Politechnika Pozna

ń

ska

►

Instytut Konstrukcji Budowlanych

►

Zakład Mechaniki Budowli

2007/08

Obliczanie przemieszcze

ń

w układach statycznie niewyznaczalnych

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

1

Dany jest wykres momentów zginających w ramie przedstawionej na rysunku. Wyznaczyć:

a)

obrót przekroju A,

b)

obrót przekroju B,

c)

przemieszczenie pionowe przekroju C.

W obliczeniach pominąć wpływ sił normalnych i poprzecznych, EJ = const.

Rozwiązanie:

Przemieszczenia wyznaczamy za pomocą równania pracy wirtualnej. Stosujemy twierdzenie redukcyjne:

1

∑∫

∑∫

⋅

=

⋅

=

⋅

x

n

P

x

n

P

n

dx

EJ

M

M

dx

EJ

M

M

0

δ

gdzie:

δ

- szukane przemieszczenie (liniowe lub kątowe),

1

- obciążenie wirtualne adekwatne do szukanego przemieszczenia,

n

M

- momenty zginające wywołane odpowiednim obciążeniem wirtualnym w układzie

statycznie niewyznaczalnym,

0

M

- momenty zginające wywołane odpowiednim obciążeniem wirtualnym w układzie

statycznie wyznaczalnym (spełniającym wymagania układu podstawowego metody sił),

n

p

M

- momenty zginające wywołane zadanym obciążeniem zewnętrznym w układzie statycznie

niewyznaczalnym (w tym przypadku dane :),

EJ - sztywność na zginanie.

a)

obrót przekroju A:

EJ

EJ

dx

EJ

M

M

x

n

P

A

006

,

58

651

,

22

3

2

5

2

2

2

1

046

,

64

3

2

5

3

5

2

1

1

0

=









⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

∑∫

ϕ

5 kN/m

A

B

C

60 kNm

21,349 kN

64,046

41,394

M =59,477

65,367

60,0

22,651

M

n
p

[ kNm ]

2,0

3,0

2,0

4

,0

3,0

3,0

1,47

C

11,326 kN

7,326 kN

A

1

1/5

1/5

3/5

2/5

M

0

[ - ]

Politechnika Pozna

ń

ska

►

Instytut Konstrukcji Budowlanych

►

Zakład Mechaniki Budowli

2007/08

Obliczanie przemieszcze

ń

w układach statycznie niewyznaczalnych

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

2

b)

obrót przekroju B:

(

)

EJ

EJ

dx

EJ

M

M

x

n

P

B

75

,

229

1

8

8

8

5

3

2

60

394

,

41

2

1

1

8

651

,

22

3

2

5

2

2

2

1

046

,

64

3

2

5

3

5

2

1

1

2

0

−

=













⋅

⋅

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

∑∫

ϕ

c)

przemieszczenie pionowe przekroju C:

Potrzebna do obliczeń wartość momentu zginającego wywołanego obciążeniem zewnętrznym

w punkcie C:

kNm

M

C

477

,

59

5

,

1

3

5

60

3

326

,

7

=

⋅

⋅

−

+

⋅

=

EJ

EJ

dx

EJ

M

M

v

x

n

P

C

166

,

403

5

2

1

5

8

5

5

3

2

477

,

59

3

1

394

,

41

3

2

5

5

2

1

651

,

22

3

2

5

4

2

2

1

046

,

64

3

2

5

21

5

2

1

1

2

0

=

=













⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−













⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

⋅

=

∑∫

B

1

1/5

1/5

3/5

2/5

M

0

[ - ]

1,0

1,0

C

1

2/5

7/5

21/5

4/5

M

0

[ m ]

5

2,0

3,0

2,0

3,0

4

,0