LOGIKA WYKLAD ZBIORY RELACJE id Nieznany

background image

Zbiory

1

background image

Zbiór

podstawowe pojęcie matematyczne

2

background image

Zbiór

podstawowe pojęcie matematyczne

potoczne rozumienie: pojemnik, pudełko, worek

3

background image

Zbiór

podstawowe pojęcie matematyczne

potoczne rozumienie: pojemnik, pudełko, worek

to czym jest zbiór, zależy tylko i wyłącznie od tego
co do tego zbioru należy

4

background image

Przykład.

Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.

5

background image

Przykład.

Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.

Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ

6

background image

Przykład.

Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.

Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ

Rektor UJ zbiór pracowników administracyjnych UJ

7

background image

Przykład.

Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.

Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ

Rektor UJ

|

{z

}

r

zbiór pracowników administracyjnych UJ

|

{z

}

P

8

background image

Przykład.

Rektor UJ jest pracownikiem administracyjnym.

Rektor UJ należy do zbioru pracowników administracyj-
nych UJ

Rektor UJ

|

{z

}

r

zbiór pracowników administracyjnych UJ

|

{z

}

P

r ∈ P

9

background image

a ∈ X

10

background image

a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X

11

background image

a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X

albo:

12

background image

a ∈ X — „obiekt a należy do zbioru X

albo: „obiekt a jest elementem zbioru X

13

background image

należy vs zawiera

14

background image

należy vs zawiera

8 należy do zbioru liczb parzystych

15

background image

należy vs zawiera

8 należy do zbioru liczb parzystych

zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych

16

background image

należy vs zawiera

8 należy do zbioru liczb parzystych

zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych

Jan jest Polakiem

17

background image

należy vs zawiera

8 należy do zbioru liczb parzystych

zbiór liczb podzielnych przez 4 zawiera się w zbiorze
liczb parzystych

Jan jest Polakiem

zbiór Polaków zawiera się w zbiorze Europejczyków

18

background image

należy vs zawiera

19

background image

należy vs zawiera

a ∈ X

Y ⊆ X

20

background image

x nie należy do B zapisujemy:

21

background image

x nie należy do B zapisujemy:

x 6∈ B

22

background image

x nie należy do B zapisujemy:

x 6∈ B

C nie zawiera się w D zapisujemy:

23

background image

x nie należy do B zapisujemy:

x 6∈ B

C nie zawiera się w D zapisujemy:

C 6⊆ D

24

background image

Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:

A = {a, b, c, d}

25

background image

Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:

A = {a, b, c, d}

Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x

1

, x

2

, . . . , x

k

to piszemy:

A = {x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

26

background image

Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:

A = {a, b, c, d}

Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x

1

, x

2

, . . . , x

k

to piszemy:

A = {x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

Jeśli zbiór A posiada tylko jeden element a to piszemy:

A = {a}

27

background image

Jeśli do zbioru A należą elementy a, b, c, d i żadne inne,
to piszemy:

A = {a, b, c, d}

Analogicznie, jeśli jedynymi elementami A są elementy
x

1

, x

2

, . . . , x

k

to piszemy:

A = {x

1

, x

2

, . . . , x

k

}

Jeśli zbiór A posiada tylko jeden element a to piszemy:

A = {a}

Jeśli A nie posiada w ogóle żadnych elementów to pi-
szemy:

A =

28

background image

Zasada ekstensjonalności

29

background image

Zasada ekstensjonalności

Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?

30

background image

Zasada ekstensjonalności

Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?

Wtedy gdy mają takie same elementy.

31

background image

Zasada ekstensjonalności

Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?

Wtedy gdy mają takie same elementy.

Symbolicznie:

A = B ↔

32

background image

Zasada ekstensjonalności

Kiedy dwa zbiory są równe (identyczne)?

Wtedy gdy mają takie same elementy.

Symbolicznie:

A = B ↔ (dla dowolnego x : x ∈ A ↔ x ∈ B)

33

background image

Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?

i.

{1, 2, 3}, {3, 2, 1}

34

background image

Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?

i.

{1, 2, 3}, {3, 2, 1}

ii.

{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}

35

background image

Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?

i.

{1, 2, 3}, {3, 2, 1}

ii.

{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}

iii.

{4}, {4, 4}

36

background image

Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?

i.

{1, 2, 3}, {3, 2, 1}

ii.

{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}

iii.

{4}, {4, 4}

iv.

{1, 6}, {6, 1, 1, 1, 1, . . .}

37

background image

Przykład. Czy poniższe zbiory są równe?

i.

{1, 2, 3}, {3, 2, 1}

ii.

{1, 1, 7, 7}, {7, 7, 7, 1, 7, 7, 7}

iii.

{4}, {4, 4}

iv.

{1, 6}, {6, 1, 1, 1, 1, . . .}

v.

zbiór córek, zbiór kobiet

38

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

39

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

40

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

41

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

42

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

v.

{∅, {∅}, {{∅}}}

43

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

v.

{∅, {∅}, {{∅}}}

vi.

{{{{{{∅, ∅}}}}}}

44

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

v.

{∅, {∅}, {{∅}}}

vi.

{{{{{{∅, ∅}}}}}}

vii.

{{1, 2, 3, 4, 5}}

45

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

v.

{∅, {∅}, {{∅}}}

vi.

{{{{{{∅, ∅}}}}}}

vii.

{{1, 2, 3, 4, 5}}

viii.

{∅, 1, {27, 7, 3 · 9}, 6, {6}}

46

background image

Ćwiczenie. Ile elementów mają poniższe zbiory:

i.

{1, 3, 9, 7, 3}

ii.

{4, 9, 9 5}

iii.

{1, ∅}

iv.

{ϑ, {ϑ}}

v.

{∅, {∅}, {{∅}}}

vi.

{{{{{{∅, ∅}}}}}}

vii.

{{1, 2, 3, 4, 5}}

viii.

{∅, 1, {27, 7, 3 · 9}, 6, {6}}

ix.

{{a, b}, b, a, {{b, a, b}}}

47

background image

Rysowanie zbioru pustego...

48

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór pusty to „puste putełko”:

49

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór pusty to „puste putełko”:

50

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór {∅} to puste putełko w pudełku:

51

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór {∅} to puste putełko w pudełku:

52

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór {∅, {∅}} to puste putełko i pudełko w którym jest
puste pudełko, w pudełku:

53

background image

Rysowanie zbioru pustego...

Zbiór {∅, {∅}} to puste putełko i pudełko w którym jest
puste pudełko, w pudełku:

54

background image

i tak dalej...

55

background image

Relacje

56

background image

Zbiór dwuelementowy {x, y} nazywamy parą nieupo-
rządkowaną
, ponieważ:

{x, y} = {y, x}.

57

background image

Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:

(x, y)

58

background image

Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:

(x, y)

Jeśli x 6= y to:

59

background image

Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:

(x, y)

Jeśli x 6= y to:

(x, y) 6= (y, x).

60

background image

Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:

(x, y)

Jeśli x 6= y to:

(x, y) 6= (y, x).

Kiedy para (x, y) jest równa parze (z, t)?

61

background image

Parę uporządkowaną elementów x i y oznaczamy:

(x, y)

Jeśli x 6= y to:

(x, y) 6= (y, x).

Kiedy para (x, y) jest równa parze (z, t)?

(x, y) = (z, t) [x = z oraz y = t]

62

background image

Niech A, B będą zbiorami. Zbiór wszystkich par (x, y)
takich, że x ∈ A oraz y ∈ B nazywamy iloczynem
Kartezjańskim
zbiorów A i B i oznaczamy:

A × B.

63

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} =

64

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} = {

65

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} = {(a, 1),

66

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2),

67

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2), (b, 1),

68

background image

Przykład.

{a, b} × {1, 2} = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

69

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =

70

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),

71

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

72

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),

73

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

74

background image

Przykład.

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} =
{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}

Zatem iloczyn kartezjański ma 4 · 4 = 16 elementów.

75

background image

Ile elementów ma iloczyn kartezjański:

{1, 2, . . . , 20} × {1, 2, . . . , 500}?

76

background image

Iloczyn kartrezjański zbirów A i B:

77

background image

Definicja. Niech X, Y będą dowolnymi zbiorami. Re-
lacją
pomiędzy elementami zbioru X a elementami zbio-
ru Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊆ X × Y .

78

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

79

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

80

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?

81

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

82

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

R

1

=

(relacja „pusta”)

83

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

R

1

=

(relacja „pusta”)

R

2

= {(1, 1)}

84

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

R

1

=

(relacja „pusta”)

R

2

= {(1, 1)}

R

3

= {(1, 2)}

85

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

R

1

=

(relacja „pusta”)

R

2

= {(1, 1)}

R

3

= {(1, 2)}

...

86

background image

Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjański {1, 2}×{1, 2}
czyli czteroelementowy (!) zbiór:

{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Ile jest różnych relacji w tym zbiorze?
Tyle ile podzbiorów czyli 2

4

= 16, np.:

R

1

=

(relacja „pusta”)

R

2

= {(1, 1)}

R

3

= {(1, 2)}

...
R

16

= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (relacja „pełna”)

87

background image

Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?

88

background image

Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?

2

10·10

=

89

background image

Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?

2

10·10

= 2

100

=

90

background image

Przykład. Ile jest relacji w iloczynie kartezjańskim
{1, 2, . . . , 10} × {1, 2, . . . , 10}?

2

10·10

= 2

100

=

= 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376

91

background image

Oznaczenia.

92

background image

Oznaczenia.

Zamiast pisać (x, y) ∈ R, piszemy:

xRy

93

background image

Oznaczenia.

Zamiast pisać (x, y) ∈ R, piszemy:

xRy

Zamiast pisać (x, y) 6∈ R, piszemy:

¬xRy

94

background image

Graf relacji. Przykład.

95

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

96

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

97

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

98

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

99

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

100

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

101

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

102

background image

Graf relacji. Przykład. Rozważmy iloczyn kartezjań-
ski {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4} i relację R w tym zbiorze:

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

Sporządzamy graf relacji R w następujący sposób:

103

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

104

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

105

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

106

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)

107

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)

antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)

108

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)

antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)

słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y

(xRy ∧ yRx) → x = y

109

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)

antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)

słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y

(xRy ∧ yRx) → x = y

przechodnią, gdy ∀x, y, z

(xRy ∧ yRz) → xRz

110

background image

Własności relacji. Relację R ⊆ X × X nazywamy:

zwrotną, gdy ∀x xRx

przeciwzwrotną, gdy ∀x ¬xRx

symetryczną, gdy ∀x, y (xRy → yRx)

antysymetryczną, gdy ∀x, y (xRy → ¬yRx)

słabo-antysymetryczną, gdy ∀x, y

(xRy ∧ yRx) → x = y

przechodnią, gdy ∀x, y, z

(xRy ∧ yRz) → xRz

spójną, gdy ∀x, y (xRy ∨ yRx ∨ x = y)

111

background image

Ćwiczenie 1. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

112

background image

Ćwiczenie 1. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 4), (4, 4)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

113

background image

Ćwiczenie 2. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (3, 4), (2, 1), (4, 3)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

114

background image

Ćwiczenie 2. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (3, 4), (2, 1), (4, 3)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

115

background image

Ćwiczenie 3. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

116

background image

Ćwiczenie 3. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

117

background image

Ćwiczenie 4. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

118

background image

Ćwiczenie 4. Zbadać własności relacji

R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

w zbiorze {1, 2, 3, 4}.

119

background image

Ćwiczenie 5. Zbadać własności relacji w zbiorze
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

i.

R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 6)}

ii.

R = {(1, 2), (3, 4), (6, 5)}

iii.

R = {(1, 2), (3, 2), (5, 4), (1, 6), (3, 4), (5, 6)}

iv.

R = {(6, 6), (3, 2), (1, 2), (5, 2), (4, 5), (4, 2)}

v.

R = {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (6, 6), (4, 3), (3, 4), (1, 1),
(2, 1), (5, 2), (5, 1), (1, 5), (5, 5), (4, 4), (5, 2)}

120

background image

Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y.

121

background image

Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y. Czyli

xRy ↔ x jest matką y.

122

background image

Relacje rozważane poniżej, są określone w zbiorze ludzi.
Np. relacja „bycia matką” zachodzi między x a y wtedy
i tylko wtedy, gdy x jest matką y. Czyli

xRy ↔ x jest matką y.

Jakie własności posiada relacja:

i.

bycia matką

ii.

bycia bratem

iii.

bycia znajomym

iv.

bycia krewnym

v.

zwierzchnictwa (w pracy)

vi.

bycia kochanym

123

background image

vii.

bycia starszym

viii.

bycia o rok starszym

ix.

bycia tego samego wieku

x.

bycia przeciwnej płci

xi.

bycia nie-siostrą

xii.

bycia starszym lub młodszym

xiii.

wyznawania tej samej religii

xiv.

bycia dziadkiem

xv.

bycia najmłodszą siostrą

xvi.

posiadania wspólnego rodzica

124


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MATERIALY DO WYKLADU CZ IV id Nieznany
MATERIALY DO WYKLADU CZ III id Nieznany
EKON Zast Mat Wyklad 11 12 id Nieznany
Chemia wyklady 2007 2008(1) id Nieznany
PETy Wyklad 2 Kolokwium Mini id Nieznany
AP wyklady wersja pelniejsza id Nieznany (2)
4Chemia (wyklady) 5 01 2008 id Nieznany
MATERIALY DO WYKLADU CZ IV id Nieznany
LOGIKA wyklad 5 id 272234 Nieznany
LOGIKA wyklad 2 id 272229 Nieznany
LOGIKA wyklad 3 id 272230 Nieznany
LOGIKA WYKLAD 1 id 272204 Nieznany
LOGIKA wyklad 5 id 272234 Nieznany
Badania operacyjne wyklad 2 id Nieznany
historia gospodarcza wyklady id Nieznany
MATERIALY DO WYKLADU CZ V id 2 Nieznany
PRZ OPI wyklad 3 v2 pdf id 4033 Nieznany

więcej podobnych podstron