ZADANIE Z METODY PRZEMIESZCZEŃ
Rozwiązać metodą przemieszczeń poniższą ramę.
Wykonać kontrolę kinematyczną i statyczną.
Układ podstawowy:
4 kN/m
2 kNm
SGN = 1
4 kN/m
2 kNm
1
1 5 kN
0
EI = const
5 kN
4
0
R 1
2
2
6
[m]
niewiadoma: ϕ1 = z 1
R = r z + r p = 0
1
11 1
1
Wzory transformacyjne: 3 EI
⋅
M =
ϕ −ψ +
= EIz +
10
( 1 01) 4 62 1
18
6
8
2
1
2 EI
M
=
ϕ + ϕ − ψ
=
12
(2 1 2 3 12)
1
EIz
4
2 EI
1
M =
ϕ + ϕ − ψ
=
21
(2 2 1 3 12)
1
EIz
4
2
Stany podstawowe (uwaga: momenty rysowane są jako dodatnie a wartości wpisywane z właściwym znakiem):
Stan z 1 = 1
0,5 EI
r 11
r z − EI ⋅ z − 5
,
0 EI ⋅ z = 0
11 1
1
1
1
EI
r =
EI
5
,
1
11
0
2
Stan p
24 kN
2 kNm
18 kNm
r z
p
−18 ⋅ z − 2⋅ z = 0
1
1
1
1
r
5 kN
p =
kNm
20
1
0 1
r 1 p
2
Obliczenie niewiadomej: 5
,
1 EI ⋅ z + 20 = 0
= −
1
z
33
,
13
1
α t
Obliczenie momentów węzłowych: 1
13,33
M
= EIz +18 =
kNm
33
,
11
10
2
1
M
= EIz = −
kNm
33
,
13
12
1
M [kNm]
1
M = EIz = −
kNm
67
,
6
21
2
1
6,67
Równowaga momentów w węźle 1 jest spełniona.
Kontrola kinematyczna
Sprawdzenie przemieszczenia pionowego w węźle 0: (0)
M ⋅ M
1 ⋅ v = ∑
= (?)
0
0
∫
dx
EI
Stan wirtualny w układzie statycznie wyznaczalnym 1
6
0
1
(0)
M
]
m
[
2
1
2
2 4 ⋅ 62
1
1
EIv = ⋅
33
,
11
⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 − ⋅
⋅ 6 ⋅ ⋅ 6 + 6 ⋅ 4 ⋅ ⋅
−
=
−
+
= −
0
( 33
,
13
67
,
6
)
96
,
135
216
92
,
79
0,12
2
3
3
8
2
2
Błąd procentowy wyniku odniesiony do największego składnika sumy równy: 12
,
0
%
∆ =
⋅100% = 06
,
0
%
216
pozwala stwierdzić, że obliczone przemieszczenie jest w równe zero.
Obliczenie sił poprzecznych: 4
1
[kN/m, kN, kNm]
13,33
T 12
1
2
11,33
6,67
T 21
T 01
T 10
0
T 12 = T 21 = 5,0 kN
T 01 = 10,11 kN
T 10 = -13,89 kN
Obliczenie sił normalnych: 1
5
N
N 10 = N 01 = -10,0 kN
13,89
10
N 12
[kN]
N 12 = N 21 = -13,89 kN
5
Kontrola statyczna:
4 kN/m
2 kNm
10,00
1 5 kN
∑ xP = 0,00 kN
0 10,11
∑ yP =0,00 kN
2
5,00
∑ M 0 =0,01 kNm 6,67
13,89
Wykresy sił przekrojowych: 11,33
-13,89
12,78
13,33
10,11
-10,00
5,00
2,53
-13,89
6,67
T [kN]
N [kN]
M [kNm]