Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
1
Wykład 8. Zastosowania pochodnej c.d.
Pewne zastosowania pochodnej omówiliśmy w Wykładzie 7.
W tym wykładzie wykorzystujemy pochodne do wyznaczania
przebiegu funkcji i wyznaczania ekstremów.
I. Ekstrema lokalne
Definicja1. x
0
jest punktem wewnętrznym zbioru X
jeśli istnieje
taka liczba
że odcinek (x
0
-
x
0
+
Odcinek
(x
0
-
x
0
+
nazywamy otoczeniem punktu x
0
Załóżmy, że x
0
jest punktem wewnętrznym dziedziny pewnej funkcji
f.
Definicja 2.( Ekstremum lokalne). Mówimy, że funkcja f osiąga
maksimum (minimum) lokalne w x
0
jeśli takie istnieje otoczenie
(x
0
-
x
0
+
, że
f(x
0
)
f(x) (f(x
0
)
f(x)) dla x (x
0
-
x
0
+
W przypadku ostrych nierówności dla x x
0
mówimy, że funkcja ma
w punkcie x
0
maksimum (minimum) właściwe.
f(x)
x
1
x
2
x
3
x
4
Rys.1 W punktach x
1
, x
3
, f(x) osiąga maksimum lokalne a w
punktach x
2
, x
4
, minimum lokalne.
Definicja 3. Minima i maksima lokalne nazywają się lokalnymi
ekstremami.
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
2
Twierdzenie 1. (Twierdzenie Fermata. O zerowaniu pochodnej w
punkcie ekstremum). Jeżeli f ma w punkcie x
0
ekstremum i jest w
tym punkcie różniczkowalna to jej pochodna w tym punkcie jest
równa zero.
Dowód pomijamy.
f(x)
x
1
x
2
x
Rys.2 W punkcie x
1
funkcja f ma lokalne minimum,
w punkcie x
2
lokalne maksimum. W obu punktach
styczne do wykresu są równoległe do osi x. Oznacza
to, że f
( x
1
)= f
( x
2
)=0.
Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe (por.Rys.3)
f(x)
x
1
x
Rys.3. W punkcie przegięcia x
1
styczna jest równoległa do osi x,
zatem f
(x
1
) = 0, ale to nie jest ani minimum ani też maksimum
funkcji f.
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
3
Twierdzenie 2. (Rolle’a). Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym [a,b] i różniczkowalna w (a,b), a na końcach przedziału
przyjmuje jednakowe wartości f(a)= f(b), to istnieje w przedziale
(a,b) taki punkt c, że f (c)=0 (por. Rys 3)
f(a)=f(b)
a c b x
Rys. 3. Styczna do wykresu funkcji f w punkcie c jest równoległa do
osi x. Oznacza to, że f
(c)=0.
Z twierdzenia Rolle’a wyprowadza się następujące twierdzenie
Lagrange’a o przyrostach.
Twierdzenie 3. ( Twierdzenie Lagrange’a o przyrostach)
Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i
różniczkowalna w (a,b), to istnieje w przedziale (a,b) taki punkt c, że
f
(c) =
(por. Rys.4)
f(b)
Styczna do wykresu w punkcie c jest
równoległa do prostej łączącej końce
f(a) wykresu w punktach a i b.
Rys.4 a c b
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
4
Inny zapis tezy Twierdzenia Lagrange’a : przyrost wartości funkcji
f(b) –f(a) jest równy pochodnej w punkcie pośrednim f
(c)
pomnożonej przez przyrost argumentów: f(b) –f(a) = f (c) (b-a).
Twierdzenie 4. (Własności funkcji z ustalonymi znakami
pochodnej w przedziale)
a) Jeżeli pochodna funkcji w każdym punkcie przedziału (a,b) jest
równa zero, to funkcja w tym przedziale jest stała.
b) Jeżeli pochodna funkcji w każdym punkcie przedziału (a,b) jest
dodatnia (ujemna), to funkcja jest w tym przedziale rosnąca
(malejąca).
c) Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale jest w tym
przedziale stała to pochodna jest w tym przedziale równa zero.
d) Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale jest w tym
przedziale niemalejąca (nierosnąca) to pochodna jest w tym
przedziale nieujemna (niedodatnia).
Dowody punktów a)-d) opierają się na Twierdzeniu Lagrange’a.
Dla przykładu podamy dowód punktu a)
Gdyby f nie była funkcja stałą to istniałby takie dwa punkty w
przedzale (a,b), że x
1
<x
2
i f(x
1
)
f(x
2
). Zatem na mocy Twierdzenia
Lagrange’a istniałby punkt pośredni x
0
(x
1
, x
2
), że
f
(x
0
) =
, co zaprzecza zerowaniu pochodnej w (a.b)
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
5
Wniosek. Jeżeli istnie takie
, że funkcja f
- w przedziale (x
0
x
0
) ma pochodną dodatnią (ujemną),
-w punkcie x
0
ma
pochodną równą zero ( f (x
0
) = 0)
- w przedziale (x
0
, x
0
) ma pochodną ujemną (dodatnią),
to funkcja f ma w punkcie x
0
lokalne maksimum właściwe (lokalne
minimum właściwe).
f(x
0
)-
maksimum
f(x
0
)-
minimum
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
Rys 5.
W (x
0
x
0
): f
>0, f W (x
0
x
0
): f < 0, f
W (x
0
x
0
): f < 0, f W (x
0
x
0
): f
>0, f
W x
0
f
( x
0
) = 0 W x
0
f
( x
0
) = 0
II. Ekstrema funkcji. Wyznaczanie przedziałów monotoniczności
Zadanie. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
f(x) =
Rozwiązanie. Wyznaczamy punkty stacjonarne (takie, w których
pochodna zeruje się).
f
(x)=
= (x-3)(x-5)
Dalsze rozumowanie przedstawia tabelka
x
3
5
f
f(x)
+
0
0 +
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
6
Szkic przebiegu zmienności funkcji f
3
5/3
3 5
Rys.6 Opis tego przebiegu daje poniższa tabelka
x
3
5
f
f(x)
+
0
0 +
Ekstrema lokalne:
f
max
= f(3) = 3, f
min
= f(5)=5/3
Twierdzenie 5. (Warunki wykluczające ekstremum)
Jeżeli f (x
0
)= 0, ale f
jest tego samego znaku w przedziałach
(x
0
x
0
)
i (x
0
x
0
) dla pewnego
to funkcja f jest monotoniczna w
otoczeniu x
0
. Ilustrujemy to powtarzając Rys.3.
f(x)
Rys. 7. Przykład funkcji rosnącej, której pochodna zeruje się w x
0
x
0
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
7
Twierdzenie 6. (Osiąganie kresów)
Jeżeli f jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b], to istnieją w tym
przedziale takie punkty x
1
,x
2
, że
a) f(x
1
)
f(x) dla x [a,b],
b) f(x
2
)
f(x) dla x [a,b].
(Dowód pomijamy)
Komentarz. Liczbę f(x
1
) nazywamy wartością największą w
przedziale [a,b] i mówimy, ze funkcja w punkcie x
1
osiąga swój kres
górny, natomiast liczbę f(x
2
) nazywamy wartością najmniejszą w
przedziale [a,b] i mówimy, że funkcja w punkcie x
2
osiąga swój kres
dolny.
f(x
1
)
a x
2
x
1
= b
f(x
2
)
Rys. W przedziale [a,b]:wartość największa f(x
1
), wartość
najmniejsza f(x
2
).
Ekstrema globalne: największą i najmniejsza wartość funkcji.
Praktyczny sposób wyznaczania kresów funkcji ciągłej w
przedziale [a,b] i różniczkowalnej w (a,b): wyznaczyć
wartości funkcji w punktach stacjonarnych (punktach zerowania
pochodnej) oraz w punktach końcowych przedziału. W zbiorze
otrzymanych wartości wybrać największą i najmniejszą.
Zastosowania matematyki w ekonomii 2014. Wykład 8. R.Rempała
8
Zadanie. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji
f(x) =x(x-2)
2
w przedziale [-1,2]
Rozwiazanie
a) Obliczamy pochodną i wyznaczamy jej punkty zerowe.
f
(x)= (x-2)
2
+2x(x-2)=(x-2)(x-2+2x)=(x-2)(3x-2)
Punkty zerowania się pochodnej: 2 , 2/3.
Należy więc wyznaczyć max{f(-1),f(2/3),f(2)} oraz
min{f(-1),f(2/3),f(2)}.
Wyznaczając wartości w poszczególnych punktach mamy
f(-1) = -1, f(2/3)=(2/3)(4/3)
2
=32/27, f(2)=0
Wniosek.
Wartość najmniejsza w przedziale [-1,2], to -1
Wartość największa w przedziale[-1,2], to 32/27.
Zadania
1. Oblicz pochodną funkcji
a) f(x) = x
2
+3x, f(x) = x
3
+2x
2
-5x+2
b) f(x) =
f(x) = 5x
2
sinx, f(x) = 2x
2
+ cos x,
c) f(x) =
, f(x) =
, f(x) =
d)
f(x) =
, f(x) = sin
2
x f(x) = cos(1+x
2
)
2. Wyznacz dziedzinę funkcji f(x) = x+(1/x). Zbadaj czy równanie
f
ma rozwiązanie.
3.Wyznacz styczną do wykresu f(x) =
w punkcie x
0
=2.
4. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji:
f(x) = x
2
2x +5, f(x) =
5. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
f(x) =
x
2
4x , f(x) = x
2
6x , f(x) = x/(1+x
2
)
6. Załóżmy, ze cena (p) pewnego produktu zależy od popytu (x)
w następujący sposób:
; x
. Przy jakiej cenie popyt jest
największy?