1

1.

1. LINIE WPŁYWOWE W UKŁADACH

STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

1.1. Zadanie 1

Dla belki przedstawionej na poniższym rysunku wyznaczyć linie wpływowe zaznaczonych wielkości

statycznych (linie wpływowe reakcji podporowych oraz sił wewętrznych w zaznaczonych przekrojach

− , − , − ,−

).

P=1 [-]

2a

2a

a

a

a

a

a

A

B

C

D

a

a

α

γ

α

γ

β

β

Rys. 1.1.

Rozwiązanie

Wyznaczając linie wpływowe wielkości statycznych dla belki z pomostem pośrednim na którym

porusza się jednostkowa siła P=1 [-] początkowo rozpatrzyć należy analogiczną belkę bez pomostu (rys. 1.2)

P=1 [-]

4a

A

B

C

D

2a

3a

Rys. 1.2.

Daną belkę złożoną należy rozdzielić na dwie belki proste dla których przyjmujemy odpowiednie

układy współrzędnych (rys. 1.3).

2

x

1

y

1

x

2

y

2

A

B

C

D

Rys.1.3.

1. Wyznaczenie funkcji reakcji podporowych w zależności od położenia poruszającej się siły P=1 [-].

a)

x

∈〈 A ;C 〉

- położenie siły P=1[-] określa współrzędna

x

1

x

1

x

2

P=1 [-]

A

B

C

D

x

1

y

1

x

2

y

2

P=1 [-]

A

B

C

D

V

A

(x)

V

D

(x)

V

B

(x)

x

1

4a

2a

3a

Rys. 1.4.

Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

A

-

lw V

A

∑

M

B

0

V

A

⋅3 a 1⋅3 a x

1

 0

V

A

3 a
3 a

x

1

3 a

1

x

1

3 a

lwV

A

1

x

1

3 a

Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

B

-

lw V

B

∑

M

A

0

V

B

⋅3 a 1⋅x

1

0

V

B

x

1

3 a

lwV

B

x

1

3 a

3

b)

x

∈〈C ; D〉

- położenie siły P=1[-] określa współrzędna

x

2

x

1

x

2

P=1 [-]

A

B

C

D

x

1

y

1

x

2

y

2

P=1 [-]

A

B

C

D

V

A

(x)

V

D

(x)

V

B

(x)

x

2

4a

2a

3a

Rys. 1.5.

Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

A

-

lw V

A

lwV

A

lwV

A

C ⋅lwV

C

lwV

A

lwV

A

5 a⋅lwV

C

lwV

A



1

5 a
3 a



⋅



1

x

2

4 a



lwV

A



2

3



⋅



1

x

2

4 a



Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

B

-

lw V

B

lwV

B

lwV

B

C ⋅lwV

C

lwV

B

lwV

B

5 a⋅lwV

C

lwV

B



5 a
3 a



⋅



1

x

2

4 a



lwV

B

5
3

⋅



1

x

2

4 a



Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

B

-

lw V

B

lwV

B

lwV

B

C ⋅lwV

C

lwV

B

lwV

B

5 a⋅lwV

C

lwV

B



5 a
3 a



⋅



1

x

2

4 a



lwV

B

5
3

⋅



1

x

2

4 a



4

Wyznaczenie linii wpływu reakcji podporowej

V

D

-

lw V

D

∑

M

C

0

V

D

⋅4 a 1⋅x

2

0

V

D

x

2

4 a

lwV

D

x

2

4 a

Wykres linii wpływu reakcji podporowych przedstawiono na poniższym rysunku.

1

1

P=1 [-]

4a

A

B

C

D

2a

3a

lw V

A

lw V

D

[-]

[-]

lw V

B

[-]

1 -

x

1

3a

+

+

+

+

2

3

-

(1 - )

x

2

4a

2
3

- )

5
3

x

1

3a

x

2

4a

5
3

(1- )

x

2

4a

1-

Rys. 1.6.

2. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju α-α.

x

2

A

B

C

D

y

1

y

2

V

A

(x)

V

D

(x)

V

B

(x)

2

3

D

x

1

D

2a

3a

V

C

(x)

V

C

(x)

a

α

α

3a

Rys. 2.1.

5

a)

x

∈〈 A ;C 〉

- położenie siły P=1[-] określa współrzędna

x

1

lwT



0

lwM



0 m

b)

x

∈〈C ; D〉

- położenie siły P=1[-] określa współrzędna

x

2

•

0

≤x

2

a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju α-α, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

3a

T

α

V

D

M

α

Rys. 2.2.

∑

Y 0

T



V

D

0

T



V

D

lwT



lwV

D

lwT



x

2

4 a

∑

M

 

0

V

D

⋅3 a M



0

M



3 a

⋅V

D

lwM



3 a

⋅lwV

D

3 a

⋅

x

2

4 a

lwM



3
4

x

2

m

•

a

x

2

≤4 a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju α-α, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

a

M

α

V

D

T

α

Rys. 2.3

6

∑

Y 0

T



V

C

0

T



V

C

lwT



lwV

C

lwT



1

x

2

4 a

∑

M

 

0

V

C

⋅a M



0

M



a

⋅V

C

lwM



a

⋅lwV

C

lwM



a

⋅



1

x

2

4 a



m

Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju α-α przedstawiono na poniższym rysunku.

P=1 [-]

3a

A

B

C

D

2a

3a

α

α

a

lw M

α

lw T

α

[-]

[m]

x

2

4a

-

1
4

-

3
4

x

2

4a

1-

3
4

x

2

a(1- )

x

2

4a

+

+

+

3

4

a

Rys. 2.4.

3. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju β-β.

β

x

2

A

B

C

D

y

1

y

2

V

A

(x)

V

D

(x)

V

B

(x)

2a

x

1

2a

V

C

(x)

V

C

(x)

a

3a

β

Rys. 3.1.

7

•

0

≤x

1

a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju β-β, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

V

B

2a

2a

T

β

M

β

Rys. 3.2.

∑

Y 0

T



V

B

0

T



V

B

lwT



lwV

B

lwT



x

1

3 a

∑

M

 

0

V

B

⋅2 a M



0

M



2 a

⋅V

B

lwM



2 a

⋅lwV

B

2 a

⋅

x

1

3 a

lwM



2
3

x

1

m

•

a

x

1

≤5 a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju β-β, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

a

V

A

M

β

T

β

Rys. 3.3.

.

8

∑

Y 0

T



V

A

0

T



V

A

lwT



lwV

A

lwT



1

x

1

3 a

∑

M

 

0

V

A

⋅a M



0

M



a

⋅V

A

lwM



a

⋅lwV

A

lwM



a

⋅



1

x

1

3 a



m

Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju β-β przedstawiono na poniższym rysunku.

P=1 [-]

4a

A

B

C

D

2a

2a

β

a

β

lw M

β

lw T

β

[-]

[m]

x

1

3a

-

1
3

-

2
3

x

1

3a

1 -

2
3

-

x

2

4a

2
3

(- )(1- )

2
3

x

1

2
3

a

2

3

- a

a(1- )

x

1

3a

x

2

4a

2
3

(- a)(1- )

+

+

+

Rys. 3.4.

4. Wyznaczenie funkcji sił wewnętrznych w przekroju γ-γ.

x

2

A

B

C

y

1

y

2

V

A

(x)

V

D

(x)

V

B

(x)

2a

D

x

1

D

3a

V

C

(x)

V

C

(x)

a

3a

γ

γ

Rys. 4.1.

9

•

0

≤x

2

3 a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na prawo
od przekroju γ-γ, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

V

D

a

T

γ

M

γ

Rys. 4.2.

∑

Y 0

T



V

D

0

T



V

D

lwT



lwV

D

lwT



x

2

4 a

∑

M

 

0

V

D

⋅a M



0

M



a

⋅V

D

lwM



a

⋅lwV

D

a

⋅

x

2

4 a

lwM



x

2

4

m

•

0

≤x

2

3 a

W celu uproszczenia obliczeń warto skorzystać z równań równowagi części położonej na lewo
od przekroju γ-γ, gdyż nie uwzględnia się wtedy poruszającej się siły.

V

C

3a

M

γ

T

γ

Rys. 4.3.

10

∑

Y 0

T



V

C

0

T



V

C

lwT



lwV

C

lwT



1

x

2

4 a

∑

M

 

0

V

C

⋅3 a M



0

M



3 a

⋅V

C

lwM



3 a

⋅lwV

C

lwM



3 a

⋅



1

x

2

4 a



m

Wykres linii wpływu sił wewnętrznych w przekroju γ-γ przedstawiono na poniższym rysunku.

P=1 [-]

3a

A

B

C

D

2a

3a

γ

a

lw M

γ

lw T

γ

[m]

[-]

γ

+

+

3

4

-

1
4

x

2

4a

-

x

2

4a

1-

x

2

4a

3
4

a

3a(1- )

x

2

4a

Rys. 4.4.

5. Wykres linii wpływu zadanych wielkości statycznych dla układu wyjściowego (belki z pomostem

pośrednim) przedstawiono na poniższym rysunku.

Na poniższym rysunku zaznaczono linią ciągłą wykresy zadanych wielkości statycznych dla belki
bez pomostu pośredniego, a linią przerywaną naniesiono na nie linie wpływowe wielkości statycznych
dla belki z pomostem pośrednim. Właściwy wykres dla całego układu belek tworzymy łącząc
odpowiednie wartości rzędnych w punktach połączenia belki z pomostem pamiętając o tym, że w
podporach wartość linii wpływu wielkości statycznej jest równa zero. Proste prowadzimy do miejsca w
którym na pomoście znajduje się przegub.

11

P=1 [-]

2a

2a

a

a

a

a

a

A

B

C

D

a

a

α

γ

α

γ

β

β

1

1

lw M

α

lw T

α

[-]

[m]

lw V

A

lw V

D

[-]

[-]

lw V

B

[-]

+

+

+

+

2
3

-

5
3

1

4

-

3

4

+

+

+

3
4

a

lw M

β

lw T

β

[-]

[m]

lw M

γ

lw T

γ

[m]

[-]

1
3

-

2

3

2
3

-

2

3

a

2

3

- a

+

+

+

+

+

3

4

-

1
4

3

4

a

+

Rys. 5.1.