryczna i przechodnia)



Niech

)

x

,...,

x

,

x

(

x

m

2

1



-

będzie ustalonym koszykiem.

Klasa równoważności relacji obojętności, w której znajduje

się koszyk x dana jest zbiorem

x

y

:

{

~

}

y

.

Wniosek z zasady abstrakcji. Relacja indyferencji

wyznacza podział zbioru konsumpcji na rozłączne,

niepuste podzbiory. Podzbiorami tymi są klasy

równoważności tej relacji.

Definicja.

Zbiorem obojętności relacji słabej preferencji

„

nazywamy klasę równoważności relacji obojętności

(indyferencji).

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

6

Definicja.

Dla koszyków dwu-towarowych zbiór obojętności

nazywa się krzywą obojętności.

Wnioski z zasady abstrakcji

dla koszyków

2- towarowych.

a)

Krzywe obojętności wyznaczają podział zbioru konsumpcyjnego

na rozłączne, niepuste podzbiory.

b)

Dwie krzywe obojętności są albo rozłączne albo identyczne.

Rys.a. T

ak nie może być

b)

Punkty na różnych krzywych są względem siebie w relacji

silnej preferencji.



lub



Rys. b

Wniosek.



Krzy

we obojętności prezentują różne poziomy preferencji.



Krzywe obojętności i „relacje między krzywymi” (por

rysunek b) jednoznacznie opisuj

ą relację słabej preferencji

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

7



Dla dowolnych trzech koszyków x,y,z mamy

x



y lub

x



y lub x

~y,

Jak wykreślić krzywą obojętności?

1

( x

1

+

1

, x

2

+

2

)

(x

1

,x

2

)

Rys.

Ustalamy koszyk (x

1

,x

2

).

Zwiekszamy drugą współrzędną o

2

. Następnie tak

dobieramy

1

, aby ( x

1

+

1

, x

2

+

2

)

(x

1

,x

2

).

Przykłady preferencji w

Z

=

2

R



Rozważmy następujacą relację:

x

y

def



x

1

+ x

2



y

1

+ y

2

(

Ważne, aby było dużo jednostek w koszyku!)

a)

Czy jest to relacje słabej preferencji? (innymi słowy: czy

spełnia aksjomaty relacji preferencji?)

Pozytywna odpowiedź wynika z własności liczb rzeczywistych.

Mamy bowiem



x

1

+ x

2



x

1

+ x

2

,

zatem x

x



jeśli x

1

+ x

2



y

1

+y

2

i y

1

+y

2



z

1

+z

2

to x

1

+ x

2



z

1

+z

2

zatem

jeśli x y i y z to x z



Z własności liczb wynika, że x

1

+ x

2



y

1

+y

2

lub

y

1

+y

2



x

1

+ x

2

. Zatem x

y lub y x.

2

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

8

Relacja jest relacją słabej preferencji. Wyznaczmy krzywe

obojętności.

Przypominamy:

x ~ y jeśli x y i y x

Zatem x ~ y

jeśli x

1

+ x

2



y

1

+y

2

i y

1

+y

2



x

1

+ x

2

Oznacza to, że: x ~ y jeśli x

1

+ x

2

= y

1

+y

2

Wniosek.

W rozważanym przykładzie krzywe obojętności, to

zbiór takich koszyków, w których suma jednostek obu dóbr jest

stała. Zatem rodzinę krzywych obojętności można zapisać:

}

s

x

x

:

)

x

x

(

x

{

K

2

1

2

1

s









, s > 0, (Por. Rys*.)

Opiszmy teraz

relację ścisłej preferencji

Przypominamy :k

oszyk x jest ściśle preferowany wobec y jeśli

x

y i nie jest prawdą, że x ~ y.

Wykorzystując definicję relacji mamy:

x



y jeśli x

1

+ x

2



y

1

+ y

2

i nie jest prawdą, że x

1

+ x

2

=

y

1

+ y

2

. Zatem x



y jeśli x

1

+ x

2

>

y

1

+ y

2

.

Oznacza to, że koszyki należą do różnych krzywych

obojętności. (Koszyk x znajduje się na krzywej bardziej odległej

od środka układu współrzędnych niż koszyk y).

Rys

*.

Zauważmy, że dobra 1 i 2 są substytutami doskonałymi.

krzywe obojętności

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

9

Przykłady preferencji

(Varian str.55-62).

Rys.

Dobra doskonale komplementarne

x

y

def



min (x

1

, x

2

)



min(y

1

,y

2

).

Na rysunku zaznaczono

krzywe

obojętności {x : min (x

1

,x

2

)=c, c

oraz kierunek

wzrostu preferencji.

B

łogostan

Rys. Krzywe

obojętności otaczają „błogostan” ( ).

Krzywe

obojętności bliższe „ ” są bardziej preferowane.

Dodatkowe założenia o relacji słabej preferencji „

a)

Monotoniczność – „więcej znaczy lepiej”

Relacja „

” nazywa się monotoniczna

def



jeśli dla każdej takiej pary

koszyków

x,y

Z



, że

x



y

oraz

x

1

1

y



,

x

2

2

y



,...,

x

m

m

y



mamy

x

 y.

……

….

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

10

koszyki

lepsze

x

2

gorsze

x

1

Rys. Przy relacji monotonicznej k

oszyki obojętne względem (x

1

,x

2

)

mogą znaleźć się w obszarach zaznaczonych znakiem „ ”

Wniosek

Krzywe obojętności relacji monotonicznej mają ujemne

nachylenie do osi x

1

Rys.Taka krzywa

nie może być krzywą obojętności relacji monotonicznej

b)

Wypukłość słabej preferencji „ ”

Definicja.

Relacja preferencji nazywa się wypukła jeśli dla

każdej pary (x,y)



Z i każdej liczby

]

1

,

0

[





spełniony jest

warunek:

jeśli x

y to

y

1

x

)

(









y

x

Rys. y

Przykład

x =(x

1

,x

2

)=(1,5), y = (y

1

,y

2

)=(2,2). Zdaniem konsumenta

x

y i wiadomo, że relacja jest wypukła.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

11

Czy prawda jest, że (1.3 ,4.1)

(2,2)?

Odpo

wiedź. Tak, bo przy



= 0.7 z własności wypukłości

wynika, że 0.7x + 0.3y

y, a więc 0.7x + 0.3y = (0.7, 3.5) +

(0.6, 0.6) = (1.3, 4.1)

(2,2).

Wniosek z definicji

. Przy wypukłych relacjach:

x ~ y



y

1

x

)

(









y

x ~ y



y

1

x

)

(









x Rys.

Średnie ważone – punkty z odcinka łączącego indyferentne

koszyki -

nie są gorsze niż krańce.

c). Silna

(ścisła) wypukłość

Relacja preferencji „

„ jest silnie (ściśle) wypukła jeśli dla

każdej pary x,y



Z i każdej liczby

)

1

,

0

(





spełniony jest

warunek: (x

y

x



y)



y

)

1

(

x









 y

Wniosek.

Przy ściśle wypukłych relacjach

(x ~ y

x



y )



y

)

1

(

x









 y

x

(x ~ y

x



y )



y

)

1

(

x











x

y

Rys.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

12

Twierdzenie.

Relacja preferencji jest wypukła na Z



gdy dla

każdego koszyka

a



Z zbiór F(a) =

x

Z

x

:

{



}

a

jest

wypukły

Dowód. Weźmy x F(a). Z zupełności relacji preferencji

wynika, że x y lub y x. Zatem dla wypukłej kombinacji mamy:

jeśli x y to

y

1

x

)

(









y

a

,

jeśli y x to

x

)

1

(

y









x

a

. W obu przypadkach

oznacza to, że odcinek łączący koszyki x i y znajduje się w

zbiorze F(a).

Zakładamy teraz, że dla każdego koszyka

a



Z zbiór

F(a) =

x

Z

x

:

{



}

a

jest wypukły.

Weźmy pod uwagę x y oraz F(y). Z definicji zbioru F(y)

wiadomo, że x oraz y F(y). Rozważmy wektor

z(

=

y

1

x

)

(









, gdzie

Z założenia wypukłości

zbioru F(y)

wynika, że z F(y). Tak więc,

(*) z(

=

y

1

x

)

(









y

co oznacza wypukłość relacji, ponieważ (*) jest prawdziwa dla

każdego λ ϵ [0,1].

a

Rys.

Przykład F(a) .

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

13

Przy ściśle wypukłych relacjach krzywe obojętności nie mogą

mieć “ płaskich” fragmentów

relacja jest wypukła ale

Rys. nie jest ściśle wypukła

Definicja. Relcje mon

otoniczne i wypukłe nazywają się

preferencjami dobrze zachowującymi się.

Powrót do problemu wyboru najlepszego koszyka

Z

ałożenie: zbiór konsumpcyjny Z=



m

R

Przypominamy.

Zbiór budżetowy

(Zb)={x

d

x

p

x

p

x

p

R

m

m

2

2

1

1

m













...

:

}

p

1

,p

2

,...,p

m

- ceny,

m

= d -

zasób

.

Koszyki optymalne

Definicja. Koszyk

x

nazywamy optymalnym koszykiem w

zbiorze Zb

jeśli nie jest gorszy od każdego innego koszyka z

tego zbioru, co zapisujemy:

x

x dla każdego x



Zb.

R. Rempała. Materiały dydaktyczne

14

Wniosek z definicji.

Koszyk optymalny nie musi być jedyny.

Koszyki optymalne są indyferentne.

Dowód. Niech

x

będzie optymalny. Gdyby istniał inny

,

Zb

y



taki że

y

x dla każdego x



Zb, to

x

y

i

y

x

a zatem

x

~

y

Zb Zb

Rys. Przykłady koszyków optymalnych.