Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

22

Duopol i oligopol

Teorię duopolu sformułował i rozwinął francuski

matematyk i ekonomista Antoine Cournot (1801-1877),

który przez wielu uważany jest za ojca matematycznej

ekonomii.

Dwaj producenci produkują i dostarczają na rynek pewien

towar. Zakładamy, że producenci tak opanowali rynek, iż

cena rynkowa produktu zależy od łącznej ilości dostarczonej

na rynek przez obu producentów.

Producenci nie mają trudności ze zbytem towaru i z

nabywaniem czynników produkcji. Koszt produkcji

poszczególnych producentów zależy od wielkości własnej

produkcji.

Oznaczenia

y

i

-

ilość towaru wyprodukowana przez i-tego duopolistę, i=1,2

k

i

(y

i

)

– funkcja kosztów produkcji i-tego producenta

p

i

(y

1

+y

2

)

– funkcja określająca cenę rynkową produktu i-tego

producenta; y

1

+y

2

– jest łączną produkcją duopolistów



i

(y

1

,y

2

)

– funkcja wyrażająca zysk i-tgo producenta

Zauważmy, że



i

(y

1

,y

2

) = y

i

p

i

(y

1

+y

2

)

– k

i

(y

i

), i=1,2







zysk = przy

chód – koszt

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

23

Założenia modelu

Dla każdego i

(a)

p

i

i k

i

są funkcjami określonymi na [0,

)



przy

czym:funkcja p

i

jest malejąca od pewnego a

i

=p

i

(0)>0 i

p

i

(b

i

)= 0 dla pewnego b

i

>0; ponadto jest ona

różniczkowalna i ma ciągłą malejącą pochodną ( zatem

jest wklęsła, por. Rys 3.1)

p

i

(s)

a

0

b

i

Rys.3.1 p

i

(s), s = y

1

+y

2

(b)

funkcja kosztów k

i

jest rosnąca, różniczkowalna i ma

ciagłą rosnącą pochodną.(zatem jest wypukła, por.

Rys.3.2)

k

i

(y

i

)

Rys. 3.2 k

i

(y

i

)

y

i

Przypominamy problem monopolisty (PM)

W przypadku monopolu mieliśmy do czynienia z jednym

producentem. Chodziło o wyznaczenie takiego poziomu

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

24

produkcji y*, który maksymalizuje zysk przedsiębiorstwa.

Przypominamy, że problem optymalizacyjny przybierał

postać.

(PM) :



(y) = yp(y)

– k(y)

max



x

0



Podobnie jest w duopolu. Każdy z producentów chciałby

maksymalizować zysk. Rzecz jednak w tym, że tym razem

zysk zależy nie tylko od wielkości własnej produkcji ale

(poprzez cenę rynkową ) od wielkości produkcji drugiego

duopolisty.

Zatem jeśli pierwszy wyprodukuje

1

y

~

to drugi wybierze taki

poziom

2

y

, że



2

(

2

1

y

,

y

~

) =

)

y

,

y

~

(

max

2

1

2

0

2

y





Podobnie zachowuje się pierwszy producent. Na wielkość

produkcji

2

y

zareaguje takim wyborem poziomu produkcji

1

y

~

~

,

żeby



2

(

2

1

y

,

y

~

~

) =

)

y

,

y

(

max

2

1

1

0

1

y





Na wybór pierwszego producenta

1

y

~

~

drugi producent

zareaguje wyborem

2

y

itp.

Zauważmy, że mamy tu do czynienia z pewną grą. Wypłatą

są funkcje zysków a decyzją - wielkość produkcji.

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

25

Pojawia się pytanie: czy istnieją takie poziomy produkcji



1

y

,



2

y

, że każdy z producentów maksymalizuje swój zysk i nie

potrzebuje przy tym zmieniać swojego wyboru?

Innymi słowy

czy istnieje taka para



1

y

,



2

y

, że

(a)



1

(



1

y

,



2

y

) =

)

y

,

y

(

max

2

1

1

0

1

y







(b)



2

(



1

y

,



2

y

) =

)

y

,

y

(

max

2

1

2

0

2

y







Para decyzji spełniająca warunki (a)-(b) nazywa się

równowagą duopolu.



1

y

jest poziomem produkcji pierwszego

duopolisty w stanie równowagi, a



2

y

jest poziomem produkcji

drugiego duopolisty w stanie równowagi.

W jezyku teorii gier para (



1

y

,



2

y

) nazywana jest punktem

ekwilibrium Nasha lub punktem równowagi Nasha.

Twierdzenie3.1.

Przy przyjętych założeniach duopol posiada

punkt równowagi i jest to punkt jedyny.(por. ref [5])

Powstaje pytanie: czy można podać warunki konieczne i

dostateczne na to, aby para



1

y

,



2

y

była punktem równowagi.

Odpowiedzią jest następujące twierdzenie.

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

26

Twierdzenie3.2 Na to, aby para (



1

y

,



2

y

) była punktem

równowagi rozważanego modelu duopolu potrzeba i wystarcza,

aby dla i=1,2

(c)

0

y

2

1

2

1

y

y

y

y

i

i















)

,

(

)

,

(

|

jeśli

0

y

i





,

(d) p

i

(



1

y

+



2

y

)

)

(0

k

i





jeśli

0

y

i





.

Ekonomiczna interpretacja warunków (c) – (d)

Ad (d)

i

k



(y

i

) oznacza koszt krańcowy. Z założenia koszt

krańcowy jest rosnący. Zatem z warunku (d) wynika, że jeśli w

punkcie równowagi duopolista nie produkuje towaru to oznacza,

że cena rynkowa jest tak niska, iż nie przekracza jego

najniższego kosztu krańcowego.

Ad (c)

Warunek ten przyjmuje postać























i

i

2

1

2

1

y

y

i

i

i

y

y

y

y

i

2

1

i

i

y

y

k

y

y

y

p

y

|

)

(

|

)

(

(

)

,

(

)

,

(

Oznacza to, że w punkcie równowagi

krańcowy przychód = krańcowemu kosztowi

Przykład numeryczny

Niech

p

1

(y

1

+y

2

) = 16

– (y

1

+y

2

)

2

, k

1

(y

1

) =

2

1

y

p

2

(y

1

+y

2

) = 32

– 2(y

1

+y

2

)

2

, k

2

(y

2

) =

2
2

y

2

W przykładzie tym cena produktu i koszt wytwarzania drugiego producenta są dwa

razy wyższa niż odpowiednio cena i koszt pierwszego producenta

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

27

Zauważmy, że p

i,

k

i

spełniają założenia modelu.

Stałe wymienione w założeniach wynoszą: a

1

=16, b

1

=4; a

2

=32,

b

2

=4. Funkcje p

1

, p

2

sa malejące o malejących pochodnych.

Funkcje kosztów k

1

, k

2

są rosnące i ich pochodne także.

Dla wyznaczenia punktu równowagi stosujemy Twierdzenie 3.2.

Pokażemy, że tym przypadku wystarczy wykorzystać warunek

(c) Twierdzenia.











)

(

)

(

)

,

(

1

1

1

2

1

1

2

1

1

y

k

y

y

y

p

y

y

16y

1

– (y

1

+ y

2

)

2

y

1

-

2

1

y











)

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

1

2

2

1

2

y

k

y

y

y

p

y

y

32y

2

– 2(y

1

+ y

2

)

2

y

2

- 2

2
2

y

Mamy więc

,

)

(

)

(

0

y

2

y

y

y

y

y

2

16

y

1

2

2

1

1

2

1

1

1





















.

)

(

)

(

0

y

4

y

y

2

y

y

y

4

32

y

2

2

2

1

2

2

1

1

2





















Dzieląc obie strony drugiego równania przez dwa mamy układ:

(*)

,

)

(

)

(

0

y

2

y

y

y

y

y

2

16

1

2

2

1

1

2

1













.

)

(

)

(

0

y

2

y

y

y

y

y

2

16

2

2

2

1

2

2

1













Dodając równości stronami i podstawiając s=y

1

+y

2

otrzymujemy

32

– 4 s

2

– 2s = 0 a więc 2 s

2

+s

–16 = 0. Równanie

kwadratowe rozwiązuje się standardowo.

129

2

16

4

1













Dodatni pierwiastek równania wynosi s =

589

2

4

129

1

.







4

Podstawiając s do równania (*) łatwo wyznaczyć y

1

. Mamy

więc:

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

28

294

1

2

s

2

16

s

y

2

1

.

*











7. Zatem

*
2

y

=s-

*

1

y

= 2.5894

– 1.2947



1.2947.

Punktami równowagi są

2947

1

y

y

2

1

.

*

*





. Przy takim wyborze

wielkości produkcji obaj producenci są usatysfakcjonowani.

Oligopol

Z oligopolem mamy do czynien

ia wtedy gdy większa liczba

producentów opanowała rynek i „n” (n 2



) producentów

produkuje i dostarcza na rynek pewien towar. Zakładamy, że

cena towaru zależy od łącznej ilości towaru dostarczonej na

rynek przez wspomnianych producentów.

Podobnie jak poprzednio producenci nie mają trudności ze

zbytem towaru i z nabywaniem czynników produkcji. Koszt

produkcji poszczególnych producentów zależy od wielkości

własnej produkcji.

Zauważmy, że model oligopolu jest prostym uogólnieniem

duopolu. Zatem opis modelu jest podobny. Tym razem

i=1,2,...,n.

y

i

-

ilość towaru wyprodukowana przez i-tego producenta,

i=1,2,...n

k

i

(y

i

)

– funkcja kosztów produkcji i-tego producenta

p

i

(y

1

+y

2

+ +y

n

)

– funkcja określająca cenę rynkową produktu i-

tego producenta. Wygodnie jest oznaczyć

s = y

1

+y

2

+....+y

n

– jako łączną produkcję oligopolistów.



i

(s)

– funkcja wyrażająca zysk i-tgo producenta,

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

29

Funkcje k

i

(y

i

), p

i

(s)

– spełniają takie założenia jak w duopolu.

Zau

ważmy, że



i

(s) = y

i

p(s)

– k

i

(y

i

), i=1,2, ,n

Pytanie o punkt równowagi przybiera teraz formę: czy istnieje

taki wybór wielkości produkcji (



1

y

,



2

y

,...,

*

n

y

) że

(1)



1

(



1

y

,



2

y

,...,



n

y

) =

)

,...,

,

,

(

max

*

*

n

3

2

1

1

0

y

y

y

y

y

1







(2)



2

(



1

y

,



2

y

,...,



n

y

) =

)

,...,

,

,

(

max

*

*

n

3

2

1

2

0

y

y

y

y

y

2







(n)



n

(



1

y

,



2

y

,...,



n

y

) =

)

,...,

,

,

(

max

*

*

n

3

2

1

1

0

y

y

y

y

y

n







Układ decyzji (



1

y

,



2

y

,...,



n

y

) spełniająca warunki (1)-(n) nazywa

się równowagą oligopolu.



1

y

jest poziomem produkcji

pierwszego producenta w stanie równowagi, a



2

y

jest

poziomem produkcji drugiego itd.

W języku teorii gier układ (



1

y

,



2

y

,...,



n

y

) nazywana jest punktem

ekwilibrium Nasha lub punktem równowagi Nasha.

Twierdzenie3.3.

Przy przyjętych założeniach oligopol posiada

punkt równowagi i jest to punkt jedyny.(por. ref [5])

Wykład 12. Ekonomia matematyczna. R.Rempała . Materiały dydaktyczne

30

Pytanie jest takie j

ak w duopolu: czy można podać warunki

konieczne i dostateczne na to, aby układ (



1

y

,



2

y

,...,y

*

n

) był

punktem równowagi oligopolu?

Odpowiedzią jest następujące twierdzenie.

Twierdzenie3.3 Na to, aby

układ (



1

y

,



2

y

,...,

*

n

y

) był punktem

równowagi rozważanego modelu oligopolu potrzeba i

wystarcza, aby dla i=1,2,...,n

(I)

0

y

n

2

1

n

2

1

y

y

y

y

y

y

i

i















)

,...,

,

(

)

,...,

,

(

*

|

jeśli

0

y

i





,

(II) p

i

(



1

y

+



2

y

+...+y

*

n

)

)

(0

k

i





jeśli

0

y

i





.

Ekonomiczna interpretacja warunków (I) – (II) jest dokładnie taka jak w

duopolu.

Ćwiczenia. Zestaw 2

1.Co to jest oligopol?

2. Czym różni się duopol od oligopolu?

3

. Określ funkcje krańcowych przychodów producentów

duopolu w przypadku gdy p

1

(y

1

+y

2

) = 9- (y

1

+y

2

-2)

2

,

p

2

(y

1

+y

2

) = 25 - (y

1

+y

2

-1)

2

4.

Przy założeniu, że punkt równowagi duopolu ma obie współrzędne

dodatnie, funkcje kosztów producentów są postaci k

1

(y

1

)=

2

1

y

, k

2

(y

2

)=

2
2

y

, a funkcje cen takie jak w punkcie 4 podaj równania określające j

j

ednoznacznie równowagę duopolu.