Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

1

Systemy produkcji typu input-autput. Model von Neumanna

Rozważamy model gospodarki, w którym zużywa się lub

wytwarza

n towarów za pomocą skończonej liczby m

procesów technologicznych nazywanych bazowymi.

Oznaczenia

Rozważmy j-ty bazowy proces technologiczny.

a

j

= (a

j1

,a

j2

,...,a

jn

)----

wektor nakładów

b

j

= (b

j1

,b

j2

,...,b

jn

)----

wektor wyników

Interpretacja

Zużywając a

j1

jednostek towaru 1, a

j2

jednostek towaru 2,....,a

jn

jednostek towaru n otrzymamy w j-tym bazowym procesie

produkcyjnym b

j1

jednostek towaru 1, b

j2

jednostek towaru

2,...,b

jn

jednostek towaru n.

Uwaga

W modelu ten sam towar może być zarówno nakładem jak i produktem np. stal, węgiel. .

Wygodnie jest opisać wszystkie procesy bazowe za pomocą macierzy





































































mn

2

m

1

m

n

2

22

21

n

1

12

11

m

2

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

m

acierz nakładów





































































mn

2

m

1

m

n

2

22

21

n

1

12

11

m

2

1

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

B

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

macierz wyników (produkcji)

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

2

Intensywności. Liniowość modelu



Przypuśćmy teraz, że poszczególne technologie zostały

użyte z intensywnością odpowiednio x

1

,x

2

,...x

m

.

Model von Neumanna jest liniowy

. Oznacza to, że: przyjmując

technologię 1 i stosując wielokrotność x

1

nakładów pierwszej

technologii tzn. (x

1

a

11

, x

1

a

12

,..., x

1

a

1n

) spodziewamy się

identycznej wielokrotności wyników tzn. (x

1

b

11

, x

1

b

12

,..., x

1

b

1n

),

. . .

. . .

. . .

przyjmując technologię m i stosując wielokrotność x

m

nakładów

tzn. (x

m

a

m1

, x

m

a

m2

,..., x

m

a

mn

) spodziewamy się identycznej

wielokrotności wyników tzn. (x

m

b

m1

, x

m

b

m2

,..., x

m

b

mn

).

Przy intensywnościach (x

1

,x

2

,...,x

m

) łączne nakłady czynników

wynoszą:

(*) (x

1

a

11

+...+ x

m

a

m1,

x

1

a

12

+...+ x

m

a

m2

,..., x

1

a

1n

+...+ x

m

a

mn

)= x A



nakład 1 czynnika,



nakład 2 czynnika,

,



nakład n-tego czynnika



inny zapis

Łączne wyniki produkcji wynoszą:

(**) (x

1

b

11

+...+ x

m

b

m1,

x

1

b

12

+...+ x

m

b

m2

,..., x

1

b

1n

+...+ x

m

b

mn

)= x B



1 produkt,



2 produkt,



n-ty produkt,



inny zapis

Uwaga

(*) i (**) jest właściwie formalną definicją lewostronnego

mnożenia wektora wiersza (x

1

,x

2

,...x

m

) przez macierze A i B

odpowiednio. (x A)

i

= x

1

a

1i

+...+ x

m

a

mi

, (x B)

i

= x

1

b

1i

+...+ x

m

b

mi

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

3

Założenia o modelu

Model von Neumanna jest jednoznacznie opisany parą

macierzy A, B. Zakłada się, że

Z1

Każdy wiersz macierzy nakładów A zawiera element dodatni

Z2

Każda kolumna macierzy wyników B zawiera element dodatni.

(W każdej technologii jakiś towar jest zużyty. Każdy towar jest

wytwarzany przynajmniej w jednym procesie technologicznym.)

Przypominamy

Przy intensywności produkcji wyrażonej wektorem x=

(x

1

,x

2

,...,x

m

)

wielkość zużycia i-tego towaru wynosi (x A)

i

= x

1

a

1i

+...+ x

m

a

mi

natomiast wielkość produkcji (x B)

i

= x

1

b

1i

+...+ x

m

b

mi

(I) Wskaźnikiem technologicznej efektywności wytwarzania

i-tego towaru

przy intensywności produkcji x=(x

1

,x

2

,...,x

m

)

nazywamy liczbę



































0

xB

xA

gdy

na

nieokre

śie

0

xB

0

xA

gdy

0

xA

gdy

xA

xB

x

i

i

i

i

i

i

i

i

)

(

)

(

,

,

)

(

,

)

(

,

,

)

(

,

)

(

)

(

)

(

(II) Wskaźnikiem technologicznej efektywności procesu

wytwarzania (stopą produkcji) przy intensywności

produkcji x=(x

1

,x

2

,...,x

m

) nazywamy liczbę

)

(

min

)

(

x

x

i

i







Można pokazać, że przy Założeniach 1,2





















.

0

x

gdy

okreslone

jest

nie

0

x

gdy

xB

xA

:

max{

)

x

(

(*)

i=1,2,…,n.

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

4

(III)

Optymal

nym

wskaźnikiem

technologicznej

efektywności w modelu (optymalną stopą produkcji)

nazywamy liczbę

)

x

(

max

0

x

,

0

x

opt











.

Zauważmy, że ( ze względu na (*) )

opt



jest rozwiązaniem

zadania: znaleźć

max

przy ograniczeniach:

xB

xA





, x

0, x

Zadanie to mo

żna zapisać dokładniej:

max



przy ograniczeniach

0

x

.

0

x

)

xB

(

)

xA

(

)

xB

(

)

xA

(

n

n

1

1















Problemy a). Rozwi

ązać powyższe zadanie podając optymalny

wskaźnik

technologicznej

efektywności

(optymalną

stop

ę

produkcji)

opt



b) Wyznaczy

ć intensywności produkcji, przy której wskaźnik ten

jest osiągany ?

Można wykazać por. ref. [Panek. str.247] , że przy przyjętych

założeniach modelu, optymalny wskaźnik technologicznej efektywności

(optymalna stopa produkcji) spełnia warunek 0 <







opt

.

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

5

Wektor intensywności

x

dla którego

)

(x

opt







nazywa się

optymalnym

wektorem intensywności w modelu. Zauważmy, że

o

ptymalny wektor intensywności jest określony z dokładnością do

struktury ( z dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią).

Efektywność ekonomiczna.

Niech p

i

oznacza cenę rynkową i-tego towaru.

(x B)

1

p

1

+ (x B)

2

p

2

+...+(x B)

n

p

n

=

wartość produkcji przy intensywności

x=

(x

1

,x

2

,...,x

m

). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu

wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xBp,

p

wektor koluumniwy.

(xA)

1

p

1

+ (xA)

2

p

2

+...+(x A)

n

p

n

=

wartość nakładu przy intensywności

x=

(x

1

,x

2

,...,x

m

). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu

wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xAp.

Wskaźnikiem ekonomicznej efektywności (stopą dochodu ),

przy wektorach

intensywności x i cenach p, nazywamy liczbę

































.

,

.

,

,

,

)

,

(

0

xBp

0

xAp

gdy

nieokr

0

xBp

0

xAp

gdy

0

xAp

gdy

xAp

xBp

p

x

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

6

Iloraz liczb

xAp

xBp

oznacza stopę dochodu przy intensywności

wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.

Iloraz liczb

xBp

xAp

oznacza stopę wydatków przy intensywności

wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.

Zauważmy, że: a) Ap - wartości jednostkowych nakładów poszczególnych

technologii. Bp -

wartości jednostkowych przychodów poszczególnych

technologii. b) Wskaźnik ekonomicznej efektywności mówi o relacji wartości

przychodów do wartości nakładów -- ile razy przy cenach p i intensywności x

wartość produkcji przekracza wartość nakładów.

Równowaga

Pytanie: czy można znaleźć taki wektor intensywności produkcji

i takie ceny, przy których ekonomiczna efektywność jest równa

efektywności technologicznej?

Warunki takie podał von Neumann i Thompson. Noszą one

nazwę warunków równowagi w modelu von Neumanna.

Definicja.

O wektorze intensywności x~ 0, x~

0



i wektorze

cen

p

~

0,

p

~

oraz liczbie

0





mówimy, że charakteryzują

gospodarkę w równowadze von Neumanna, jeżeli spełniają

następujące warunki:

(I)

,

~

~

B

x

A

x





(II)

dla każdego x

0



,

p

xA

p

xB

~

~





,

(III)

0

p

B

x



~

~

.



Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

7

Wektor x

~ nazywamy wektorem intensywności procesów

technologicznych w równowadze, wektor cen

p

~

nazywa się

wektorem cen w równowadze. Pokażemy, że wyraża
wskaźnik ekonomicznej i technologicznej efektywności przy

x

~ ,

p

~

.

Komentarze.



Warunki (I)-(III) okr

eślają punkt równowagi w pewnej 2-

osobowej grze. (por.

Łoś. Linear Methods In the Theory of

Economical Models, Aarhus Universitet,1967 ).



Warunek (II) można zastąpić (II)



:

p

A

p

B

~

~





. (Wystarczy

rozważyć intensywności postaci (0,0,..0,1,0,0,..0,) z 1 na różnych miejscach.)

Wnioski z definicji (por. Panek. ref.1)

1.

Prawdziwe są następujące implikacje: jeśli

i

i

B

x

A

x

)

~

(

)

~

(





to

i

p

~

=0, jeśli

i

p

~

>0 to

i

i

B

x

A

x

)

~

(

)

~

(





.

Uzasadnienie. Gdyby

i

i

B

x

A

x

)

~

(

)

~

(





i

i

p

~

>0 to mnożąc obie

strony (I) przez

p

~

otrzymalibyśmy :

p

B

x

p

A

x

~

~

~

~





co jest

sprzeczne z (II).

2. Liczba



w definicji jest wskaźnikiem technologicznym

efektywności procesu przy intensywności x~ . Zatem



=



( x

~ ).

Uzasadnienie. Gdyby



 

( x

~ ) to z definicji i warunku (I)



<



( x

~ ). Zatem dla każdego i byłoby

i

i

B

x

A

x

)

~

(

)

~

(





a więc na

mocy wniosku 1

i

p

~

=0, co oznaczałoby

0

p

B

x



~

~

i zaprzeczałoby

warunkowi (III) definicji.

3.

Ekonomiczna efektywność przy x~ ,

p

~

= technologicznej

efektywności przy x~ . Innymi słowy

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

8

)

~

(

)

~

,

~

(

x

p

x







(=



)

Uzasadnienie.

Mnożąc obie strony (I) przez wektor cen w

równowadze mamy

p

B

x

p

A

x

~

~

~

~





. Warunek (II) daje nierówność

p

B

x

p

A

x

~

~

~

~





, Zatem

p

A

x

p

B

x

~

~

~

~





=

)

~

,

~

( p

x



.

4.

Dla każdego x ,

)

p

~

,

x

(

)

p

~

,

x

~

(







jeśli tylko wskaźnik

)

~

,

( p

x



jest określony.

Uzasadnienie. Z definicji

)

~

,

( p

x



i z warunku (II) mamy:dla

każdego x jeśli xA

p

~

>0 to

)

~

,

( p

x



=

p

xA

p

xB

~

~



p

A

x

p

B

x

~

~

~

~





=

)

~

,

~

( p

x



.

Twierdzenie (Panek. Ekon. Mat, 2003 str.250). W modelu

von Neumanna,

(spełniającym Założenia 1 i 2) z

p

rostokątnymi macierzami A,B o wymiarach (m



n), istnieje

stan równowagi z optymalnym wskaźnikiem technologicznej

efektywności



opt

. Liczba stanów równowagi z różnymi

wskaźnikami technologicznej efektywności nie przekracza

min{m,n}.

Ćwiczenia. Zestaw 3.

1. Dlaczego model von Neumanna nazywany jest modelem liniowym.

2.

Opisz macierze nakładów i wyników.

3.

Co to jest wskaźnik technologicznej efektywności procesu

wytwarzania (stopa produkcji) przy intensywności produkcji x=(x

1

,x

2

,...,x

m

). Podaj d

efinicję optymalnej intensywności.

4.

Podaj

definicję

i

ekonomiczną

interpretację

wskaźnika

ekonomicznej intensywności.

Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne

9

5.

Czy stan równowagi musi być jedyny? Podaj własności stanów

równowagi.

6.

Znajdź optymalny stan równowagi w modelu z macierzami:

A=













2

1

0

1

, B=













2

1

1

2

.